Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Рассмотрим функцию 1/х. Она не ннтегрируема ни на каком интервале, содержащем точку нуль. Однако для каждой ~реп К интеграл ~р (х) — г(х 1 существует и конечен в смысле главного значения по Коши. Действительно, я Я я ~ ф(х) — „Их= ~ ф(х) 1 пх= ~ ~(х) Ф(0) ух+ ~ -~о -я -я Здесь ( — )т, )т) — интервал, вне которого «р обращается в нуль.
Первый из стоящих справа интегралов существует в обычном 206 линеиные ФункционАлы и линейные ОпеРАтОРы 1гл. ш 207 Ововщенные Функции смысле (под знаком интеграла стоит непрерывная функция), а второй интеграл равен нулю в смысле главного значения. Таким образом, 1/х определяет некоторый функционал иа К, т. е.
обобщенную функцию, Можно доказать, что ни одна из обобщенных функций, приведенных в примерах 1 — 4, не является регулярной (т. е. не представляется в виде (2) ни с какой локально интегрируемой функцией 1). 4. Действия над обобщенными функциями. Для обобщенных функций, т. е.
непрерывных линейных функционалов на К, определены операции сложения и умножения на числа. При этом, очевидно, для регулярных обобщенных функций (т, е. «обычных» функций на прямой) сложение их как обобщенных функций (т. е. линейных функционалов) совпадает с обычной операцией сложения функций. То же самое относится н к умножению на числа. Введем в пространстве обобщенных функций операцию предельного перехода. Мы скажем, что последовательность обобщенных функций (р'„) сходится к 1, если для каждого ~реп К выполнено соотношение ()'., р)- Ч, р). Иначе говоря, сходимость последовательности обобщенных функций мы определяем как ее сходимость на каждом элементе нз К. Пространство обобщенных функций с этой сходимостью будем обозначать К'.
Если а — бесконечно дифференцируемая функция, то естественно определить произведение а на обобщенную функцию р' формулой (а), ф) =(1, а~р) '(выражение, стоящее здесь справа, имеет смысл, так как ар~ ~ К). Все эти операции — сложение, умножение на числа и на бесконечно дифференцируемые функции, — непрерывны. Произведение двух обобщенных функций мы не вводим. Можно показать, что определить такое произведение невозможно, если потребовать, чтобы эта операция была непрерывна, а для регулярных обобщенных функций совпадала бы с обычным умножением функций. Определим теперь для обобщенных функций операцию дифференцирования и рассмотрим ее свойства.
Пусть сначала Т вЂ” функционал на К, определяемый некоторой непрерывно дифференцируемой функцией 1: ОО ТОр)= 1 1(х) р(х)дх. зов линепные ФухкционАлы и линепные ОпеРАТОРы [Гл. [ч Его производной естественно назвать функционал йТ/йх, определяемый формулой Π— (ср) = ~ [' (х)ср (х) йх. Интегрируя по частям и учитывая, что каждая основная функция сс обращается в нуль вне некоторого конечного интервала, имеем — (ср) = ~ [' (х) Чс (х) йх = — ~ [ (к) ср' (к) йк; таким образом, мы получили для йТ!йк выражение, в котором производная функции с не уч аств ует.
Эти соображения подсказывают следующее определение: Оп ределе н не 2. Производной йТ1йх обобщенной функции Т называется функционал, определяемый формулой — „„(Чс) = — Т (Ч'). сст Ясно, что функционал, определяемый этой формулой, линеен н непрерывен, т, е. представляет собой обобщенную функцию, Аналогично определяются вторая, третья и дальнейшие производные.
Обозначая обобщенную функцию символом [, мы будем обозначать ее производную (понимаемую в определенном только что смысле) обычным символом ['. Непосредственно из определения производной обобщенной функции вытекает справедливость следующих утверждений: 1. Всякая обобщенная функция имеет производные всех порядков. 2. Если последовательность обобщенньск функций ([' ) скодится к обобщенной функции [ (в смысле определения сходи- мости обобщенных функций), то последовательность производных (['„) сходится к производной г' предельной функции.
То же самое верно и для производньск любого порядка. Это равносильно тому, что всякий скодящийся ряд, составленный из обобщенных функций, можно дифференцировать почленно любое число раз. Рассмотрим некоторые примеры. 1. Из сказанного выше ясно, что если ) — регулярная (т. е. «настоящаяь) функция, производная которой существует и непрерывна (или кусочно-непрерывна), то производная от нее как от обобщенной функции совпадает с ее производной в обычном смысле. ововшенные ехнкцин 2.
