Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Уп р а ж вен ив. 1. Пусть Š— топологическое линейное пространство; докажите справедливость следующих утверждений: (а) множество М ~ Е ограничено тогда и только тогда, когда для любой последовательности (х )~М и любой последовательности положительным чисел (е ), стремящейся к нулю, последовательность е х„стремится к нулю; (б) если (хн)~ ~ ~-Е и х„— ьх, то (х ] — ограниченное множество; (в) если Е локально ограничено, то в нем выполняется первая аксиома счетности. Выполнена ли первая аксиома счетности в пространстве И"? 2. Мы скажем, что множество М в топологичесном линейном пространстве Е поглощается окрестностью нуля О, если существует такое )ь» О, что л():> М.
Доказать, что в локально ограниченном пространстве существует фундаментальная система окрестностей нуля, взаимно поглощающих друг друга, Что можно принять за такую систему в нормнрованном пространстве? 2. Локальная выпуклость. Произвольные топологические линейные пространства могут обладать свойствами, слишком уж далекими от привычных свойств евклидовых или нормированных пространств. Важный класс пространств, более общих, чем нормированные, но сохраняющих многие свойства последних, образуют так называемые локально выпуклые пространства.
О п р е д е л е н и е 2. Топологическое линейное пространство называется локально выпуклым, если в нем всякое непустое Открытое множество содержит непустое выпуклое открытое подмножествоо, )ТО НОРМИРОВАННЫЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА !ГЛ ПТ Заметим, что если пространство Е локально выпукло, то для любой точки х ян Е и любой ее окрестности (У найдется такая выпуклая ее окрестность У, что к я Ус К Действительно, достаточно проверить справедливость этого утверждения для точки х = О.
Пусть (г' — какая-нибудь окрестность нуля. Найдется такая окрестность нуля У, что У вЂ” У ~ Г. Так как Е локально выпукло, то найдется непустое выпуклое открытое множество У'~ У; пусть у ен У', тогда У' — у — выпуклая окрестность нуля, содержащаяся в К Всякое нормированное пространство локально выпукло. Действительно, в нем любое непустое открытое множество содержит некоторый шар. Таким образом, всякое нормированное пространство локально ограничено и локально выпукло. Можно показать, что, по существу, нормированными пространствами и исчерпывается класс пространств, обладающих обоими этими свойствами. Именно, назовем линейное топологическое пространство Е нормируемым, если та топология, которая имеется в Е, может быть задана с помощью некоторой нормы.
Имеет место следующая теорема; всякое отдели ое локально выпуклое и локально ограниченное линейное топологическое пространство нормируемо. Уп р а ж не н на 1. Докажите, что открытое множество (У а топологнческом линейном пространстве выпукло тогда н только тогда, когда У+ 0 =- = 20. 2. Пусть Š— линейное пространство; множество () ~ Е называется сим= мегричныяь если нз х щ 0 следует — х ~ж (). Пусть ая — ссмейстао всех выпуклых симметричных подмножеств пространства Е, совпадающнх со своим. ядром (см, й 2).
Доказать справедливость следующих утверждений. (а) Семейство Я является определяющим семейством окрестностей нуля для некоторой локально выпуклой отделимой топологии а пространстве Е (эта топологня называется ядерно-аыпуклой), (б) Ядерно-выпуклая топология является снльнейшей нз локально выпуклых топологий, а которых линейные операции а Е непрерывны. (а) Всякий линейный функпнонал на Е непрерывен относительно ядерно.выпуклой топологии, 3. Счетно-нормированные пространства.
Очень важным для анализа классом линейных топологических пространств оказались так называемые счетно-нормированные пространства. Для того чтобы сформулировать соответствующее определение, нам понадобится одно вспомогательное понятие. Пусть в линейном пространстве Е заданы две нормы 11 )1, гт 1(х. Они называются согласованными, если всякая последовательность (х4 из Е, фундаментальная по каждой из этих норка и сходящаяся к некоторому пределу х еп Е по одной иэ них, сходится к тому же пределу х и по второй норме.
Говорят, что норма 11 111 не слабее, чем (1 11ь если сущесзаует такая постоянная с > О, что 1)х~)1 ) с 1(х1)з для всех х еа Е ТОПОЛОГНЧЕСКНЕ ЛННЕИНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 171 $51 Если первая норма не слабее второй, а вторая — не слабее первой, то зтн две нормы называются экаиаалеитиыии. Две нормы называются сравнимыми, если одна нз пнл не слабее другой. 0 п р е д е л е н и е 3. Счетно-нормированным пространством называется линейное пространство Е, в котором задана счетная система попарно согласованных норм [! [! . Всякое счетно-нормированное пространство становится линейным топологическим, если за определяющую систему окрестностей нуля принять совокупность множеств Уг,„каждое из которых определяется номером г и положительным числом е и состоит из всех тех элемен.Тов х ~ Е, которые удовлетворяют условиям [! х ~1, < в, ..., [! х [1„< в.
Мы предоставляем читателю проверить, что такая система Окрестностей нуля действительно определяет в Е топологию, в которой операции сложения элементов и умножения их на числа непрерывны. Заметим, что всякое счетно-нормированное пространство удовлетворяет первой аксиоме счетиости, поскольку сисгему окрестностей нуля Уб .
