Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Это сразу же позволяет распространить понятие интеграла на весьма широкий класс функций. Кроме того, интеграл Лебега определяется совершенно одинаково для функций, заданных па любых пространствах с мерой, в то время как интеграл Римана вводится сначала для функций одного переменного, а затем уже с соответствующими изменениями переносится на случай нескольких переменных. Для функций же на абстрактных пространствах с мерой инте.
грал Римана вообще не имеет смысла. Всюду, где не оговорено противное, будет рассматриваться некоторая полная о-аддитивная мера р, определенная на о-алгебре множеств с единицей Х. Все рассматриваемые множества меРА, измеРимые функции, интегРАЛ 292 [ГЛ Р А с: Х будут предполагаться измеримыми, а функции /(х) определенными для х еи Х и измеримыми. Нам удобно будет определить интеграл Лебега вначале для так называемых п р осты х ф у н кц и й, а затем распространить его на существенно более широкий класс функций.
Пункты 2 — 5 содержат построение интеграла Лебега для случая, когда мера всего пространства конечна. Случай бесконечной меры рассматривается в п. 6 этого параграфа. 1. Простые функции. О п р е д е л е н и е 1. Функция /(х), определенная на некотором пространстве Х с заданной на нем мерой, называется простой, если она измерима и принимает не более, чем счетное число значений. Структура простых функций характеризуется следующей теоремой. Те о р е м а 1. Функция /(х), принимающая не более чем счетное число различных значений у~ ум ° ° ° уп измерима в том и только том случае, если все множества А„=(х.
'/(х)=-Уч) измеримы. Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость условия ясна, так как каждое А~ есть прообраз одноточечного множества (у ), а всякое одноточечное множество является борелевским. Достаточность следует из того, что в условиях теоремы прообраз /-'(В) любого борелевского множества есть объединение ( ) А„не д„в более чем счетного числа измеримых множеств А, т.
е. измерим. Использование простых функций в построении интеграла Лебега будет основано на следующей теореме. Теорем а 2. Для измеримости функции /(х) необходимо и достаточно, чтобы она могла быть представлена в виде предела равномерно сходящейся последовательности простых измеримых функций. Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточность ясна из теоремы 4 предыдущего параграфа. Для доказательства необходимости рассмотрим произвольную измеримую функцию /(х) и положим /„(х)= т/и, если т/п(/(х) ((т+1)/п (здесь т — целые, а и — целые положительные). Ясно, что функции /„(х) простые; при и-ьсо они равномерно сходятся к /(х), так как ~/(х)— — /„(х) ) (!/п. 2, Интеграл Лебега для простых функций. Мы введем понятие интеграла Лебега сначала для функций, названных выше простыми, т. е.
для измеримых функций„принимающих конечное или счетное число значений. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА Пусть ) — некоторая простая функция, принимающая значения Уь у» ° ° °, у, ...; у; Фуг при ю'~1, и пусть А — некоторое измеримое подмножество Х. Естественно определить интеграл от функции 1 по множеству А равенством $)(х)др=~ у„р(А„), где А„=(х: хееА, 1(х)=у„), (1) если ряд справа сходится. Мы приходим к следующему определению (в котором по понятным причинам заранее постулируется абсолютная сходимость ряда). Оп редел е н не 2.
Простая функция 1 называется интегрируемой или суммируемой (по мере р) на множестве А, если ряд (1) абсолютно сходится. Если 1 интегрируема, то сумма ряда (1) называется интегралом от Г по множеству А. В этом определении предполагается, что все у различны. Можно, однако', представить значение интеграла от простой функции в виде суммы произведений вида с»р(В») и не предполагая, что все с» различны. Это позволяет сделать следующая лемма. Лемма.
Пусть А=(х) В», В;()В~ —— Я при 1Фу и пусть на каждом множестве В» функция 1' принимает только одно значение с»; тогда (2) причем функция 1' интегрируема на А в том и только том случае, когда ряд (2) абсолютно сходится. Д о к а з а т е л ь с т в о. Легко видеть, что каждое множество А„= (х: х ~ А, 1 (х) = у„) является объединением тех В», для которых с» = у . Поэтому у„р(А„)= ~ у„2 р(В„)= 2 с»р(В„). л»»» — — у » Так как мера неотрицательна, то ~ у»(р(А»)= ~ (у„! 2 р(В»)= ~ ! с»)1»(В»), » » »» у» » т. е. ряды 2 у„р(А„) и х., с»р(В») абсолютно сходятся или расходятся одновременно.
