Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Если р(А) =О, то ~ Г (х)др =О. А Ч1'. Если 1(х) = у(х) почти всюду, то ~ 1(х)др=~ у(х)др, причем оба интеграла существуют или не существуют одновременно. Эти два утверждения непосредственно вытекают из определения интеграла Лебега. Ч!1. Если функиия Гр интегрируема на А и почти всюду ~1(х) ( ( ~р(х), то 1 также интегрируема на А.
Действительно, если 1 и Ф вЂ” простые функции, то удалив из множества А некоторое множество меры нуль, оставшееся множество А' можно представить как объединение конечного или счетного числа множеств, иа каждом из которых 1 и ~р постоянны; 1(х) = а„, <р(х) = Ь„, причем (ал(( Ь . Из интегрируемости 9 вытекает, что Х~ а !И(А )(Хь.р(А )= 1Ф(х)др= 1%(х)др л л А' А Поэтому 1 тоже интегрируема, и В общем случае зто утверждение доказывается предельным переходом с использованием теоремы 2. Ч111.
Интегралы У = ~ 1 (") др 1г = ~11 (х) (д (14) существуют или не существуют одновременно. В самом деле, из существования интеграла Уз вытекает существование !~ в сплу свойства ЧП. Обратное для случая простой функции вытекает из определения интеграла, а для общего случая доказывается предельным переходом с использованием теоремы 2; при атом нужно воспользоваться неравенством (а! — ) Ь((1а — Ь!. ! (Р(*)го/- ) РР~Ф!= г, .~(А)(л А л л ~(~~~ (а„!р(А„) = $ 1~(х) (др< $~р(х)др. л А' л МЕРА, ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ.
ИНТЕГРАЛ [ГЛ. Ч 4. о-аддитивность и абсолютнан непрерывность интеграла Лебега. В предыдущем пункте были сформулированы свойства интеграла Лебега по фиксированному множеству. Сейчас мьу установим некоторые свойства интеграла Лебега, рассматривая выражение г" (А) = ~ ~ (х) й1» л как функцию множества, определенную на совокупности измеримых множеств. Установим, прежде всего, следующее свойство: Теорема 3. Если А=() А„; А,ПАà — — 8 при 1чьу, то 1)1(х)йН=Я $ 1(х)йр, л л л, (1бе причем из существования интеграла в левой части вытекает существование интегралов и абсолютная сходимость ряда в правой части. Доказательство.
Сначала проверим утверждение теоремы для простой функции 1, принимающей значения у! у» ° ' ° 1у Пусть В»=(х: хееА, ~(х) у»), Вл»=(х: хееАл, 1(х)=у»). Тогда Так как ряд х„у»р(В»), в предположении интегрируемости г на А, абсолютно сходится, а меры всех множеств неотрнцательны, то сходятся абсолютно и все остальные ряды в цепочке равенств (16). В случае произвольной функции ~ нз ее интегрируемостн на А вытекает, что для любого е 0 существует простая интегрируемая на А функция д, удовлетворяющая условию (17д ~ 1(х) — й (х)1 < Для д имеем ~ д (х) й1» = ~ ~ д (х) йр, (183 л А, ~ 1(х)йр=~у»р(В»)=~ у»~р(В„»)= л » » л у»р(Вл„) = ~~ ~ ((х) йр.
(16у 299 ИНТЕГРАЛ. ЛЕЕЕГА причем у интегрируема на каждом множестве Л, и ряд (!8) абсолютно сходится. Из этого последнего обстоятельства и из оценки (17) вытекает, что 1 тоже ннтегрируема на каждом Л„и ~ ~ 1 (х) др — ~ у (х) др ~ ( ~~ вр (А„) = вц (А), л 1А» Ал и 111»Ф — 1»(1»~~( ~Я. что вместе с (18) приводит к абсолютной сходнмости ряда ~> ~1(х)ар н к оценке и Ал Е 111»Ф — (1ФФ ~<2 1А). л А» л Так как е 0 произвольно, то Х 1~(х)д =11(х)д» л А» А ~11(х) 14 л Ал (19) сходится, то функция )' интегрируема на А и ~1(х)бр= ) ~1(х)др. Ал Доказательство.
