Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 40
Текст из файла (страница 40)
ш Отсюда вытекает, что функционал « — «„ ограничен. Но тогда ограничен, и значит, непрерывен и функционал 1 = 1 +(1 — 1 ). Кроме того, отсюда же следует, что Ц вЂ” «1~ < в для всех и ) У, т, е., что «)„) сходится к 1. Подчеркнем еще раз, что эта теорема справедлива независимо от того, полно или нет исходное пространство. 3 а м е ч а н и е. Если нормированное пространство Е нг полно, а Š— его пополнение, то пространства Е' и (Е)' изоморфны. Действительно, если Е вложено в Е в качестве всюду плотного подмножества, то всякий линейный непрерывный на Е функционал «продолжается по непрерывности с Е на все Е.
Обозначим это (единственное!) продолжение (. Ясно, что ~~(Е)', Щ~ = =Ц~~, и что всякий функционал из (Е)' служит продолжением некоторого функционала из (Е)* (а именно, своего сужения на Е). Следовательно, отображение )-ьг представляет собой изоморфное отображение пространства Е* на все пространство (Е)". Определим теперь сильную топологию в пространстве, сопряженном к произвольному линейному топологическому. В пространстве, сопряженном к нормированному, мы определили окрестность нуля как совокупность функционалов, удовлетворяющих условию 1! 1 ~«( а.
Иначе говоря, за окрестность нуля в пространстве Е*, сопряженном к нормированному, принимается совокупность функционалов, для которых «1(х) «( е, когда х пробегает в Е единичный шар ~)4~ = 1. Беря всевозможные е, получим определяющую систему окрестностей нуля. В случае, когда Š— не нормированное, а топологическое линейное пространство, вместо единичного шара в Е естественно взять произвольное ограниченное множество А. Окрестность нуля У,,л в Е* определяется как совокупность линейных функционалов, удовлетворяющих условию )1(х)~<е при всех х~А, Варьируя в и А, получим определяющую систему окрестностей нуля в Е. Итак, сильная топология в Е" задается совокупностью окрестностей нуля, зависящих от положительного числа е и ограниченного множества А ~ Е.
Мы не будем здесь проверять, хотя это и несложно (см., например, «9)), что такая система окрестностей действительно превращает Е* в линейное топологическое пространство. Ясно, что в случае нормированного пространства Е только что описанная сильная топология в Е" совпадает с той, которая определялась с помощью нормы. Заметим, что сильная топология в Е* обязательно удовлетворяет аксиоме отделимости Т, и локально выпукла (независимо от . топологии в Е). Действительно, если «ь ~ Е' и 1ь Ф О, то СОПРЯЖЕННОЕ ПРОСТРАНСТВО следовательно, линейный функционал однозначно определяется своими значениями на векторах базиса еь ..., е„причем этн значения можно задать произвольно. Определим линейные функ- ционалы д!,..., д„, полагая ( 1, если г=), й!(е,)=~ 0, если;~у.
Очевидно, что эти функционалы линейно независимы. Ясно, что я,(х) = х„поэтому формулу (1) можно записать в виде и г(х) = ~ )(е!)д!(х), ! ! Таким образом, функционалы д!, ..., д составляют базис в пространстве Е; т. е. Е' есть и-мерное линейное пространство; базис д!, ..., йо в Е* называют двойственным по отношению к базису е!, ..., е„ в Е. Различные нормы в пространстве Е индуцируют различные нормы в Е'. Вот несколько примеров пар соответствующих друг другу норм в Е и Е' (читателю рекомендуется акнуратио провести соответствующие доказательства): / о хм (а) ~! х !! = ~ ~ ~ х, ~о) о! !.!-(Е>., г) !!»=(е~ ! !)' и!!!=(е!! !): 1 1 — + — =1 Р Ч 1 ( р ( оо; найдется такой элемент хо~ Е, что (о(хо) ~0; положим в = Я!!о(хо)!и А=(хо), тогда (оф Ув,х, т, е.
Š— Т,-простран- 1 Э ство. Для доказательства локальной выпуклости сильной топологии в Е' достаточно заметить, что для любого е ) 0 и любого ограниченного А ~Е окрестность У, „выпукла в Е..Сильную топологию в Е' обозначим символом Ь; желая подчерннуть, что Е' рассматривается в сильной топологии, мы будем писать (Е', Ь) вместо Е'. 3. Примеры сопряженных пространств. 1. Пусть Š— и-мерное линейное пространство (действительное или комплексное).
