Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 64
Текст из файла (страница 64)
До к а з ат ел ь с т во. Согласно определению полукольца иам нужно проверить, что если А, В ее Я, то АД В ееЯ, и если, кроме того, Вс: А, то А= Ц Сь где С, =В, Сс()С~= Я при $ ! 6~/ и С,ееЯ (1=1, 2, ..., и). Проведем доказательство для случая п= 2. 1. Пусть Ачему, Хо», В~6, Х$,; это значит, что А = А| Х Аь А, ЕЕ Яь А» ен 66, В = В1 Х Вм В, ен Яь В» ЕЕ СРЗ.
Тогда и так как А П В = (А~ П В|) Х (А» П В,), А,ПВ Жь А»ПВ,Вне„ АПВЯЖ, ХЖ». то ?1. Предположим теперь, дополнительно, что В,С:АИ В»~А»; в силу того, что чз, и о» вЂ” полукольца, имеют место разложения: А~=В10В)п0 ... 0В)'~, А» — — В»0В~»п0 ... 0В»б Но тогда А=А, ХА»=(В~ Х В») 0 (В1 ХВ»о) 0 ° ° ° 0(В~ ХВЯ»п) 0 0(В1ПХВ)0(ВГ'ХВ~п)0 ... 0(В|ИХВАН)0 0 (В1" Х В,) 0 (В)м Х ВР) 0 ... 0 (В(м Х В,").
Первым членом этого разложения служит В, Х В» = В, и всечлены пРинадлежат системе Ж, Х юь Теорема доказана, Однако из предположения, что системы Ж» суть кольца (или о-алгебры), еще не вытекает, вообще говоря, что произведение Яб» будет кольцом (соответственно а-алгеброй). МЕРА, ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКПИИ, ИНТЕГРАЛ [ГЛ Ч з)2 Вля простоты будем считать эти меры конечными, хотя излаГаемые ниже рассуждения и факты переносятся, без существенных изменений, на случай о-конечных мер (см., например, (2!)). Определим на полукольце й(=ж,Хж,Х." Х~. (!) меру р=р Хр Х Хр.
(2) (3) формулой р (Л) = р, (Л,) )(з(А,) ... р„(А„), ГДЕ л А=А(ХАЕХ ХАл Следует еще доказать, что р(Л) — действительно мера, т. е. что эта функция множества аддитивна. Сделаем это для случая п = 2. Пусть дано разложение А= Л, Х Л,= ( ) В'»', В(" ПВЫ' = О при ! Ф1, В' '=В( ХВз ° В силу леммы 2 й 5 гл. ! существуют такие разложения А,=!) С' ', А,=() С'"', что множества В(( ' являются объединениями некоторых С() ', (А) (М) и множества Вз — объединениями некоторых Се .
Очевидно, (А) (л) что )((А) = р((Л()))е(ЛЕ) = Е ,)' р)(С( ') рт(Ст"'), ((; )((В'"') = р( (В~") )(е (В,") = ~ ~ р( (С( )) )(з (С,'"'), (5) м л грнчем в (5) справа сумма берется по всем С() ) с: В((м и Сз(ы с: ~ВТ~), а в правой части равенства (4) стоят по одному разу все члены, появляющиеся в правых частях равенств (5).
Поэтому р (А) = Е р (В,), что и требовалось доказать. Таким образом, в частности, аддитивность элементарных мер в и-мерном евклидовом пространстве следует из аддитивности линейной меры иа прямой, 2. Прзизведення мер, Пусть на полукольцах Я(, Ж„..., Я„ заданы меры р((А)), )(з(ЛЕ), ..., рл(Ал) Ал ~ЗА. $ 61 ИРямые пРоизведения систем множеств'и меР зи Меру (2), заданную на полукольце (1) формулой (3), мы будем называть произведением мер рь ..., р . Т е о ре м а 2. Если мера рн рг, ..., р„о-аддитивны, то в-аддитивна и мера р=рг ХргХ Х р Д оказ а тельство проведем для случая и = 2.
Обозначим через )и лебегово продолжение меры рь Пусть С= Ц С„, где и ! С„ П С = кг при и Ф т, причем С и С„ входят в Э~ Х Эг, т. е. С= АХ В, А~ЭН Ве=ьг, С„= А„Х В„, А„ен Жн В„ен Эг, Пусть множества А и Аь Аг, ... лежат в пространстве Х. По- ложим для х ~ Х рг(В„), если х ен А„, 0 е хФА Легко видеть, что для х ~ А К ~„(х) = р (В), поэтому в силу следствия из теоремы Б. Леви (см. стр. 300) ~ 1л(х)гггч = ~ Рг(В)их| = хг (А) Рг(В) ='Р|(А) Рг(В), л А А но ~ ~„(х) Ю, = р, (В„) р, (А„) = р (С„) А в, следовательно, Е р (С„) = р (С). Если р„..., р„о-аддитивные меры, заданные соответственно на о-алгебрах Жн ..., Э„, то их произведением мы,назовем лебегово продолжение меры р, Х р, Х ... Х р„.
