Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Определим теперь функционал 1 ~ Фд не последовательностью (Я, а последовательностью (до), где у = лд(„. То- гда и»д»(оо, л=! (4) и со скалярным произведением (д<п д1Я) — ч ~и-ду1вуп1, В ! Так как Ф = () Фд, то Ф' — пространство всех последователь»=~ ностей (до), для каждой из которых существует свое й, такое, что выполняется условие (4).
Таким образом, Ф» можно отождествить с гнльбертовым пространством последовательностей (д ), удовлетворяющих условию 190 ЛИНЕПНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ И ЛИНЕПНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ~ГЛ. Ю Значение каждого такого функционала определено на любом элементе х = (хА) ~ Ф и равняется ~ х„д„. и ! Итак, если пространство Ф есть пересечение у б ы в а ю щ е й цепочки гильбертовых пространств Ф= П ФА, Ф,;эФ .=з ....=ОФА~ „ ь=~ то Ф' есть сумма в о з р а с т а ю щ е й цепочки гильбертовых пространств Ф = () ФА, Ф1сФтс ... с:ФАЕ: ... А=! Удобно ввести обозначение ФА = Ф А. Если еще обозначить пространство Ц через Фм то мы получим такую бесконечную в обе стороны цепочку гильбертовых пространств ...
с Ф,с= ... с= Ф, с=.Ф,с=Ф, с ... с=.Ф А с=..., в которой ФА=Ф А при каждом й=О, ~!, ~ 2, ... 4. Второе сопряженное пространство. Так как непрерывные линейные функционалы на линейном топологическом пространстве Е сами образуют линейное топологическое пространство,— сопряженное к Е пространство (Е*, 5), — то можно говорить о пространстве Е** непрерывных линейных функционалов на Е*, т. е. о втором сопряженном к Е и т. д.
Заметим, что всякий элемент ха из Е определяет некоторый линейный функционал на Е'. Действительно, положим ф„а=)(х,), (5У где хА — фиксированный элемент из Е, а ( пробегает все Е'. Равенство (5) ставит в соответствие каждому ( некоторое чнсло ф„((), т. е.
определяет функционал на Е". Так как при этом ф„(а1< '+ ИУ) = а( < (хА) + ())У (х ) = аф, (1 ~) + Вф„, (7~) то этот функционал л и н ее н. Далее, всякий такой функционал н е и р е р ы в е н на Е' В самом деле, пусть е О и .4 — ограниченное множество в Е, содержащее х,. Рассмотрим в Е' окрестность нуля 0(е, А). ПО определению ьг(е, А), имеем !ф, (()!=!)(хэ)!~(а при (ее(/(в, А). Ио это означает, что функционал ф„непрерывен в точке О, а следовательно, и на всем пространстве Е'. сОпРяженнОе поостРАкство 191 Мы получили, таким образом, отображение всего пространства Е иа некоторое подмножество пространства Е".
Это отображение, очевидно, линейно. Такое отображение Е в Е" называется естественным отображением пространства Е во второе сопряженное. Обозначим его и. Если на Е есть достаточно много линейных функционалов (например, если Е нормировано или хотя бы локально выпукло и отделимо), то это отображение взаимно однозначно, так как тогда для любых двух различных х', х" ~ Е существует такой функционал ! Еп Е', что 1(х') Ф Ф )(х"), т. е, ф,, и ф„„— различные функционалы на Е'.
Если к тому же п(Е) = Е", то (отделимое локально выпуклое) пространство Е называется полурефлексивным. В пространстве Е" (как сопряженном к (Е*, Ь)) можно ввести сильную топологию, которую мы обозначим Ь'. Если пространство Е полурефлексивно и отображение п: Е-РЕ'* непрерывно, то Е называется рефлексивным пространством.
Можно показать, что отображение и ' всегда непрерывно, поэтому если Е рефлексивно, то естественное отображение и: Е-РЕ*' представляет собой изоморфизм между линейными топологическими пространствами Е и Е** = (Е'*, Ь*). Поскольку мы можем теперь каждый элемент из Е рассматривать еще и как элемент пространства Е", удобно для значений линейного функционала 1 е= Е' вместо записи 1(х) ввести более симметричное обозначение: 1(х) =(1, х).
(6) При фиксированном ) оп Е' мы можем рассматривать (), х) как функционал на Е, а при фиксированном х — как функционал на Е* (при этом уже х выступает в роли элемента из Е*"). Если Š— нормированное пространство (следовательно, нормированы и пространства Е', Е" и т. д.), то естественное отображение пространства Е в Е есть изометрия. Лействительно, пусть х — элемент из Е. Обозначим его норму в Е символом !!х!!, а норму его образа в Е'* символом !!х)4. Покажем, что !!х!!=!!х!!ь Пусть ! — произвольный ненулевой элемент пз Е*. Тогда !(), х)!» !!)!! ° !!х!!, т.
е. (!х(!)~ и, поскольку левая часть последнего неравенства не зависит от), (! х !! ) зпр — ' = !! х !)о. С другой стороны (следствие 4 теоремы Хана — Банаха для нормированных пространств), для каждого хосе Е найдется такой ненУлевой линейный фУнкционал )о, что (()о~ «о) (=(!)о)! ()хо!), (7) !92 лиНеЙНЫе ФункционАЛЫ и ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ [Гл, [у поэтому )) х]][= ацр '. )]) х)), )(1, «)( [ы Е' т.
