Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 27
Текст из файла (страница 27)
где нижняя грань берется по всем возможным парам параметрических представлений кривой Е, прн помощи функции Р = ),(1), О » (1 (» 1, и кривой Ез при помощи функции Р = ]з(1), О ( 1 » (1. Доказательство того, что это расстояние удовлетворяет обычным аксиомам, очень просто, за исключением одного пункта: представляет некоторые трудности доказать, что нз р(Еь Ез) =- О вытекает тождество кривых Е, н Еэ. Этот факт является непосредственным следствием того обстоятельства, что нижняя грань в формуле, которой мы ояределнлн расстояние р(бь Ет), до.стнгается прн надлежащем выборе параметрических представлений ]1 н Но доказательство этого последнего утверждения тоже не очень просто, ГЛАВА !!! НОРМИРОВАННЫЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ЛИНЕИНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ф 1.
Линейные пространства Понятие линейяого пространства относится к числу самых основных в математике. Оно будет играть важную роль не толь- ко в этой главе, но и во всем дальнейшем изложении. 1. Определение н примеры линейных пространств. Определение 1. Непустое множество Ь элементов, у,. г, ... называется линейным, нли векторным, пространством, если оно удовлетворяет следующим условиям: 1. Для любых двух элементов х, у еи Ь однозначно определен третий элемент г~ Т., называемый их суммой и обозначаемый х + у, причем 1) х+ у = у+ х (коммутативность), 2) х+(у+ г) = (х+ у)+ г (ассоциативность), 3) в Ь существует такой элемент О, что х+О = х для всех х ~ з. (существование нуля), 4) для каждого х~ е.
существует такой элемент — х, что х+( — х) = О (существование противоположного элемента). 11. Для любого числа а и любого элемента х ~ е. определен элемент ах еи т'. (произведение элемента х на число а), причем 1) а(йх) =(а)1)х, 2) 1х=х, 3) (а+ фх = ах+ рх, 4) а(к+ у) = ах+ ау. В зависимости от того, какой запас чисел (все комплексные или только 'действительные) используется, различают комплекс- ные и действительные линейные пространства ').
Всюду, где не оговорено противное, наши построения будут верны как для действительных, так и для комплексных пространств. Заметим, что всякое комплексное линейное пространство Можно рассматривать как некоторое действительное простран- ство, если ограничиться в нем умножением векторов на действи- тельные числа.
') Можно было бы рассматривать и линейные пространства над произ- вольным полем. [РО нОРмиРОВАнные и топологические пРОстРАнстВА [гл н! Рассмотрим некоторые примеры линейных пространств, предоставив читателю проверить для каждого из ни«сформулированные выше аксиомы. 1. Прямая линия Й[, т. е.
совокупность действительных чисел, с обычными арифметическими операциями сложения и умножения, представляет собой линейное пространство. 2. Совокупность всевозможных систем п действительных чисел х=(х[,х>ь ..., «„), где сложение и умножение на число определяются формулами («! «2» «л) + (У[> Уз ' ' '> Ул) («! + У[> «2+ У2» ' ' ' «л + Ул) а(Х„«2, ..., Х„) =(аХ„аХ2, ..., аХл), также является линейным пространством. Оно называется действительным и-мерным ') арифметическим пространством и обозначается символом Кл. Аналогично, комплексное п-мерное арифметическое пространство С" определяется как совокупность систем и комплексных чисел (с умножением на любые комплексные числа). 3.
Непрерывные (действительные или комплексные)- функции на некотором отрезке (а, Ь] с обычными операциями сложения функций и умножения их на числа образуют линейное пространство С(а, Ь), являющееся одним из важнейших для анализа. 4. Пространство 12, в котором элементами служат последовательности чисел (действительных или комплексных) х=(х„х,, ..., хл, ...), удовлетворяю[цие условию ~1«„1 ( оо, с операциями (х„«2, ..., хл, ...) +(Уи Уз, ..., Ул, ...) = («>+У! «2+У2 ' > «л+Ул ) ° а(х„х„..., х„, ...) =(Ох„ах,, ахл, ...), является линейным пространством. Тот факт, что сумма двух последовательностей, удовлетворяющих условию (1), также удовлетворяет этому условию, вытекает из элементарного неравенства (а! + а )2 (2аз[+ 2аз.
5. Сходящиеся последовательности х =(х[, хь...) с покоординатными операциями сложения и умножения на числа образуют линейное пространство. Обозначим его а ') Этот термин будет разъяснен в дальнейшем, ЛИНЕПНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 6. Последовательности, сходящиеся к О, с теми же операциян сложения и умножения, также образуют линейное пространство.
