Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 34

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 34)

служили ко- аппроксимацию. Следовательно, ряд ~ сь~рь сходится к (, и раА=! венство Парсеваля имеет место. В предыдущем пункте мы доказали существование полных ортогональных нормированных систем в сепарабельном евклидовом пространстве. Поскольку для ортогональных нормированных систем понятия замкнутости и полноты совпадают, существование замкнутых ортогональных систем в )т не нуждается в новом доказательстве, а приведенные в предыдущем пункте примеры полных ортогональных нормированных систем являются в то же время примерами замкнутых систем. Выше мы все время предполагали рассматриваемые ортогональные системы нормированными.

Можно переформулировать понятия коэффициентов Фурье, ряда Фурье и т. д. и для любых ортогональных систем. Пусть (~р,) — произвольная ортогональная система. По ней можно построить нормированную систему, состоящую из элементов ф„= чл . Для любого (~гс имеем 1%л) 1 сл=(1 фл)-(чл(У* ~Рл) евклидовы ПРостяхястВА эффициентами Фурье какого-либо элемента ) ен тс, и ео б ход и м о, чтобы ряд ~ с'„- сходился.

Оказывается, что в полном пространстве это условие не только необходимо, но и достаточно. Именно, справедлива следующая теорема. Теорем а 3 (Р и с с — Ф и ш ер). Пусть (<р ) — произвольная ортогональная нормированная система в полном евклидовом пространстве тт, и пусть числа с„ см ..., с„, таковы, что ряд 2 сть (22) сходится. Тогда суи(ествует такой элемент Г ~ Я, что се=(г, фь) от =(), г)=!1~!г', к=1 Доказательство. Положим ~.=Ее„„. ь=! Тогда й~ Р 111„. — У„!1т=11сенф„~!+ ... +с„+,(Р„„1Р = Х вы. ь= ~+1 Так как ряд (22) сходится, то отсюда в силу полноты тс вытекает сходимость последовательности (г'„) к некоторому элементу 1ен гт. Далее ()' М = Ч" ф.) + (г' — 1, М (23) причем справа первое слагаемое при и ) т' равно сь а второе стремится к нулю при и-» со, так как 1(г* — г', в)!Юà — Г.

!1 11 р 11 Левая часть равенства (23) от' и не зависит; поэтому, переходя в нем к пределу при и -» ьа. получаем, что (г, ф,)=с> 1.к4 нОРмиРОВАпные и тОполОГические пРОстРАнстВА (гл и! Так как, по определению (, )) ) — )„))-РО при и оо, то ~' с', =(у, )). й ! Действительно, ( л л л ) — ~ сйгрй, ) — ~ сйфй )) = (), )) — ~ с' -ь 0 й=! й ! й=! при и-ь оо. Установим в заключение следующую полезную теорему. Т е о р е м а 4.

Для того чтобы ортогональная нормированная система (гр„) в полном сепарабельном евклидовом пространстве была полна, необходимо и достаточно, чтобы в )г не существо.вало ненулевого элемента, ортогонального всем элементам системы (!р„). ДО К а э а тЕЛ ЬСтВО. ПуСтЬ СИСтЕМа (Грл) ПОЛНа И, СЛЕдааательно, замкнута. Если ) ортогонален всем элементам системы (гр ), то все его коэффициенты Фурье равны нулю.

Тогда из равенства Парсеваля получаем л ((, ))= ~ с'=О, т. е.)= О. Обратно, пусть система (гр„) не полна. Тогда в йг существует такой элемент йг Ф О, что (а, д) > ~ с'-„(где сй —— (д, !рй)). На основании теоремы Рисса — Фишера существует такой эле- .мент ) ~йг, что (), грй) = сй и (), )) = ~ с'-. Элемент ) — д ортогонален всем грь Из Неравенства (у, )) = Х с' < (а, а) следует, что ( — д чь О. У п р а ж н е н и я. 1.

Пусть Н вЂ” полное евклидово пространство (не обя.зательно сепарабельное)! тогда в нем сугпествует полная ортогональная нормированная системз (фо) (см, упражнение 1 на стр, 149). Доказать, что для .всякого вектора г гм Н справедливы разложения ) =~' !Г Ч'я)'ра 6УР,~' !Г фо) о а ввклидовы пространства где в суммах, стоящих справа, имеется не более счетного числа отличных от В слагаемых. 2.

Система (ув) векторов евклидова пространства и называется гогах~- ной, если в И не существует отличных от О векторов, ортогональных ко всем мо, Теорема 4 означает, что в полном евклндовом пространстве тотальность системы векторов эквивалентна ее полноте. Показать, что в неполных пространствах могут существовать тотальные, но не полные системы. 6. Гильбертово пространство. Теорема об изоморфизме. Продолжим рассмотрение полных евклндовых пространств. При этом нас, как и до сих пор, будут интересовать бесконечномерные пространства, а не конечномерные, исчерпывающее описание которых дается в курсах линейной алгебры. По-прежнему. мы, как правило, будем предполагать наличие в рассматриваемых пространствах счетного всюду плотного множества.

Введем следующее определение. Определение 2. Полное евклндово пространство бесконечного числа измерений называется гилобертоным пространством '). Таким образом, гильбертовым пространством называется совокупность Н элементов 1, у, ... произвольной природы, удовлетворяющая следующим условиям (аксиомам). 1. Н есть евклидово пространство (т.