Выберем в нем какай-нибудь базис е!,... ..., е„; тогда всякий вектор х ен Е однозначно представим в виде о х = ~ хоео Если 1 — линейный функционал иа Е, то ясно, что о=! (()=Х,((;);; (1) 1ва лингиныг етнхционллы и линвинып операторы 1гл. пг (с) !!х!(= зцр (хг!, !!1!!= К(!!1; !К!~и ! ! и (с() !!х!1= К(х,!, !!! !!= ацр (!! !. г=! !юг~и В этих формулах х!,..., х„— зто координаты вектора хан Е в базисе еь ..
еи, а 1г, ..., 1, — координаты функционала 1е-:Е' в двойственном базисе д!,..., д„. У ар а ж н е н н е. Донааать, что нсе перечнсленнме нормы определяют н л мерном пространстве одну н ту же топологню. 2. Рассмотрим пространство се сходящихся к нулю последо- вательностей х = (х!, ха, ..., х„...) с нормой !! х !! = аир ! хл ! и л покажем, что сопряженное к нему пространство (со, !! ° !!) азо- морфно пространству 1, всех абсолютно суммируемых последова- тельностей1=(1г, )ж ..., 1„, ...) с нормой (!1!1= ~ !~„!. Люи ! бая последовательность 1 ~ 1, определяет в пространстве со ли- нейный ограниченный функционал 1 по формуле 1(х) = ~ 1„х„; Ясно, что !)(х)!» !!х(! ~ !1и 1, так что !(1!(» (2 !)л !»»!!1!!. л=! и ! Рассмотрим в са векторы е, = (1, О, О, ..., О, О, ...), ет = (О, 1, О, ..., О, О, ...), ел = (О, О„ О, ..., 1, О, ...), и положим х'ю=~ —, ел !чесли 1„=О, то считаем, что —.
х гл 1л !1.! =0). Тогда хгн! енса, !!х!ач!!и 1 и н и 1 (хгю) = ) —" 1 (ел) =- ~~! ! 1„(, л=! л ! так что Ит 1(х<а!) = 2, !1„!=|!~!!. Следовательно, !!1!1~ х ! г„(; Н-~. ии л=! л=! сопоставляя это с доказанным выше противоположным неравенством, заключаем, что !!1!1= ~ !)и!=!!1!!. л ! СОПРЯЖЕННОЕ ПРОСТРАНСТВО Таким образом, мы построили линейное изометрнчес о е от о бра жение 1- ) пространства 1, в пространство сь; остается проверить, что образ пространства 1, прн этом отображении совпадает со всем с,', т.
е. что всякий функционал 1 ~ с, 'представим в виде (2), где 1 = (1„) ~ 1Р Для всякого х=(хл) енс, имеем х= ~ хлел, причем ряд, стоящий справа, л=! сходится в сь к элементу х, ибо х — ~ хлел =ецр !х„)- 0 л=! 1 л)М ПРИ Л!'- ОО. ТаК КаК фУНКЦИОНаЛ )ЕНСЬ НЕПРЕРЫВЕН, тО 1(Х)= Ю = ~ х„)(ел); поэтому достаточно проверить, что ),)1(ел)) ( ьь. и=! л=! Полагая х<н) =~ ="е, н замечая, что х<Я) енсгл )! хн!))<1, ти 1 (ел) ~ ! )1(лл)( имеем я у ) 1(е„) )=~~ ) 1(е„) =1(х<в))б ))1)), л ! л ! откуда в силу произвольности М заключаем, что 1 )1(е„))<ьь. л ! Э. Нетрудно доказать, что пространство 1!, сопряженное к пространству 1!, изоморфно пространству т, состоящему нз всех ограниченных последовательностей х = (х ) с нормой )!х)~ = = знр)хл~. 4.
