Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Если х,у~А н а+ +Р=1, а, (1)0, то р (ах + ру) «( ар (х) + бр (у) ««й, т. е. А выпукло. Далее, пусть р(х)( й, 1 > 0 и у~ /., тогда р (х ~ (у) «р (х) + /р (~ у). есть выпуклое тело, ядром которого служит множество (х; р(х)(й) (содержаи1ее точку О), Если в (7) й= 1, то исходный функционал р(х) есть функционал Минковского для А. Доказательство.
Для всякого хеп/. элемент х/г принадлежит А, если г достаточно велико; поэтому величина рл(х), определяемая равенством (6), неотрнцательна и конечна, Проверим положительную однородность функционала (6). Если 1>О ну=/х,то рл(у)=(п((г> 0: у/г~А) =1п( (г > 0. "(х/гееА) = = 1П1 (/г' > 0: х/г' я А) = Г 1п( (г' > 0: х/г я А) = /рл (х). (8) а 21 ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА И ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ [ЗЗ Если р( — у) = р(у) = О, то х ~ Су ее А при всех [„ если же хотя бы одно из неотрицательных чисел р(у), р( — р) отлично от О, то х~= [у ~А при Й вЂ” р [х) тах[р [у), р [ — у)1 ' Непосредственно из введенных определений ясно, что р служит функционалом Минковского для множества (х: р(х) ( 1). Итак, введя понятие функционала Минковского, мы установили соответствие между неотрицательными однородно-выпуклыми функционалами и выпуклыми телами с ядром, содержащим точку О.
При меры. 1. Прн А = Т. имеем, очевидно, рс(х) =О, 2. Пусть А — шар с центром О и радиусом г в [«". Тогда ра(х) =[[х[й, где [[х[[ — длина вектора х. 3. Пусть А — «слой» вЂ” ! ( х, ( 1 в пространстве !а последовательностей х = (хь хм..., х„,...) . Тогда рл(х)=[х, 1. 3 а м е ч а н и я. 1. Иногда удобно рассматривать однородно. выпуклые функционалы, которые могут принимать не только КОНЕЧНЫЕ ЗНаЧЕНИя, НО И ЗНаЧЕНИЕ +со (НО НŠ— ВВ).
ТОГда НЗ равенства р(ах) = ар(х) (где а ) 0) следует, что р(0) = 0 или р(0) = со. Легко проверить, что в этом последнем случае можно, не нарушая однородной выпуклости функционала, изменить его значение в одной точке, положив р(0) = 0 вместо р(0) = +со. Так обычно и делают. Если р(х) — однородно-выпуклый, но не обязательно конечный, функционал, то А = (х: р(х) ( й) есть выпуклое множество, но не обязательно выпуклое тело. Обратно, если А — произвольное выпуклое множество, содержащее точку О, то для него можно определить функционал Минковского формулой (6), но при этом придется для г допускать и значение +со.
2. Если р,(х) и р,(х) — однородна-выпуклые функционалы, то таковы же р,(х)+да(х) и мр,(х) при а)О. Далее, если .(р,(х)), — произвольное семейство однородно-выпуклых функционалов, то таков и функционал р(х) = зпр р,(х). В частности, «аз верхняя грань р (х) = зпр [,(х) любого непустого множества линейных функционалов на Ь есть однородно-выпуклый функцио- 134 НОРМИРОВАННЫЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 1ГЛ.
1М нал. Воспользовавшись теоремой Хана — Банаха, легко показать„ что так можно представить всякий (конечный) однородно-выпуклый функционал. У яр а ж н ен и е. Множество А в линейном пространстве Е называетсгг поглощоюгянм, если для всякого х ен Е сушествует такое и > О, чта х м. АА для всех А ~ а. Докааать, что выпунлое множество А — поглошающее в том н только том случае, если его ядро содержит точку О. 4. Теорема Хана — Банаха. Пусть Š— действительное линейное пространство и Ьо — некоторое его подпространство Пусть, далее, на подпространстве Ео задан некоторый линейный функционал 1,. Линейный функционал 1, определенный на всем пространстве Е, называется продолжением функционала 1о, есле 1(х) =1о(х) для всех хан Ео.
Задача о продолжении линейного функционала часто встречается в анализе. Основную роль во всем этом круге вопросов. играет следуюшая теорема. Т е о р е м а 4 (Х а н — Б а н а х) . Пусть р — однородно-выпуклый функционал, определенный на действительном линейнодг пространстве Е, и пусть Ео — линейное надпространство в Е Если 1о — линейный функционал на Ео, подчиненный на Ьо функционалу р(х), т. е. если на Ьо 1,(х)(р(х), го 1о может быть продолжен до линейного функционала 1 на Е подчиненного р(«) на всем Ь.
Доказательство. Покажем, что если Ьо Ф Ь, то функционал 1о можно продолжить с Ь, на некоторое большее подпространство Ь' с сохранением условия (9). Действительно пусть г †произвольн элемент нз Ь, не прннадлежаший Е,. и пусть Ь' — подпространство, порожденное Е, и г.
Каждый элемент из Е' имеет вид Ыг+ х, где х он Ь,. Если 1' — искомое продолжение функционала 1о на Ь', то 1' (г + «) = г1' (г) + 1, («), или, если положить 1 (г) = с, 1'(гг+ х) =ге+ 1о(х). Теперь выберем с так, чтобы сохранить на Ь' условие подчинения (9), т. е.
