Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Та. ким образом, линейные пространства — топологическне, но не нормируемые— это вовсе не обязательно «экзотика» яли «патология». Наоборот, некоторые из этих пространств представляют собой не менее естественные и важные обобщения конечиомерного евклидова пространства, чем, скажем, гильбертово пространство. ГЛАВА 1Ч ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ И ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ й 1. Непрерывные линейные функционалы 1. Непрерывные линейные функционалы в топологических линейных пространствах. В й 1 гл.
111 мы уже рассматривали функционалы, определенные на линейном пространстве. Если речь идет о функционалах, заданных па топало гичес ком линейном пространстве, то основной интерес представляют неп р е р ы в н ы е функционалы; как обычно, функционал (, определенный на пространстве Е, называется непрерывным, если для всякого х, ~ Е и всякого е ) О существует такая окрестность У элемента хы что !)(х) — ((х,)~(в при х~У, (1) Это определение относится, в частности, и к линейным функционалам.
Если Š— кон еч номерное топологическое линейное пространство, то всякий линейный функционал на Е автоматически непрерывен. В общем случае из линейности функционала его непрерывность не вытекает. Следующее утверждение существенно для дальнейшего, хотя и почти очевидно. Если линейный функционал 1 непрерывен в какой-либо одной точке х ~ Е, то он непрерывен и всюду на Е. Действительно, пусть у — произвольная точка в Е и пусть е ) О. Выберем окрестность У точки х так, чтобы выполнялось условие (!). Тогда сдвиг этой окрестности У =У+(у — х) будет искомой окрестностью точки у, так как если г еи У, то г+ х — у я У и, следовательно, ~ ) (г) — 1 (у) 1 =- ~ 1(г — у + х) — ~ (х) | ( е. Таким образом, проверять непрерывность линейного функционала достаточно в одной точке, например в точке О.
Если Š— пространство с первой аксиомой счетности, то непрерывность линейного функционала на Е можно сформулиро- йи непрерывные линейные вуикциондлы 175 вать в терминах последовательностей: функционал 1 называется непрерывным в точке х ~ Е, если изх„— х следует 1(х„)- 1(х). Проверка равносильности этого определения непрерывности приведенному выше (при наличии первой аксиомы счетности) предоставляется читателю. Теор е м а 1. Для того чтобы линейный функционал ( был непрерывен на Е, необходимо и достаточно, чтобы существовала такая окрестность нуля в Е, на которой функционал )' ограничен. Д о к а з а те л ь с т в о.
Если функционал )' непрерывен в точке О, то для каждого е >'О сушествует окрестность нуля, на которой (1(х) ! (и. Обратно, пусть У вЂ” такая окрестность нуля, что !((х) ((С при х ~ и, е и пусть а > О. Тогда — 0 есть та окрестность нуля, на которой С (((х)!.с в. Тем самым доказана непрерывность 1 в точке О, а значит, и всюду. Уп р а ж не и не. Пусть Š— топологическое линейное пространство; докажите справедливость следующих утаерждеиий.
(а) Линейный функционал 1 яа Е непрерывен тогда и только тогда, когда существует такое открытое множество 0 щ Е и такое число (. что 1 Ф 1((Г ) где 1(И) — множество значений 1 иа И. (б) Линейный функционал 1 иа Е непрерывен тогда и только тогда, когда его ядро (к: 1(х) = 0) замкнуто а Е (а) Если всякий линейный функционал иа Е непрерывен, то топология в Е совпадает с ядерно-выпуклой топологией (см.
упражнение 2 па стр. (тб), (г) Если Е бескоиечномерно и иормируемо, то иа ием существует ке иепрерыаиый линейный функционал (аоспользуйтесь сущестаоааиием а Е базиса Гамеля; см. упражнение иа стр. 123). (д) Пусть а Е существует определяющая система окрестностей нуля, мощность которой ие преаосходят алгебраической размерности пространства Е (т. е. мощности базиса Гамеля в Е; см. упражнение на стр. 123). Тогда иа Е существует ие непрерывный линейный функционал, (е) Для того чтобы линейный функционал 1 был иепрерывеа ка Е, пе. обходимо, а а случае, когда Е удовлетворяет первой аксиоме счеткостк, н достаточно, чтобы ои был ограничен иа каждом ограниченном множестве.
2. Линейные функционалы на нормированных пространствах. Пусть рассматриваемое пространство Е нормировано. По теореме 1 всякий непрерывный линейный функционал 1 ограничен в некоторой окрестности нуля. Но в нормированном пространстве всякая окрестность нуля содержит шар и, значит, 1 ограничен на некотором шаре. В силу линейности функционала это равносильно его ограниченности на любом шаре, в частности, иа единичном !)х)! ( 1. Обратно, из ограниченности функционала 1' на единичном шаре следует, в силу той же теоремы 1, его непрерывность (ибо внутренность этого шара представляет собой окрестность нуля).