е. линейное пространство с заданным в нем скалярным произведением). П. Пространство Н п о л н о в смысле метрики р(1, у) = =!11 — У!!. П1. Пространство Н бе с кон еч но мер но, т. е. в нем для любого а можно найти и линейно независимых элементов. Чаще всего рассматриваются сепарабельные гильбертовы пространства, т. е.

пространства, удовлетворяющие еще одной аксиоме. Гч'. Н се па раб ел ьн о, т. е. в нем существует счетное всюду плотное множество. Примером сепарабельного гильбертона пространства может служить действительное пространство 1,. В дальнейшем мы будем рассматривать только сепарабельный случай. Аналогично определению 2 из 5 1 два евклидовых пространства, )с и тс', называются изоморфными, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие так, что если х х', у~ у' (х, у ~ 14; х', у' ~ Я'), ') По имени знаменитого немецкого математика Д. Гильберта (1862— 1943), который ввел это понятие. 15В нОРмиРОВАнныа и топологические пРОстРАнстВА 1гл. щ ТО х+ у х'+ у', Ох ~ — ~ ах И (х, у)=(х', у').

Иначе говоря, изоморфизм евклидовых пространств — это взаим- но однозначное соответствие, сохраняющее как линейные опе- рации, определенные в этих пространствах, так и скалярное произведение. Как известно, любые два и-мерных евклидовых пространства изоморфны между собой и, следовательно, каждое такое про- странство изоморфно арифметическому пространству (т" (при- мер 1, и, 2). Евклидовы пространства бесконечного числа из- мерений не обязательно изоморфны друг другу.

Например, про- странства 1з и Ст[а, о) между собой не изоморфны. Это видно, например, из того, что первое из них полно, а второе — нет. Однако имеет место следующий факт, Т ео р е м а 5. Любые два сепарабельнык гильбертовых про- странства изоморфны между собой. Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем, что каждое гильбертово про- странство Н изоморфно пространству 1ь Тем самым будет до- казано утверждение теоремы. Выберем в Н произвольную пол- ную ортогональную нормированную систему (аь,) и поставим в соответствие элементу 1~Н совокупность сь см ..., с„, ...

его О коэффициентов Фурье по этой системе. Так как ~ сз < ОО то Аан последовательность (сь см ..., с„, ...) есть некоторый элемент из 1ь Обратно, в силу теоремы Рисса — Фишера всякому эле- менту (сь см ..., с„, ...) из 1г отвечает некоторый элемент 1~ Н, имеющий числа сь сь ..., с„, ... своими коэффициента- ми Фурье. Установленное соответствие между элементами из Н в 1т взаимно однозначно. Далее, если (с„см ..., с„, ...) 0~-'(А а2 ~ аи~ )~ то 1+у~ (с, +й„ст+~Ц, ..., с„+а„, ...) а1 ~- (ась ась ..., ас„, ...), т, е. сумма переходит в сумму, а произведение на число — в произведение соответствующего элемента на это же число.

Наноиец, из равенства Парсеваля следует, что (1, а)= Ес„й„. (24) ЕВКЛНДОВЫ ПРОСТРАНСТВА Действительно, из того, что (1, 1) = Х с' (д д) = х~„г(и и=~ «=1 н Ц + у, ~ + у) = ((, 1) + 2 ((, у) + (у, у) = = ~~' (с„ + д„)' =- ~ с„' + 2 Е с„г(„ + Е Н„' иРИ и ! и=! и=-! вытекает (24). Таким образом, установленное нами соответствие между элементами пространств О и !э действительно является 'изоморфизмом. Доказанная теорема означает, что, с точностью до изоморфизма, существует лишь одно (сепарабельное) гильбертово 'пространство (т. е. система аксиом 1 — 1Ч полна) и что пространство !э можно рассматривать как его «координатную реализацию», подобно тому как п-мерное арифметическое пространство со скалярным произведением ~ х,у~ представляет собой 1=! координатную реализацию евклидова пространства и измерений, заданного аксиоматически.

Другую реализацию гильбертова пространства можно получить, взяв функциональное пространство Си(а, Ь) и рассмотрев 'его пополнение. Действительно, легко проверить, что пополнение Я' всякого евклидова пространства й! (в том смысле, как мы определили пополнение метрического пространства в 5 3 гл. !1) становится линейным евклидовым пространством, если в нем определить линейные операции н скалярное произведение, продолжая их по непрерывности с пространства Й, т. е. полагая х+ у= !Нп (хи+ уи), ах= !Нп ахи и-и (х, у) = !Пп (хи, уи), где хи-их и у -иу, х, у енп'.

(Существование всех этих пределов и их независимость от выбора последовательностей (х„) н (у„) легко устанавливается). Тогда пополнение пространства Си(а, Ц будет полным евклидовым пространством, очевидно, бесконечномерным и сепарабельным, т. е. гильбертовым пространством. В главе Ч11 мы вернемся к этому вопросу и покажем, что те элементы, которые нужно присоединить к Сэ(а, 61, чтобы получить полное пространство, тоже можно представить как функции, но только уже не непрерывные (а именно, как функции, квадрат которых суммируем в смысле Лебега). 158 ногмнговхнные и топологические пгостгхнствл 1гл. пг 7. Подпространства, ортогональные дополнения, прямая сумма. В соответствии с общими определениями в 3 линейным многообразием в гильбертовом пространстве Н мы назовем такую совокупность Е элементов из Н, что если /.

Характеристики

Список файлов книги