Новым по сравнению с предыдущей теоремой здесь является утверждение, что из сходнмости ряда (19) вытекает ннтегрнруемость 1 на А. Сначала проведем доказательство для случая простой функции 7, принимающей значения 1ь Положив В,=(х: х~А, )(х)=71), Аж=А„ДВ1, С л едет ни е. Если Г интегрируема на А, то 1 интегрируема и ни любом измеримом множестве А' ~ А. Мы показали, что из ннтегрируемости функции 1 по множеству А следует, что если А = 0А„Н А1П А, = 8, то мнтегрируема по каждому А„и интеграл по А равен сумме интегралов по множествам А„. Это утверждение может быть обращено в следующем смысле.
Теорема 4. Если А=(„) Ал, А1ПА1 И лри 1чь1 и ряд !ГЛ. Ч меРА, измеРимые Функции, интеГРАл имеем ЦАл,=В, Н ~!~(Х)!д!А=~~~ !~,!!А(Ал,). л лл Из сходнмости ряда (!9) вытекает, что сходятся ряды Е Е!~6!!А(АЫ) Е!Л!!А(В!). Сходимость последнего ряда означает, что существует интеграл $ !(х) ди =~ ~НА(В,). л ! В общем случае аппраксимируем ! простой функцией ! так, что ! ! (х) — ! (х) ! < е. (20) Тогда ~ ! ~ (х) ! д!А ( ~ ! ~ (х) ! д!А + вр (А„), лл лл и так как ряд ~ !А(А„) =р(А) сходится, из сходимости ряда ((9) вытекает сходимость ряда ~ ! ! (х) ! д!А, лл т. е. по только что доказанному, интегрируемость на А простой функции !.
Но тогда в силу (20) исходная функция ! тоже ин- тегрируема на А, Теорема доказана. Неравенство Чебышева. Если ф(х)) 0 на А и с ) О, то !А (х: х ~ А, ф (х) ) с) < — ~ ф (х) д!А. !Г (21) Действительно, пусть А'=-(х: хан А, ф(х))с). Тогда ~ ф(х)д!А= ~ ф(х)д!А+ ~ ф(х)д!А~) ~ ф(х)д!А)ср(А')„ л л' л,л л' Следствие. Если то )(х) = 0 почти всюду. зо1 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА В самом деле, в силу неравенства Чебышева, имеем р ( х: х ее А, 3 ~ (х) 1 > — „1 < п ~ ( ~ (х) 14а = 0 А для всех а. Поэтому р(х'.
х ее А, 7(х) Ф 0)(~~~ р ~х: х ее А, )7(х) )) — ~=0, «=1 В предыдущем пункте было указано, что интеграл Лебега по множеству нулевой меры равен нулю для любой функции ~. Это утверждение можно рассматривать как предельный случай следующей важной теоремы. Теорема 5 (абсолютная непрерывность интег р а л а Л е б е г а) . Если ~(х) — сумм ируемая на множестве А функция, то для каждого е 0 существует такое б ) О, что ! (1«)е ~« е для всякого измеримого е ~ А такого, что и(е) < б. До к а з а тел ь ство. Заметим прежде всего, что наше утверждение очевидно, если ) ограничена.
Пусть теперь ~ — произвольная суммируемая на А функция. Положим А„= (х: х еп А, л » «~ ~ (х) ! < н + Ц В„=() А„, Сн — — А;В„. ла™ Тогда в силу теоремы 3 ))~(х)(4~=~~> ~(1(х))4~. Л=л Ал Выберем У так, что ~)(х))др= ~~~(х))ди< —,, «-н+! сн и пусть е 0<б<,+ Если теперь и(е) < б, то ! $)(х)др~<)))(х)!др= $ !Р(х)(4а+ $ ~1(х)~4а. е е енвя енсн МЕРА. ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ. ИНТЕГРАЛ !ГЛ. У 302 Первый из стоящих справа интегралов не превосходит е~2 (свойство Ч), а второй — не больше, чем интеграл, взятый по всему множеству Сн, т. е. также не превосходит е/2; таким образом, получаем ~ ~ ) (х) (йр < а.
е Установленные свойства интеграла как функции множества приводят к следующему результату. Пусть ( — неотрицательная функция, суммируемая на пространстве Х по мере р. Тогда функция Р (А) = ~ ) (х) йр определена для всех измеримых множеств А с: Х, неотрицательна и о-аддитивна, т. е. удовлетворяет условию: если А = () А„и л А;ПА~ — — Я, то Р(А)= Л Г" (А„).
