Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 39
Текст из файла (страница 39)
е, так, что !! )О !!на С = !! ) !!на Е Действительно, пусть !!)о!!- с= й. Ясно, что й!!х)! — однородно-выпуклый функционал. Взяв его в качестве р и применяя общую теорему Хана — Банаха, получим требуемый результат. Эта форма теоремы Хана — Банаха допускает следующую геометрическую интерпретацию. Уравнение 10 (х) 1 (8) определяет в подпрострапстве Е гкперплоскость, лежащую на расстоянии 1Д1о!! от нуля. Продолжая функционал (о без увеличения нормы до функционала на всем Е, мы проводим через эту частичную гиперплоскость «большую> гиперплоскость во всем Е, причем «не позволяем» ей приблизиться к нулю.
Комплексный вариант теоремы Хана — Банаха (теорема 4а $2 гл. 1П), дает нам комплексный аналог предыдущей теоремы: Пусть Š— комплексное нормированное пространство, 1о — линейный ограниченньчй функционал, определенный на подпространстве Е с: Е. Тогда существует линейный ограниченный функционал 1, определенный на всем Е и удовлетворяющий условиям 1' (х) = То (х), х еи Е, !!)!1„е=(!Уо!!- Укажем некоторые важные факты, вытекающие из теоремы Хана — Банаха для нормированных пространств.
Предварительно !во лингиныв о~нкциопхлы и линвиныа опагктоеы !гл. щ сделаем следующее замечание. Выпуклое множество в линейном пространстве мы назвали выпуклым телом, если оно имеет иепустое ядро. Можно показать, что в нормированном пространстве ядро множества совпадает, очевидно, с совокупностью его внутренних точек. Таким образом, в нормированном пространстве выпуклое тело — это выпуклое множество, имеющее хотя бы одну внутреннюю точку. Отсюда и нз теоремы 5 9 2 гл.
111 вытекает следующий факт, Сл едет в и е 1 (первая теорема отделимости). Пусть А и  — выпуклые множества в нормированном пространстве Х, причем хотя бы одно из них, скажем А, является взгпуклым телом и его ядов не пересекается с В. Тогда существует ненулевой непрерывный линейнгяй функционал, разделяющий А и В. Существование ненулевого функционала, разделяющего А и В, обеспечивается самой теоремой 5 $2 гл. П1. Покажем, что соответствующий функционал обязательно непрерывен. Действительно, если зцр )(х) ~!п! !(х), лыл лсв (9) то функционал !' ограничен на А сверху. Пусть хе — внутренняя точка множества А и У(хе) — ее шаровая окрестность, целиком лежащая в А, В силу (9) функционал ! ограничен на У(х,) сверху.
Но тогда он ограничен па У(хг) и снизу (проведите доказательство!). Так как линейный функционал, ограниченный на каном-либо шаре, непрерывен, то наше утверждение доказано. Следствие 2 (вторая теорема отделимости). Пуста А— замкнутое множество в нормированном пространстве Х их,~Х— точка, не принадлежащая А. Тогда существует непрерывный линейный функционал, строго разделяющий хе и А. Действительно, достаточно взять некоторую выпуклую окрестность 0 точки хы не пересекающуюся с А, и рассмотреть функционал, разделяющий У и А. (Проведите доказательство того, что ненулевой функционал, разделяющий У и А, непременно строго разделяет хо и А.) Сл еде т в и е 3 (лемма об аннуляторе), Для всякого (замкнутого) собственного надпространства Е банахова пространства Х существует ненулевой непрерывный линейный функционал ), равный нулю на В. Действительно, пусть х,~ Е и ! — непрерывный линейный функционал, строго разделяющий х, и Е: 1(хо) > зцр !(х).
лес Тогда !(х) = О на Е, так как иначе верхняя грань справа была бы равна + оо. НЕПРЕРЫВНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ 1З! Совокупность функционалов, равных нулю на данном подпространстве, называется аннулятором этого подпространства и обозначается Ь" '). С л едет в и е 4, Если хо — ненулевой элемент в нормированном пространстве Х, то существует такой непрерывный линейный функционал ! на Х, что !!У!1= ! и )(хо) =!!хо!!. (10) Действительно, определив сперва функционал ! на одномерном подпространстве, состоящем из элементов вида ахо, формулой 1(ахо) = а!!хо(1, а затем продолжив его без увеличения нормы на все Х, мы и получим функционал, удовлетворяющий условиям (10). Заме чан не.
Для произвольных локально-выпуклых пространств следствия 1 — 3 остаются в силе без изменений, а следствие 4 может быть заменено утверждением: для всякого хо чи О существует такой непрерывный линейный функционал 1, что 1(хо) Ф О.
4. Линейные функционалы в счетно-нормированном пространстве, Пусть Š— счетно-нормированное пространство с нормами !! 1~А (й = 1, 2,...); Не ограничивая общности, можно считать (см. стр. 173), что для всякого х е= Е !! х 1!1 » <!1 х !!я »< ° » !! х !!. »< (11) Пусть ! — непрерывный линейный функционал на Е; тогда в Е существует окрестность нуля (7, на который ! ограничен, В силу определения топологии в счетно-нормированном пространстве найдутся такое натуральное й и такое е О„что шар ВА, = = (х !!хЬ ( е) целиком лежит в (7; тогда функционал ! ограничен на этом шаре и потому ограничен и непрерывен относительно нормы !! ° Ь, т. е. существует такое С ~0, что ! ! (х) ~ ~( С )! х Ц!а, х еп Е.