Будем обозначать его символом р,Эр,Э...Эр„или Эрг. В частности, при р~=рг= =р~=р получаем и-ю степень меры р: р = Э ры рг =р. Например, и-мерная мера Лебега р" есть п-я степень линейной меры Лебега р. меРА, измеРимые Функции, интеграл 314 ~гл и Заметим, что произведение мер автоматически оказывается полным (даже если меры рь ..., р„были неполны).
3. Выражение плоской меры через интеграл линейной меры сечений и геометрическое определение интеграла Дебега. Пусть область 6 на плоскости (х, у) ограничена вертикалями х = а, у = б и кривыми у = ф(х), у = ф(х). Как известно, площадь области 6 выражается интегралом Г(6) = ~ (<р(х) — чР(х)) дх. 0 При этом разность ф(хо) — чр(хо) равна длине сечения области 6 вертикалью х = х,. Нашей задачей является перенести такой способ измерения площадей на произвольные меры-произведения В дальнейшем будет предполагаться, что меры р, и р„ определены на о-алгебрах, о-аддитивны и обладают свойством полноты (если В с А и р(А) = О, то В измеримо), которым, как указывалось ранее, обладают все лебеговы продолжения.
Введем обозначения: Л = (у . '(х, у) ее А) (х фиксировано), А„=(х . '(х, у) ~А) (у фиксировано). Если Х н У вЂ” числовые прямые (а Х)ч. У вЂ” плоскость), то АФ есть проекция на ось У сечения множества А вертикальной прямой х = х,. Т е о р е м а 3. В перечисленных выше предположениях для любого и-измеримого множества ') А р(А) = ~ рв(Аа)др.= ~ рл(АР) дни.
До к а з а телье та о. Достаточно доказать равенство р(Л) = ~ <рл(х)с(и„, где ~рл(х) =р„(А„), (б) и так как второе утверждение теоремы вполне аналогично пер- ') Заметим, что интегрирование по Х фактически сводится к интегрированию но множеству () Ла ~ Х, вне которого подынтегральная функаня и равна нулю.
Аналогично, Г Вл $61 ПРЯМЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ СИСТЕМ МНОЖЕСТВ И МЕР 315 вому. Заметим, что теорема автоматически включает В себя утверждение, что при почти всех х (в смысле меры р„) множества А„измеримы относительно меры р„и что функция ~ел(х) измерима относительно меры р,. Без этого формула (6) не имела бы смысла. Мера и — это лебегово продолжение меры т = р„Х ры определенной иа системе Б, множеств вида А = Аы Х А„.
Для таких множеств равенство (6) очевидно, так как для них р„(А,) при х ен А„„ б при хфАР,. Без труда переносится равенство (6) н иа множества из 61(Ж ), разложимые в конечную сумму попарно непересекающихся множеств из Я, Доказательство равенства (6) в общем случае опирается на следующую лемму, которая имеет и самостоятельный интерес для теории лебеговых продолжений. Л е м м а, Длл любого 16-измеримого множества А суи1ествуег множество В вида В=ПВ„, в, в, ... ~в~ ..., ь В„=(Е) Вы Вы с: Втс: ...
сВ„ьс: ... где множества В ь принадлежат 61(Я ), причем А с В и р (А) = р (В). (7) Доказательство. По определению измеримости при любом и множество А можно погрузить во множество С„= О Л„,— т объединение множеств Ь , из Я так, что р (С„) < р (А) + 1 (и. л Положим В„= 11С„и заметим, что множества В„имеют 6=! вид В„= () б„„где б„, принадлежат Я . Положив, наконец, В„,=(16, мы получим систему множеств Вьь с нужными 5 ! свойствами, Лемма доказана, Равенство (6) легко переносится с множеств Вбьяя(1О ) на множества В„и В при помощи теоремы Б.