Лемма доказана. мвгл, измяяимыв етнкции, интегелл »гл, »г Установим некоторые свойства интеграла Лебега от простых функций А) ~ (~ (х) + д (х)1 йр = ~ ~ (х) й!» + ~ д (х) Ыр, причем из существования интегралов в правой части равенства. следует существование интеграла в левой. Для доказательства предположим, что ! принимает значения на множествах Р» ~А, а д — значения д! на множествак 6! ~ А, так что », =) !»4 Ф=Х»Ф»рд. 12 1 и (х) й»» Х в!»» (О!)' л ! Тогда в силу леммы ~= ~ [Пх)+й(х))й„=~„~.а+у!) (Р () О!); (Зр (4) но р(Р)=2.р(Р,ПО!), р(О!)=2.р(Р,()а!), ! так что из абсолютной сходимости рядов (3) и (4) следует а абсолютная сходимость ряда (5); при этом 1=1»+Ум Б) Для любого постоянного й ~ й! (х) йх = й ~ ! (х) Их, причем из существования интеграла в правой части следует существование интеграла в левой части.
(Проверяется непосредственно.) В) Ограниченная на множестве А простая функ»»ия !' интегрируема на А, причем, если ~ !(х) ~ ( М на А, то (!»*»Ф (ч»»р»»». (Проверяется непосредственно.) 3. Общее определение интеграла Лебега на множестве кочечной меры. Определение 3. Назовем функцию !' интегрируемой (суммируемой) на множестве А, если существует последовательность интнггхл лявагл обозначим ~1(х) Ф А и назовем интегралом функции 1 ло множеству А.
Это определение корректно, если выполнены следующие условия: 1. Предел (6) для любой равномерно сходящейся последовательности простых интегрируемых на А функций существует. 2. Этот предел при заданной функции г не зависит от выбора последовательности (1.). 3. Для простых функций определение интегрируемости и интеграла равносильно данному в п.
2. Все эти условия действительно выполнены. Для доказательства первого достаточно заметить, что в силу свойств А), Б) и В) интеграла от простых функций, 1~.иа,— ~к„( ~юн/~ни) р 1к.(*) — ~.(*)>. (7) А Для доказательства второго условия надо рассмотреть две последовательности, ()'„) и (Я, сходящиеся к 1. Если бы пре.дел (6) для этих двух последовательностей принимал различные значения, то для последовательности, полученной объединением этих двух, предел (6) не существовал бы, что противоречит первому условию. Наконец, для доказательства справедливости -третьего условия достаточно рассмотреть последовательность, в которой ~ равняется 1 для всех л.
3 а меча н ие. Мы видим, что в построении интеграла Лебега имеются два существенных этапа. Первый — непосредственное определение интеграла (как суммы ряда) для некоторого класса функций (простых суммируемых функций), достаточно простого и в то же время достаточно обширного, второй — распространение определения интеграла на существенно более широкий класс функций с помощью предельного перехода. По существу, сочетание этих приемов — непосредственного конструктивного, но узкого определения и последующего предельного перехода присутствует в любом построении интеграла. Установим основные свойства интеграла Лебега. Непосредственно из определения следует, что: ~! ° Ыр = р(А), (8) простых интегрируемых на А функций ()'„), сходящаяся равномерно к ). Предел ( = 1пп ~ 1, (х) 4 (6) ~гл.-у МЕРА, ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ, ИНТГГРАЛ 11.
Для любого постоянного й ~ Г»1(х) й»» й ~ 1(х) 4», (9) причем из существования интеграла в правой части вытекает существование интеграла в левой. Это свойство выводится при помощи пределыюго перехода из свойства В) для интеграла от простых функций. 111, Аддитивностен ~ 11 (х) + д (х)) 4» = ~ 1 (х) 4» + ~ й (х) 4», (10) причем из существования интегралов в правой части вытекает су»цествование интеграла в левой. Доказательство получается, предельным переходом из свойства А) интеграла от простых функций.
1»у, Ограниченная на множестве А функция 1 интегрируема на А. Доказательство получается предельным переходом из свойства В) интеграла от простых функций, с использованием теоремы 2. У. Монотонностьк если 1(х) ~ О, то ~ 1(х) 4» .-в О (1 1) то 11(х)йр) 1а(х)й, (12) а поэтому, если гп < 1(х) ( М для всех (или почти всех) х еи А, то п»1» (А) (~ ~ 1 (х) й»» (~ М»» (А). (13) л (в предположении, что интеграл существует). Для простых функций это утверждение следует прямо из определения, а в общем случае его можно вывести, заметив, что если 1 измерима и неотрицательна, то найдется равномерно сходящаяся к ией последовательность (см. теорему 2) н е от р и ц ат е л ь н ы х простых функций. из последнего свойства сразу следует, что если 1(х) ~ д(х), 297 ИНТЕГРАЛ ЛЕВЕГА Ч1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
