Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 59
Текст из файла (страница 59)
с кольцом Я'. Однако если рассматривать только а-аддитивные меры и их продолжения (а-аддитивные), то систена множеств однозначности будет, вообще говоря„ обширнее. Уак как ниенна случай а-аддитивиыя иер наиболее важен, то введен следующее определение. Определен не б. Множество А называется множеством а-однозначности для а-аддитнвной меры т, если: )) существует а-аддитивнсе продолжение Л меры ш, определенное для А (т. е. тапсе, что А ен Юх); 2) для вснких двух таких а-аддитивных продолжений Л, и Лз справедлнво равенство Л,(А) Л,(А). Если А есть множество а-однозначности дхя а-аддитивной меры р, то з силу нашего определения существует единственно возможное значение Л(А) длк любого а-аддитивпого продолжения веры р, определенного на А.
Легко видеть, что каждое множество А, измеримое по Жордану, измеримо и по Лебегу (ио не наоборот! приведите пример), причем его жорданова и лебегова меры одинаковы. Отсюда непосредственна вытекает, чта жорданово продолжение а-аддитивной меры а-аддятнвна. Каждое множества А, изыеримае по Лебегу, является множеством а-однозначности для исходной меры пс Действительно, при любом е ) 0 для А существует такое В як И, чта р' (А со В) < е.
Каково бы ни было апре- деленное для А продолжение Л меры т, Л(В) т'(В), так как продолжение гп' меры т на 2) = Я (б ) однозначно. Далее, Л(А сз В) ~<в'(А сь В) < е н, следовательно, (Л (А) — т'(В) ( < е, Танин абразоы, для любых двух а-аддитивных продолжений Л~ н Лз ыеры оз имеем ) Л~ (А) — Лз (А) 1 < 2е, откуда н силу пронзнальности е ) О Л~ (А) = Л, (А).
Можно показатж чта система множеств, нзыернмых по Лебегу, исчерпывает всю снстеыу множеств а-однозначности для исходной иеры т. Пусть гл — некоторая а-адднтнвная мера с областью определения б и Я)) = Л(б) — область определения ее лебегова продолжения. Легко убедиться в тоы, что, каково бы нн была полукольца бь удовлетворяющее условию б с 61 с 2)). всегда Л (%) = Л (б). [ГЛ У. МЕРА, ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ, ИНТЕГРАЛ '282 ф 4. Измеримые функции 1. Определение и основные свойства измеримых функций, .Пусть Х и У вЂ” два произвольных множества и пусть в них выделены две системы подмножеств Жх и ЯУ соответственно.
Абстрактная функция у = ['(х) с областью определения Х, прини-: мающая значения на У, называется (9», Жу)-измеримой, если из А с Жу вытекает, что 1 '(А) я Ях. Например, если и за Х и за У взять числовую прямую (т. е. .рассматривать действительные функции действительного переменного), а за Я» и Ьу взять систему всех открытых (или всех замкнутых) подмножеств из К[, то сформулированное опре,деление измеримости сведется к определению непрерывности. Взяв за [о» и ЖУ систему всех борелевских множеств, мы придем к так называемым В-измеримым (или изл[еримь[м по Борелю) функциям.
В дальнейшем мы будем интересоваться понятием измеримости главным образом с точки зрения теории интегрирования. В этом плане основное значение имеет понятие измеримости числовых функций, определенных на некотором множестве Х, с заданной на нем о-аддитивной мерой и. При этом за Ь» принимается совокупность Ь всех измеримых относительно р множеств из Х, а за Ьу — совокупность всех В-множеств на прямой.
Поскольку всякая и-аддитивная мера может быть продолжена иа некоторую о-алгебру, естественно с самого начала считать, что Ь„есть о-алгебра. Таким образом, для числовых функций мы приходим к следующему определению измеримости: Определен не 1. Пусть Х вЂ” множество, в котором задана о-адднтивная мера р, определенная на о-алгебре Я„. Действительная функция 1(х) на Х называется р-измеримой, если для всяко~о борелевского множества А числовой прямой 1 '(А)~$,„. Аналогично, комплексная функция ч[(х), определенная на Х, называется р-измеримой, если ч[ '(А) ~ Я„для всякого борелевского подмножества комплексной плоскости. Легко проверить, что это равносильно р-измеримости действительной и мнимой частей этой функции по отдельности.
Числовая функция, заданная на.прямой, называется борелевской (или В-измеримой), если прообраз каждого борелевского множества есть борелевское множество. Те о р ем а 1. Пусть Х, У и Х вЂ” произвольные множества с выделенны.чи в них системами подмножеств Жх, Яу и Жх соответственно и пусть определенная на Х функция у ='[(х), измевимые Функции 2ЕЗ (Жх, Ьх) -измерима, а определенная на У функция х = К(у) (Ьт, Ьх) -измерима. Тогда функция з= р(х) — = д() (х)) Фх ~г)-измерима. Коротко; измеримая функция от измеримой функции есть измеримая функция.
Дои аз а тельство. Если А ~ СЕ, то в силу (Ьт, ох)-пзмеримости функции и имеем: В-'(А)=В~Юг. В свою очередь в силу (Ях, Яг)-измеримости функции ! множество ( '(В) принадлежит Ях, т. е. ! '(й ' (А)) =ф '(А) ~Я», т. е. функция <р (Ях, Ях)-измерима. С л е д с т в и е. Борелевская функция от и-измеримой числовой функции и-измерима. В частности, непрерывная функция от и-измеримой и-измерима.