так, чтобы при всех х еи Ьо и всех действительных г выполнялось неравенство 1о(х)+ге ( р(х+гг). при г) ев оно равносильно условию 1,( — ")+с(р(-"+г), или с(р( — +г) — 1о( ~) ° яи ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА И ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ 135 а при 1 < 0 — услоВию 1о( — )+с~ Р( — 2 г) ° =-- (-2- )-~ И). или Докажем, что всегда существует число с, удовлетворяющее этим двум условиям. Пусть у' и у" — произвольные элементы из ЕФ Тогда — ~В(у")+р(у" +г)> — 72(у') — р( — у' — г).
(10) Это вытекает из неравенства й(у") — 1.(у') <р(у" — у') =р((у" + ) — (у + )) < <р(у" +г)+ р( — у' — г). Доложим лм=2п1( — 1,(у")+р(у" +г)), с'=зцр( — 12(у') — р( — у' — г)). У" и' в(з (10' в силу произвольности у' и у" следует, что с" ) с'. Выбрав с так, что с" в с) с', определим функционал 1' на формулой 1'(гг+ х) =!с+ ~В(х). Этот функционал удовлетворяет условию подчинения (9). Итак, мы показали, что если функционал 12 определен на неасотором подпространстве ЕВ с: Е и удовлетворяет на ЕВ условию (9), то ~В можно продолжить с сохранением этого условия а2а некоторое большее подпространство Е'. Если в Е можно выбрать счетную систему элементов х„ хм, х„, ..., порождающую все Е, то функционал на Е строим 22о индукции, рассматривая возрастающую цепочку подпрост- ранств Чздесь (Е(х~,хь.у1) означает минимальное линейное подпространютво в Е, содержащее Ыю и хАФ,).
Тогда каждый элемент х~ Е войдет в некоторое Ю) и, следовательно, функционал будет продолжен на все Е. В общем случае (т. е. когда счетного множества, порождаюацего Е, не существует) доказательство заканчивается применеЛ2нем леммы Цорна. Совокупность Я всевозможных продолжеа2ий функционала ~м удовлетворяющих условию подчинения (9), частично упорядочена, и каждое ее линейно упорядоченное а2одмножество 52 обладает верхней гранью; этой верхней ~за НОРМИРОВАННЫЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА !ГЛ П! гранью служит функционал, определенный на объединении областей определения функционалов ~' ~ 5, и совпадающий с каждым таким г' на его области определения.
В силу леммы Цорна во всем 5 существует максимальный элемент Е Этот максимальный элемент ~ и представляет собой искомый функционал. Действительно, он является продолжением исходного функционала )ы удовлетворяет условию (9) на своей области определения и задан на всем Е, так как иначе мы продолжили бы его описанным выше способом с того собственного подпространства, на котором он определен, на ббльшее подпространство, и г" не был бы максимальным. Теорема доказана. Приведем еще комплексный вариант теоремы Хана — Банаха.
Неотрицательный функционал р на комплексном линейном пространстве Е называется однородно-выпуклым, если для всех х, у еи Е и всех комплексных чисел Л р (х + у) ««р (х) + р (у), р (Лх) = ! Л ! р(х). Теорема 4а. Пусть р — однородно-выпуклый функционал на комплексном линейнол~ пространстве Ь, а (Р— линейный функционал, определенный на некотором линейном подпространстве ЕА с: Е и удовлетворяющий на нем условию !~А(х) !(р(х), х еп Е,. Тогда существует линейный функционал ~, определенный на всем Е и удовлетворяющий условиям !~(х)!~<р(х), хеиЕ, $(х)=~А(х), хеиЕ,, Д о к а з а т е л ь с т в о, Обозначим через Ья и Ьея пространства Е и Еы рассматриваемые как действительные линейные пространства.
Ясно, что р — однородно-выпуклый функционал на Ея, а )Ая(х) = Ке)А(х) — действительный линейный функционал на Е,„, удовлетворяющий условию !)АЯ(х) 1««Р(х) и, тем более, условию ~ья(х) «~ р(х). В силу теоремы 4 существует действительный линейный функционал ~я, определенный на всем Еп и удовлетворяющий условиям ~я(х) «р(х), х еи Ея(=Ь), Ь(х) =. ~.я(х), ° Е,. (= Ь,). ая Выпуклые множестВА и Выпуклые ФункционАлы 1зт ясно, что — Гн(х) = !и( — х) ~ р( — х) = р(х), так что ! 4 (х) ! < р (х), х ~ ~я (= С).
(1 1) Определим функционал 1 иа 1, полагая 1(х) =1л(х) — 11я(1х) (здесь мы пользуемся тем, что Б — ком плек с нос линейное пространство, так что в нем определено умножение на комплексные числа). Непосредственная проверка показывает, что ~ — комплексный линейный функционал на Л, причем 1(х) = — ~,(х) рн х ен йм Ре)(х) =1Л(х) при хне 1.. Осталось показать, что ()(х) ~< р(х) для всех хне Е. Допустим противное; тогда для некоторого х,е= ь' имеем )1(ха) ) > >р(хо).
Представим комплексное число 1(хо) в виде 1" (хо)= =Ре", где Р > О, н положим до=е-лихо. Тогда 1л(Уа) =Ре1(Уо)= = Ре(г Ч (хо)) = р > р(х,) = р(уа), что противоречит условию (11). Теорема доказана. У п р а ж н е и и е, Покажите, что условие конечности функционала р в теореме Хана — Банана можно опустить. 5. Отделимость выпуклых множеств в линейном пространстве. Пусть С вЂ” действительное линейное пространство, а М н 1у' — два его подмножества.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