можно заменить (не изменяя топологии) счетной подсистемой, в которой е принимает лишь значенлч 1, !/2,1/3, ...„ !/и, ... Более того, топология в счетно-нормированном пространстве может быть задана при помощи некоторой метрики, например, такой: С"- —. !л-р!. и "-Сз зтт=гз * иРН Предлагаем читателю проверить, что функция р(х,у) удовлетворяет всем аксиомам расстояния и инвариантна относительно сдвигов (т. е. р(х+е, у+г)= р(х,у), х, у, еенЕ) и что порождаемая ею топология совпадает с исходной.
Таким образом, мы получаем возможность говорить о полноте счетно-нормированного пространства, понимвя под этим полноту относительно введенной выше метрики. Заметим еще, что последовательность йхл) фундаментальна относительно метрики (1) тогда и только тогда, когда она фундаментальна относительно каждой из норм [! [~и, и сходится (в этой метрике) к элементу хееЕ тогда и -только тогда, когда она сходится к х по каждой из норм [!.[[„.
Иными словами, полнота счетно-нормированного пространства чззначает, что в нем всякая последовательность, фундаментальная по каждой из норм [!.[[„сходится. П р и м е р ы. 1. Важным примером счетно-нормированного тгространства служит рассмотренное выше пространство К[а, о) ягесконечно дифференцируемых функций на отрезке, если счи- 173 НОРМИРОВАННЫЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 1гл. 111 тать, что норма !! !! в этом пространстве определяется формулой !!1!! =- Епр !11А1(1)! л~1~А О<А< Очевидно, что все эти нормы согласованы между собой и что они определяют в К[а, Ь) ту самую топологию, которая была описана выше.
2. Пусть 5 — пространство всех бесконечно дифференцируемых функций на прямой, стремяшихся на бесконечности к нули» вместе со всеми своими производными быстрее, чем 11'!7! в любой степени (т. е. удовлетворяющих условию 7А)!К1(7)-РО прп )7!-» ОО при любых фиксированных й и !7). В этом пространстве определим счетную систему норм„положив !!1!! = Впр )( ) ~~(7)1, и!=О, 1, 2, ... А, д<гл (!(а Нетрудно проверить, что эти нормы согласованы между собой Таким образом, 5 — счетно-нормированное пространство, 3. Важный частный случай счетно-нормированных пространств — так называемые счетно-гильбертовы пространства.
Пусть Н вЂ” линейное пространство, в котором задана счетная система скалярных произведений (!р,!р)л, причем предположим„ что нормы !!!р!!,,=~7(41, !р)„, отвечающие этим скалярным произведениям, согласованы между собой. Если такое пространство полно, то оно называется счетно-гильбертовым пространством. 4. Конкретным примером счетно-гильбертова пространства может служить следующее пространство.
Пусть Ф вЂ” совокупность всех таких числовых последовательностей (х ), для которых при каждом целом й ~ О ряд ~ илхх л ! сходится. Зададим в этом пространстве счетную систему норм, положив I- !)х!!А= '~/ ~~' и"х'„. л=! Нетрудно проверить, что эти нормы согласованы между собой и что Ф полно в указанном выше смысле. Ясно, что каждую из норм !! ° !!А можно задать с помощью скалярного произведения (х, у)»= ~ и к„у„, л=! й з| топологические линейные пРОСТР»нстил 173 т. е. |Б есть счетно-гильбертово пространство. Оно называется пространством быстро убьсвасощих последовательностей.
Если Š— счетно-нормированное пространство, то заданные в нем нормы Ц.Ц» можно считать удовлетворяющими условию ЦЕЦ»<ЦЕЦс при й < 1, (2) так как иначе мы могли бы нормы ЦхЦ» заменить нормами Ц х Ц» = зц р ( Ц х Ц„Ц х Цх, ..., Ц х Ц»), определяющими в Е ту же самую топологию, что и исходная система норм. Пополнив пространство Е по каждой из норм Ц Цю мы получим систему полных нормированных пространств Е». При этом из соотношения (2) и согласованности норм следует, что имеются естественные вложения Е»:эЕ| при й < Е Таким образом, каждому счетно-нормированному пространству Е можно сопоставить убывающую цепочку полных нормированных пространств »ь Ес:з Ея ~ ...
=з Е» з ' Й Е» -з Е »-| Можно показать, что пространство Е полно тогда и только тогда, когда Е= П Е„ (докажите это!). Так, например, про»=| странство К[а, Ь[ бесконечно дифференцируемых функций на отрезке [а, Ь) есть пересечение полных нормированных пространств Ся[а, Ь[ (и = О, 1, 2, ...), где С"[а, Ь) состоит из функций, имеющих непрерывные производные до и-го порядка включительно, а норма в нем определяется формулой ЦЦЦ = зцр 111»1(1)1. а<с~э о<»< В ЗО-х годах, когда в основном в работах Банаха была построена теория линейных нормированных пространств, сложилось впечатление, что этот класс пространств достаточно широк для того, чтобы обслуживать все конкретные нужды анализа. Впоследствии, однако, выяснилось, что это не так. Оказалось, что в ряде вопросов важны такие пространства, как пространство бесконечно днфференцируемых функций, пространство всех числовых последовательностей и и другие пространства, в которых естественная для них топология не может быть задана с помощью какой бы то нн было нормы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