В дальнейшем, в случаях, когда это не может вызвать недоразумения, мы вместо «р-измеримости» будем писать просто «измеримость», Теорем а 2. Для того чтоб»я действительная функция !'(х) была измерима, необходимо и доститочно, чтобы при любом оействительном с множество (х:)(х) ( с) было измеримо. До к аз а тел ьств о. Необходимость условия ясна, так как полупрямая ( — ьь, с) есть борелевское множество. Для доказательства достаточности заметим прежде всего, что а-алгебра, порожденная системой Х всех полупрямых ( — ьь, с) совпздаег с о-алгеброй всех борелевскнх множеств на прямой.
Но, согласно п. 5 2 5 гл. ! отсюда следует, что прообраз каждого борелевского множества принадлежит о-алгебре, порожденной прообразами полупрямых, принадлежащих Х, т. е. измерим. Доказанное условие часто принимают за определение измеримости, т. е. Называют функцию )(х) измеримой, если все множества (х: )(х) ( с) измеримы. 2.
Действия над измеримыми функциями. Покажем, что совокупность измеримых функций, заданных на некотором множестве, замкнута относительно арифметических операций. Т е о р е м а 3. Сумма, разность и произведение двух измеримых функций измеримы. Частное двух измеримых функций, при условии, что знаменатель не обращается в нуль, тоже измеримо. Д о к а з а т е л ь с т в о этой теоремы проведем в несколько шагов.
!) Если ! измерима, то, очевидно, измеримы и функции й! н а+ ! при любых постоянных я и а. 2) Далее, если ! и д — измеримые функции, то множество (х: ! (х) > а (х)) 284 (гл я МЕРА, ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ. ИНТЕГРАЛ измеримо. Действительно, Ю (х; / (х) > д (х)) Ц ( (х: / (х) ) г„) () (х: и (х) < ГА) ), тде сумма берется по всем рациональным числам ГА. занумерованным в любом порядке. Отсюда получаем, что (х: /(х) ) а — д(х)) =(х: /(х)+я(х) ) а) .измеримо, т.
е. сумма измеримых функций измерима. 3) Из 1) и 2) следует измеримость разности / — и. 4) Произведение измеримых функций измеримо. Действительно, воспользуемся тождеством /а = л ((/+ а)з — (/ — я. 1 Стоящее справа выражение есть измеримая функция. Это вы.текает из 1) — 3) и следствия из теоремы 1, в силу которого квадрат измеримой функции измерим. 5) Если /(х) измерима и /(х) Ф О, то и 1//(х) измерима.
Действительно, если с ь О, то (х: 1// (х) < с) = (х: / (х) ) 1/с) () (х: / (х) < 0), если с<0, то (х: 1//(х) < с) = (х: 0 > / (х) ) 1/с), .а если с = О„то (х: 1// (х) < с) = (х: /(х) < с). Каждый раз справа мы получаем измеримое множество. Из 4) и 5) следует измеримость частного — (при условии д(х) чл /(А) я(х) чь 0). Итак, мы показали, что арифметические действия над изме.римыми функциями снова приводят к измеримым функциям. Покажем теперь, что совокупность измеримых функций замкнута по отношению не только к арифметическим операциям, но и к операции предельного перехода.
Те о р е м а 4. Предел сходяи(ейся ври каждом х ен Х восле. довательности измеримых функций измерим. Доказательство. Пусть /„(х)-Р/(х); тогда (х: /(х) < с) = (~ Ц Д (х: /„,(х) < с — 1/я). (1) л т>в Действительно, если /(х) < с, то существует такое й, что /(х) < с — 2/й; далее, при этом й можно найти столь большое в, измгяимые Функпии э 4! 2вз что при лт ~ л выполнено неравенство (х) < с — 1/Ф, а это и означает, что х войдет в правую часть (1).
Обратно, если х принадлежит правой части равенства (!), то существует такое й, что при всех достаточно больших,гп / (х) < с — !/в, но тогда /(х) < с, т. е. х входит в левую часть равенства (1). Если функции /„(х) измеримы, то множества (х: / (х) < с — !/й) измеримы. Так как совокупность измеримых множеств есть о-алгебра, то в силу (1) множества (х: /(х) < с) тоже измеримы, что и доказывает измеримость /(х). 3 а м е ч а н и е.
Как видно из сказанного, понятие измеримости функции не связано с наличием в рассматриваемых пространствах какой-либо меры. Должны лишь быть выделены системы множеств, называемых измеримыми. Однако фактически понятие измеримости используется, как правило, для функций, определенных на некотором пространстве Х с фиксированной мерой, заданной на какой-либо а-алгебре его подмножеств. Именно эта ситуация и будет рассматриваться в дальнейшем. Как уже было отмечено, и-аддитивную меру, определенную на в-алгебре Я подмножеств некоторого множества Х, можно без ограничения общности считать полной, т. е. считать, что если А — измеримое множество меры нуль, то всякое его подмножество А' измеримо (и, конечно, р(А') = О).
Это условие полноты меры мы всюду в дальнейшем будем предполагать выполненным. 3. Эквивалентность. При изучении измеримых функций часто можно пренебречь их значениями на множестве меры нуль. В связи с этим возникает следующее определение. О п редел е н и е 2. Две функции, / и д, заданные на одном н том же измеримом множестве Е, называются эквивалентными (обозначение: / — д), если р(х: /(х) чь д(х)) =О. Введем еще следующую терминологию.
Говорят, что некоторое свойство выполнено почти всюду на Е, если оно выполнено на Е всюду, кроме, быть может, точек, образующих множество меры нуль. Таким образом, две функции называются эквивалентными, если они совпадают почти всюду. МЕРА, ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКПИИ, ИНТЕГРАЛ 1ГЛ. У Теорем а 5. Функция [(х), определенная на некотором измеримом множестве Е и эквивалентная на нем некоторой измеримой функции й(х), тоже измерима. Д о к а з а т е л ь с т в о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