Иными словами, интеграл от л неотрицательной функции обладает как функция множества всеми свойствами и-аддитивной меры. Эта мера определена иа той же о-алгебре, что и исходная мера р, и связана с р условием: если р(А) = О, то и Р(А) = О. 5. Предельный переход подзнаком интегралаЛебега. Вопрос о предельном переходе под знаком интеграла, или, что то же самое, о почленном интегрировании сходящегося ряда, часто возникает в различных задачах. В классическом анализе устанавливается, что достаточным условием возможности такого предельного перехода является равномерная сходимость соответствующей последовательности (ряда). Сейчас мы установим некоторые теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега, представляющие собой далеко идущие обобщения соответствующих теорем классического анализа.
Т е о р е м а 6 (Л е б е г) . Если последовательность Цл) на А сходится к ( и при всех п ~ ~„(х) ~( ф(х), где ф интегрируема на А, то предельная функция ) интегрируема на А и ~ 1.(х)йр ~ 1(х) 1р. Доказательство. Из условия теоремы легко следует, что Ц(х) ~ ( ф(х). Поэтому ) (и. 3, свойство П!) интегрируема. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА Пусть а ) О произвольно.
По теореме 5 (об абсолютной непрерывности интеграла) найдется такое б > О,что если р(В) < б, то 4 ' (22) в В силу теоремы Егорова множество В, удовлетворяющее условию р(В) < б, можно выбрать так, что последовательность (1„) сходится на С = А",В равномерно. Следовательно, найдется такое йГ, что при и ~ У и х ы С выполнено неравенство 11() ) ()!<» ( ) Тогда ~ 1' (х) д1А — ~ ~„(х) д1А = ~ (г' (х) — г"„(х)) ах + ~ ) (х) др — ~ 1„(х) д1А, л л с в в н так как (~(х)) < ~р(х) и (г»(х) ( = ~р(х), то в силу (22) по- лучаем ! (УР)Ф вЂ” 1ь(4Ф /< —,' ~- — ',.~)- .
Следствие. Если (~„(х) (< М = сопз1 и 7 -э 7, то $ 1 (х) др $ У (х) йр. л л 3 а м е ч а н н е. Поскольку значения, принимаемые функцией на множестве меры О, не влияют на величину интеграла, в тео- реме 6 достаточно предположить, что (Г») сходится к 1" почти всюду и что каждое из неравенств (~„(х) ~ < ~р(х) также вы- полняется лишь почти всюду. Теорем а 7 (Б.
Л евн). Пусть на множестве А 11(х)<)т(х)< <) (х)< причем функции 1 интегрируемы и их интегралы ограничены в совокупности ~ ~„(х) а1А < К. Тогда почти всюду на А существует (конечный) предел 1(х) =(пп)„(х), » "Ф а функция ( интегрируема на А и ~~„(х)др-» ~~(х)д1А, л л меРА, измеРимые 'Функции, интегРАл 1гл. Р При этом на множестве, на котором предел (23) не существует, функцию / можно задать произвольно, например, полол жнв на этом множестве /(х) = О. Д о к а з а т ел ь с т во.
Будем предполагать /~(х) ) О, так как общий случай легко сводится к этому путем перехода к функциям Рассмотрим множество 0=(х; х ~ А, /„(х)-+со). Легко видеть, что 11 =11(.) й~ ~, где г л 0~„"=(х: х еи А, /„(х) > г). В силу неравенства Чебышева (21) рМ') <К/г Так как 01'~ с йз~ «с ...
с= й~" с=..., то 1А ~ Ц 11„' ') < К/г; но при любом.г асЦаГ, поэтому р(0) с К/г. Ввиду произвольности г отсюда следует, что р(0) =О. Тем самым доказано, что монотонная последовательность (/л(х)) почти всюду иа А имеет конечный предел /(х). Обозначим через А, множество тех точек х ~ А, для которых г — 1 /(х)<г, г=1, 2, ..., и положим ср(х) = г на А,. Если будет доказана интегрируемость ф(х) на А, то утверждение нашей теоремы сделается непосредственным следствием теоремы 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