Леви (теорема 7 меРА, измеРимые Функции. интеГРАл [ГЛ У 5 5), так как Фв„(х) =!1т Фв„(х), Фв (х) = )'птФв„(х), и.+ Фв еч Фв м ь Фв, ~ Фв, ~ ° ° В силу непрерывности меры эти равенства имеют место .в .каждой точке х. Если р(А) = О, то р(В) = О н почти всюду Фв (х) = ру (В,) = О. Так как А„с: В„, то для почти всех х множество А измеримо и ФА (х) = ну (А ) = О, ~ Ф„(х) йр„= О = р (А). Следовательно, для множеств А меры нуль формула (6) верна. В общем случае представим А в виде В", С, где в силу (7), и(С) = О. Так как формула (6) верна для множеств В и С, то легко видеть, что она верна и для самого множества А.
Доказательство теоремы 3 закончено. Пусть теперь У вЂ” числовая прямая, р„— линейная мера .Лебега, а множество А есть множество точек (х, у) вида ((х, и): х ен М, О н у «( ~ (х)), (8) где М вЂ” какое-то р -измеримое множество, а )(х) — интегри- руемая неотрицательная функция. В этом случае ( )(х) при хан М, О при х ги М р(А) = ~ 7(х)г(р„.
м Рь=и, В РУЭ Рь Таким образом, доказана следующая теорема. Т е о р е м а 4. Интеграл г(вбеги неотрицательной функции ((х) равен мере р = р Х ру множгства А, определенного соотношением (8) . Когда Х вЂ” числовая прямая, множество М вЂ” отрезок, а функция )(х) интегрируема по Риману, эта теорема сводится к известному выражению интеграла через плошадь, расположенную под графиком функции. 4. Теорема Фубиии.
Рассмотрим тройное произведение (7 =. = ХХ УХ л; если на Х, У, Х заданы меры р„ру, р*, то меру можно определить как (».З»,) З»., или же как ». З (», З».). В действительности, как легко проверить, эти определения равносильны. Следующая теорема является основной в теории кратных интегралов. Т е о р е м а 5 (Ф у б и и и). Пусть меры», и»„определены на о-алгебрах, и-аддигивны и полны; пусть, далее, и функция 1(х, у) интегрируема по мере» на множестве А с= А" Х у. (9) Тогди ') 1)(*, у)~к=((1!(*, ю)Ф)н.=)(1)(*,у)~к.)Ф, ()О) А Ак / Г тле Утверждение теоремы включает в себя существование внутренних интегралов в скобках прн почти всех значениях переменного, по которому берутся внешние интегралы, Д о к а з а т е л ь с т в О.
Проведем сначала доказательство для случая 1(х, у) = О. С этой целью оассмотрим тройное произведение и = х х у х ~, где третий множитель есть числовая прямая, и произведение мер )с=».З»,З»'=»З»', где»' есть линейная лебегова мера. В (У определим подмножество ЯУ условием: (х, у, г) ~ Я7, если (х, у) ~ А, О ( г ~ 1(х, у). В силу теоремы 4 )б(~7) = ~ 1(х, У) (( . (1 1) С другой стороны, по теореме 3 )с(йу) = ~ Ц (Яу,) Ы»„ х (12) ') См. сноску яб стр.
314. б б1 ПРЯМЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ СИСТЕМ МНОЖЕСТВ И МЕР З(т 31З МЕРА, ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ, ИНТЕГРАЛ 1Гл. (г 3 а меч ание. Как показывают приводимые ниже примеры, из существования повторных интегралов (((1Ф.)Ф* !(1(Ф.)Ф. не следуют, вообще говоря, ни равенства (10), ни интегрируе- мость функции )(х, у) на А.
Однако, если существует хотя бы один из интегралов !11()1(* у((Ф 1»* """ ((!()1(, у(()Ф,)Ф,, ((й ( / ттл то ((х,у) интегрируема на А и слраведливы равенства (10). Действительно, пусть, например, первый из интегралов (15)' существует и равен м. Функция 1„(х, у) = гп!п(11'(х, у) (, н) из- мерима, ограничена, а значит, и суммируема на А. По теореме Фубини ~ 1„(х, у) 4 = ~ ~ ~ 1„(х, у) ФУ) ((р» < М (16) л х ~л, функции 1» образуют монотонно неубывающую последователь- ность, почти всюду сходящуюся к )г(х, у) !.
По теореме Б. Леви отсюда и из неравенства (!6) следует, что функция 1!(х,у)( суммируема на А. Но тогда и !(х,у) суммируема и для нее верна теорема Фубини. Отсюда вытекает наше утверждение. Мы доказали теорему Фубини в предположении, что меры и» и ру (а значит, и и) конечны. Однако, она остается справедли- вой и в случае и-конечных мер (см., например, [21), стр. 208). (14) где $ = рУ Х р' и )Р' обозначает множество пар (у, г), для ко- торых (х, у, г)~ )у'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