177 НЕПРЕРЫВНЫЕ ЛИНЕИНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ следовательно, этот функционал ограничен, а значит, и непреры- вен на ь(". Из неравенства (5) получаем, что Так как правая часть этого неравенства не зависит от.х, то Вцр — «»11а11, )ь'(х)1 )) х )) т. е. 11) 11««11 а 11. Но положив х=а, получим 1[(а)1=(а, а)=11а11о, т. е.
— =11а11. 17(о)1 Поэтому 11111 =11а11. 2. Интеграл ь 7(х)=1х(7) и, ь где х(7) — непрерывная функция на [а, Ь[, представляет собой линейный функционал в пространстве С[а, Ь1. Этот функционал ограничен, а его норма равна Ь вЂ” а. Действительно, ь ~ьь.н- [*ьоьь/< *~*ьььнь —.ь-ь*ььь — и, о причем при х = — сопз( достигается равенство. 3.
Рассмотрим более общий пример. Пусть уо(ь) — фиксированная непрерывная функция на [а, Ь[. Положим для любой функции х(7)еи С[а, Ь[ ь (Х) ~ Х(ь)уь(ь)Ььь о Этот функционал линеен. Он ограничен, так как ь ь 1Р(х)1= ~хЯуоЯЖ «~11х11~1уо(()М( (6) В силу линейности и ограниченности он непрерывен. Из (6) следует оценка его нормы: ь 11 Р 11 ~« ~1уо(~)1ь(( ь (Докажите, что на самом деле здесь имеет место точное равен- ство!) !78 ЛИНЕИНЫГ ФУНКЦИОНАЛЫ И ЛИНЕПИЫЕ ОПЕРАТОРЫ [ГЛ. 1У 4. Рассмотрим в пространстве С(а, Ь! линейный функционал би(х) =х(!Р), уже упоминавшийся в п, 5 $ ! гл. Ш. Его значение на функции х(!) определяется как значение х(!) в данной точкс !Ф Ясно, что ! х (1,) ! ( ()1 х !1, причем для х =— сонэ! имеет место равенство.
Отсюда сразу следует, что норма функционала бь равна 1. 5. В любом евклидовом пространстве Х можно определить линейный функционал так же, как и в !А", вь|брав некоторый фиксированный элемент а енХ и положив для любого х АХ р(х) =(х, а). Как в случае й", легко проверить, что при этом 1!Р!1=()а!1. В дальнейшем мы будем рассматривать только непрерывные линейные функционалы, а слово «непрерывный» будем для краткости опускать. Понятию нормы линейного функционала можно дать следуюшую наглядную интерпретацию.
Мы уже видели (гл.,!П, ф 1), что всякому ненулевому линейному функционалу можно сопоставить гиперплоскость Е, определяемую уравнением 1(х) = 1. Найдем расстояние д от этой гиперплоскости до точки О. По определению, с(= 1п! (!х!!. В силу оценки мы=~ )1(х) (~()(! !! !1х !! на гиперплоскости !(х) = 1 будем иметь 1~ х!! ) 1Я ! 1! и, значит, с() 1/!!) 1~. С другой стороны, в силу определения нормы ! для любого е Р О найдется такой элемент х„подчиненный условию 1(х,) = 1, что 1~ (1!1!! — Е)11х,!1; поэтому с( = ! п! !! х 11 < ! ым 1 !! !1 — е Поскольку е ) О произвольно, получаем г( = 1Я1 ) !1, т. е.
норма линейного функционала ! обратна расстояни>о гиперплоскости 1(х) = 1 от точки О. 179 непгвгывиыв линеиныв ьтнкционялы 3. Теорема Хана — Банаха в нормированном пространстве. В 5 2 гл. 111 мы доказали общую теорему Хана — Банаха, согласно котоРой всЯкий линейный фУнкционал 1о, опРеделенный на некотором подпространстве Е линейного пространства Е и удовлетворяющий условию ! 1о(х) !(Р(х) (7) (р — фиксированный однородно-выпуклый функционал на Е), может быть продолжен на все Е с сохранением этого условия. Применительно к нормированным пространствам эту теорему можно сформулировать следующим образом: Пусть Š— действительное нормированное пространство, Е— его надпространство и 1о — ограниченный линейный функционал на Е. Этот линейный функционал может быть продолжен до некоторого линейного функционала 1' на всем пространстве Е без увеличения нормы, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