Пусть р ) 1 и 1р — пространство всех последовательностей х = (хл), для которых )) Х () = ~ ~., ) Хл )Р) ( СО; л ! можно доказать, что сопряженное к нему пространство 1,' изоморфно пространству 1л, 1/р+ 1/д = 1. Общий вид линейного непрерывного функционала на 1РН 1( )= ~, („х„; х=(х„) ~1Р, 1=(1„) я1. и ! Доказательство основано на применении неравенства Гельдера. 5. Выясним структуру пространства, сопряженного к гильбертову. Т е о р е м а 2. Пусть Н вЂ” действительное гильбертово пространство. Для всякого непрерывного линейного функционала 1 188 линенныг ФункциОнАлы и лииенные ОпеРАТОРы !Гл. !ч на Н су!цествдет единственный элемент хо он Н, такой, что !(«)=(х, х,), хенН, (3) причем П г' П = П хо П.
Обратно, если хо ен Н, то формула (3) определяет такой непрерывный линейный функционал ), что Ц)П = = ЦхоЦ. Таким образом, равенство (3) определяет изоморфизм ) -ь хо между пространствами Н' и Н. Д о к а з а т ел ь с т в о. Очевидно, что для всякого хо ен Н формула (3) определяетлннейный функционал на Н. Так как!1(х) != = ! (х, хо) ! ( Пх П П хоП, то этот функционал непрерывен, а так как ! («о) = П хо Р, то П 1 П = П хо П.
Покажем, что всякий непрерывный линейный функционал ! на Н представим в виде (3). Если ! = О, то полагаем х, = О. Пусть теперь ! Ф О и Н, = (х:!(«) = =О) — ядро функционала 1; так как ! непрерывен, то Но— за м кн у то е линейное подпространство в Н. В п. 6 $ ! гл. !!! было показано, что коразмерность ядра любого линейного функционала равна 1. Поэтому, учитывая следствие 3 теоремы 7 из 3 4 гл. П1, заключаем, что ортогональное дополнение Но к под« пространству Но одномерно, т. е.
существует такой (ненулевой) вектор у,, ортогональный к Но, что всякий вектор хан Н однозначно представим в виде х = у+ Хуо, где у ~ Но. Очевидно, можно считать, что П уо П = 1; положим хо = !(до)до. Тогда для любого х ен Н имеем х=у+Хуо, у ен Но, 1 (х) = 1!1 (д,), (х, хо) = 7 (уо, «о) = Ч (до) (до, уо) = Ч (до) Таким образом, 1 (х) =-(х, х,) для всех х ен Н. Если ! (х) = — (х, хо), «ЕЕН, то (х, хо — хо) =О, откуда, полагая х =хо — хо, полу- Р чаем, что хо — — х,.
3 ам еч а ни я. 1. Пусть Š— неполное евклидова пространство, а Н вЂ” гильбертово пространство, являюшееся его пополнением. Так как пространства Е" и Н" изоморфны (см. замечание на стр. 184), а Н' изоморфно Н, то справедливо следующее утверждение: пространство Е', сопряженное к неполному евклидову пространству Е, изоморфно пополнению Н пространства Е, 2. Теорема 2 справедлива и для комплексного гильбертова пространства (доказательство в точности то же, с заменой лишь хо = !!до)до на хо = !(до)уо) Единственное отличие комплексного случая от действительного состоит в том, что теперь отображение Н в Н', сопоставляюшее элементу хоен Н функционал 1(х) = (х, хо), ЯвлЯетСЯ сопРЯженно-линейным нзомоРфизмом, т.
е. элементу Ххо отвечает функционал )о!. 6. В примерах 1 — 5 рассматривались нормированные пространства. Рассмотрим теперь пространство счетно-нормирован- сопгяжвниое пгостяднство 1Зз ное. Пусть Ф вЂ” действительное счетно-гильбертово пространство, состоящее из всех последовательностей х = (х ), для которых / ~ Чз 11хЦ=~~ лдх) < оо при всех й=1, 2, л=~ Скалярные произведения в Ф суть (х, у)»= ~ и к„у„, й= 1, 2, Пространство Ф со скалярным произведением (, )д является евклидовым; пусть Фд — его пополнение. Легко видеть, что Фд можно отождествить с гильбертовым пространством всех последовательностей х = (х„), у которых 11х~~д - оо. В силу теоремы 2 пространство Ф», сопряженное к Фд, изоморфно пространству Фд, при этом изоморфизме каждому непрерывному линейному функционалу )еяФ» сопоставляется такая последовательность г=(1 ),что ~! ( ( = ~Е л»! („!2) < оо 1(х) = (х, 1)» = 2, л~х„1„, к = (х„) еп Фд, и обратно, каждая такая последовательность опдоеделяет элемент из Ф».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