С другой стороны, очевидно, что если линейный функционал ограничен по какой-либо из норм !! ° ~1, то он непрерывен на Е. Таким образом, если Е„'— запас всех линейных функционалов на Е, непрерывных относительно нормы ~! ~!л, а Е' — запас в с ех линейных непрерывных функционалов на Е, то Е" = Ц Ел. л=! (12) ') и й 4 гл. 111 мы обоэиачили так ортогональное дополнение подпростраистаа в еаклидоаом пространстве. Как будет видно а следующем парчграфе, а авклидовом пространстве понятия ортогонального дополнения и ааиулятора равносильны, поэтому соападсиие обоэиачеииа оправдано, 1а2 линейные ФункциОнАлы и линейные ОЦГРАтОРы 1гл гу Кроме того, из условия (11) следует, что Е1 с Е; с ...
с Е'„с Если 1" — непрерывный линейный функционал на Е, т. е. 1 епЕ*, то его порядком называется наименьшее из чисел и, для которых ~~Е„"; в силу равенства (!2) каждый непрерывный линейный 4гункционал на Е имеет конечный порядок. 5 2. Сопряженное пространство 1. Определение сопряженного пространства. Для линейных функционалов можно определить операции сложения и умножения их на числа. Пусть ), и )т — два линейных функционала на некотором линейном пространстве Е.
Их суммой ~~+)е называется линейный функционал 1 (к) = 1, (х) + )з (х), х е= Е. Произведением а1~ линейного функционала 11 на число а называется функционал 1(х)=а~,(х), ке=Е, Равенства, определяюшие 1г + )з и а)ь можно записать и так: (~, + 1а) (х) = ~г (х) + 1а(х), (а~,) (к) = а)1 (х). Ясно, что сумма ~~ + уе и произведение а11 представляют собой линейные функционалы.
Кроме того, если пространство Е топологическое, то из непРеРывности фУнкЦионалов ~~ и 1я следует, что 1'1 +1а и а)г тоже непрерывны на Е. Легко проверить, что так определенные операции сложения функционалов и умножения их на числа удовлетворяют всем аксиомам линейного пространства. Иначе говоря, совокупность всех непрерывных линейных функционалов, определенных на некотором топологическом линейном пространстве Е, образует линейное пространство. Оно называется пространством, сопряженньгм с Е, и обозначается Е*. У и р а ж я с и в е.
Совокупность в с е х линейных фунпцноналов па Е, не обязательно непрерывных, называется илгебраичесхи сопрялгеннгам простраиствоы и обозначается Е . Привести пример топологвческого векторного пространства Е, такого, что Е' чь ЕФ. В сопряженном пространстве Е' можно различными способами ввести топологию. Важнейшие из них — это сильная и слабая топологии.
2. Сильная топология в сопряженном пространстве. Начнем с того простейшего случая, когда исходное пространство Е нормировано. Для непрерывных линейных функционалов, заданных СОПРЯЖЕННОЕ ПРОСТРАНСТВО 183 на нормированном пространстве, мы ввели понятие нормы, положив (Л =-р)"„",'1.
Эта величина удовлетворяет всем требованиям, содержащимся в определении нормированного пространства. Действительно, 1) ))1)! ) О для любого ненулевого линейного функционала 1, 2) )! а) !! = ! а (. !! г )), (з р 11„!! + Ецр '11 1 ' —— ))1, !!+!!1з(), 1 й (х)! ! ~ (х)! Таким образом, пространство Е', сопряженное к нормированно- му, можно наделить естественной структурой нормированного пространства. Топология в Е', отвечающая введенной норме, на- зывается сильной топологией в Е'.
Желая подчеркнуть, что Е' рассматривается как нормированное пространство, мы будем вместо Е' писать (Е', )1. 11). Установим следующее важное свойство пространства, сопря- женного к нормированному. Теорем а 1. Сопряженное пространство (Е', !! ° )!) полно. Д о к а з а т е л ь с т в о.
Пусть ()„) — фундаментальная после- довательность линейных функционалов. Тогда для каждого е)0 найдется такое й1, что ))1 — 1, )! ( е для всех и, т ) йг. Отсюда для любого х ~ Е получаем )1„(х) — 7 (х) )(!! Ä— 1 )! ))х)! < е!)х)), т. е. при любом х~ Е числовая последовательность (1'„(х)) сходится. Положим 1" (х) = )пп 1„(х). и-+ Проверим, что 1 представляет собой непрерывный линейный функционал. Линейность проверяется непосредственно: г(ах+()у) = Игп ~„(ах+ бу) = = !!Тп (а)„(х) + ф„(у)) = а) (х) + ()1 (у). Для доказательства непрерывности функционала 1 вернемся к неравенству )1„(х) — 1„,(х)! ( В))х)! и перейдем в нем к пределу при т -ь Ос; получим !)(х) — ~„(х) )(»В!!х)! 184 линвиныв фтнкционхлы и линепныа опвелтоеы [гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