Пусть 1 при х)0, р(х) = 0 при х ~(0. (5) Эта функция, называемая функцией Хевисайда, определяет линейный функционал ОО (р, ф) = ~ ф (х) цх. о В соответствии с определением производной обобщенной функции имеем (1 ф)= — (1> ф')= — ~ ф'(х)йх=ф(0) о (6) л=! Его суммой служит функция, имеющая период 2п и определяе- мая на отрезке ( — п,н] формулами — при 0 <х<п, 2 1 (х) = — — при — я (~ х < О, и+к ! 2 о при х =0 (поскольку ф обращается в 0 на бесконечности).
Таким образом, производная функции Хевисайда (5) есть б-функция. 3. Из примеров 1 и 2 ясно, что если ~ — функция, имеющая в точках «ь хм ... скачки, равные йь Йм и дифференцируемая (в обычном смысле) в остальных точках, то производная от нее (как от обобщенной функции) представляет собой сумму обычной производной (' (в тех точках, где она существует) и выражения вида К Ь;б(х — х~). ! 4. Применив определение производной к б-функции, получим, что эта производная представляет собой функционал, принимающий на каждой функции из К значение — ф'(0).
А это и есть тот самый функционал, который мы уже назвали «производной от б-функции». 5. Рассмотрим ряд Э!О ЛИНЕИНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ И ЛИНЕИНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ~ГЛ. !У Обобщенная производная от нее равна — — +и ~~! 6(х — 2йи). ! (7) Это — некоторая обобщенная функция (прнменяя ее к любой финитной функции !р(х), мы всегда будем получать лишь конечное число отличных от нуля слагаемых). С другой стороны, ч! м!плх дифференцируя ряд ~ — „почленно, мы получаем расхол ! дящийся ряд Ф ~ созпх.
в ! Однако в смысле сходимости обобщенных функций этот ряд сходится (а именно, к выражению (7)). Таким образом, понятие обобщенной функции позволяет приписать некоторый вполне определенный смысл сумме ряда, который в обычном смысле расходится. То же самое относится и ко многим расходящимся интегралам, С этим обстоятельством приходится часто встречаться в квантовой теории поля и ряде других областей теоретической физики. Впрочем, такая ситуация возникает уже при решении элементарных задач математической физики с помощью метода Фурье. Например, при решении уравнения колебаний д'и з д'и струны —, = а~ —, возникают тригонометрические ряды, имеющие вторые производные по х и по 1 только в смысле теории обобщенных функций, и значит, удовлетворяющие этому уравнению тоже только в смысле этой теории.
5. Достаточность запаса основных функций. Мы определили обобщенные функции как линейные функционалы на некотором пространстве — пространстве К финитных бесконечно дифференцируемых функций. Можно было бы основное пространство выбрать и как-либо иначе. Рассмотрим соображения, которые определили выбор К в качестве пространства основных функций. Онн применимы и в других случаях. Наложив на элементы из К жесткие требования финитности и бесконечной дифференцируемости, мы получили, во-первых, большой запас обобщенных функций (сужение основного пространства приводит, очевидно, к расширению сопряженного пространства), а во-вторых, ббльшую свободу в применении к обобщенным функциям основных операций анализа (предельный переход, дифференцирование). Но вместе с тем пространство основных функций К является не слишком узким, В нем достаточно много элементов для того, чтобы с их помощью можно было различать непрерывные функ- ововщенныв Функции ции.
Точнее говоря, пусть !"! и Гз — две различные непрерывные (а следовательно, и локально интегрируемые) функции на пря- л!ой. Тогда существует такая функция ф ~ К, что ~ ~!(х)<р(х) йх чь ~ ~а(х)ф(х)йх. (8) ь Действительно, положим 1(х) = Г!(х) — Гз(х). Если 1(х) ча О, то существует такая точка хо, что 1(хо) ныл. Тогда 1(х) сохра- няет знак в некотором интервале (а, р), содержащем точку хо. Рассмотрим функцию ! ф(х) = гр-к)(я — а! при а ( х ~ ~ О при остальных х; эта функция равна нулю вне (а, (1) и положительна внутри это- го интервала; кроме того, она имеет производные всех порядков, так что ф~ К (проверьте существование производных в точках х = а и х = (1!). При этом, очевидно, в ~ 1 (х) гр (х)их = $ 7 (х) ф (х) гтх Ф О. Э о Мы показали, таким образом, что пространство К достаточно для различения любых двух непрерывных функций '). 6.
Восстановление функции по производной. Дифференци- альные уравнения в классе обобщенных функций. Дифферен- циальные уравнения — одна из основных областей, где приме- няется теория обобщенных функций. Именно задачи, связанные с уравнениями, в значительной мере и стимулировали развитие этой теории. В основном она применяется к уравнениям в част- ных производных, которые мы здесь не рассматриваем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