е. ))х))= [)х!!з, что и требовалось доказать. Таким образом, нормированное пространство Е изометрично (вообще говоря, незамкнутому) линейному многообразию п(Е) в Е'*; отождествляя Е с п(Е), можно считать, что Е ~ Е Из изометричиости естественного отображения я: Е -> Е** для нормированных пространств следует, что понятия лолурефлексивности и рефлексивносги для нормированных пространств совладают. Поскольку пространство, сопряженное к нормированному, полно, всякое рефлексивное нормированное пространство Е полно. Конечномерные евклидовы пространства и гильбертово пространство представляют собой простейшие примеры рефлексивных пространств (для них даже Е = Е'). Пространство са сходящихся к нулю последовательностей представляет собой пример полного нерефлексивного пространства.
Действительно, как мы показали выше (пример 2 5 2), сопряженным к св является пространство 1[ всех абсолютно сходя- шихся числовых рядов, которому в свою очередь сопряжено пространство гл всех ограниченных последовательностей. Пространство С]а, Ь] непрерывных функций на некотором отрезке [а, Ь] тоже нерефлексивно.
Мы, однако, не будем здесь приводить доказательства этого утверждения '). Примером рефлексивного пространства, не совпадающего со своим сопряженным, может служить 1„при 1 ( р Ф 2 (так как 1;,=1, где 1]р+ 1/д= 1, то 1Р' — — С = 1р). У п р а ж не н и е. Докажите, что замкнутое подпространство рефлексивного пространства рефлексивно. $3. Слабая топология и слабая сходимость 1.
Слабая топологмя и слабая сходимость в линейном топо- логическом пространстве. Рассмотрим линейное топологическое пространство Е и совокупность всех непрерывных функционалов на нем. Если 1» ..., 1, — произвольный конечный набор таких функционалов и е — положительное число, то множество (х: )1[(х)) < а; 1=1, 2, ..., л) (1) открыто в Е и содержит точку О, т. е.
представляет собой некоторую окрестность нуля. Пересечение двух таких окрестностей ') Можно доказать даже следующее более сильное утверждение: не существует н и к а кого нормированного пространства, длв которого С[а, Ь) было бы сопряженным пространством. слввля топология и сллвля сходимость !93 за! всегда содержит множество вида (1), и, следовательно, в Е можно ввести топологию, для которой совокупность множеств вида (!) будет определяющей системой окрестностей нуля. Она называется слабой топологией пространства Е. Слабая топология в Š— это самая слабая из топологий, в которой непрерывны все линейные функционалы, непрерывные в исходной топологии этого пространства.
Ясно, что всякое множество в Е, открытое в смысле слабой топологии, открыто и в исходной топологии пространства Е, однако обратное, вообще говоря, неверно (множества вида (1) не обязаны образовывать определяющую систему окрестностей нуля в исходной топологии). По терминологии, принятой нами в 9 5 гл. 11, это означает, что слабая топология пространства Е с л а б е е, чем его исходная топология. Тем самым оправ,"..- вается принятое для нее название. Если в Е существует достаточно много непрерывных линейных функционалов (например, если Е нормировано), то слабая топология в Е удовлетворяет аксиоме отделимости Хаусдорфа. Легко также проверить, что операции сложения и умножения на числа, определенные в Е, непрерывны относительно слабой топологии этого пространства, Даже в случае нормированных пространств слабая топология в Е может не удовлетворять первой аксиоме счетности.
Следовательно, эта топология, вообще говоря, не описывается на языке сходящихся последовательностей. Тем не менее сходимость в Е, определяемая этой топологией, представляет собой важное понятие. Она называется слабой сходимостью. В отличие от нее, сходимость, определяемую исходной топологией пространства Е (нормой, если Е нормировано), называют сильной сходпмостью. Понятие слабой сходимости можно сформулировать следующим образом: последовательность (х ) элементов из Е называется слабо сходящейся к х, ~ Е, если для любого непрерывного линейного функционала ~р(х) на Е числовая последовательность (~р(х )) сходится к ф(хо).
Действительно, считая для простоты ха =О, предположим, что ~р(х„)-эО при всяком ~р с=Е". Тогда для всякой слабой окрестности У = (х: ! ~р; (х) !с. е, ! = 1, 2, ..., й) точки О, найдется такое У, что х„ ~ 0 при всех а ) У (для этого достаточно выбрать У~ так, что )~р;(х„)! ( е при п ) Уг и затем положить У = гпах У;). Обратно, если для каждой слабой окрестности нуля У существует такое У, что х„ ен У для всех л ) У, то условие ~р(х„)-э-0 при и-ь со, очевидно, выполнено для каждого фиксированного ~ран Е'. Из того, что слабая топо- 194 ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ И ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 1ГЛ. !У логия пространства Е слабее его сильной топологии, следует, что всякая сильно сходящаяся последовательность сходится и слабо. Обратное, вообще говоря, неверно (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