Обозначим его сы 7, Совокупность т всех ограниченных числовых последоваельностей, с теми же операциями сложения и умножения на числа, что и в примерах 4 — 6, тоже представляет собой линейное пространство. 8. Наконец, совокупность К ' всевозможных числовых последовательностей, с теми же самыми операциями сложения и умножения на числа, что и в примерах 4 — 7, тоже является линейным пространством.
Поскольку свойства линейного пространства — это свойства операций сложения элементов и умножения их на числа, естественно ввести следующее определение. Определение 2. Линейные пространства (. и А' называются изоморфными, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие, которое согласовано с операциями в Ь и (.*. Это означает, что из Х ~-Р Х, уФФу (х, у~ Е., х', у'ев1.') следует х+у х'+ у' ОХ ~-1 ОХ (а — произвольное число). Изоморфные пространства можно рассматривать как различные реализации одного и того же пространства. Примерами изоморфных линейных пространств могут служить арифметическое и-мерное пространство (действительное или комплексное) и пространство всех многочленов степени ( п — ! (соответственно с действительными или комплексными коэффициентами) с обычными операциями сложения многочленов и умножения их на числа (докажите изоморфность1).
2. Линейная зависимость. Элементы х, у, ..., ВР линейного пространства Е называются линейно зависимыми, если существуют такие числа а, р,..., А, не все равные О, что Ох+ ру+ ... +Ахи=О. (2) В противном случае эти элементы называются линейно независимыми. Иначе говоря, элементы х,у... в линейно независимы, если из равенства (2) вытекает, что а = р =... = Л = О. Б е с к о н е ч н а я система элементов х, у, ... пространства Ь называется линейно независимой, если любая ее конечная подсистема линейно независима. НОРМИРОВАННЫЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. Нг Если в пространстве Ь можно найти л линейно независимых элементов, а любые и+ 1 элементов этого пространства линейно .зависимы, то говорят, что пространство Ь имеет размерность л.
Если же в 1. можно указать систему из произвольного конечного числа линейно независимых элементов, то говорят, что пространство Л бесконечномерно, Базисом в л-мерном пространстве (. называется любая система из л линейно независимых элементов. Пространства К" в действительном случае н С" в комплексном имеют, как легко проверить, размерность п, оправдывая тем самым свое название. В курсе линейной алгебры рассматриваются линейные пространства конечной размерности. Наоборот, мы, как правило, будем заниматься пространствами бесконечного числа измерений, представляющими основной интерес с точки зрения анализа. Мы предоставляем читателю проверить, что каждое из пространств, указанных в примерах 3 — 8, имеет бесконечную размерность. 3. Подпространства.
Непустое подмножество Ь' линейного пространства Ь называется подпространством, если оно само образует линейное пространство по отношению к определенным в ь операциям сложения и умножения на число. Иначе говоря, Ь'с: 1. есть подпространство, если из х еи Е', у еи Ь' следует, что ах+ ру еи ь" прн любых а и р.
Во всяком линейном пространстве ь' имеется подпространство, состоящее нз одного нуля, — нулевое подпространство. С другой стороны, все Л можно рассматривать как свое подпространство. Подпространство, отличное от (. и содержащее хотя бы один ненулевой элемент, называется собственным. Приведем примеры собственных подпространств. 1.
Пусть 1. — какое-либо линейное пространство и х — некоторый его ненулевой элемент. Совокупность элементов ().х], где 1. пробегает все числа (соответственно действительные или комплексные), образует, очевидно, одномерное подпространство. Оно является собственным, если размерность Ь больше 1. 2. Рассмотрим пространство непрерывных функций С[а, Ь] (пример 3 п. 1) и в нем совокупность всех многочленов Р[а, Ь]. Ясно, что многочлены образуют в С [а, Ь] подпространство (имеющее, как н Все С[а, Ь], бесконечную размерность). В то же Время само пространство С[а, Ь] можно рассматривать как подпространство более обширного пространства всех, непрерывных и разрывных, функций на [а, Ь]. 3.
Рассмотрим, наконец, пространства 1ь СВ, с, лг и К" (примеры 4 — 8 п. 1). Каждое из ннх является собственным подпространством последующего. Пусть (х„] — произвольное непустое множество элементов чннейного пространства А. Тогда в Ь существует наименьшее ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 123 й и надпространство (быть может, совпадающее с (.), которое содержит (х ). Действительно, по крайней мере одно подпространство, содержащее (х ), в Ь существует: это все Т.. Далее ясно, что пересечение любого множества (А ) подпространсгв есго снова подпросгранстео. В самом деле, если (-"= () Ци х, у ~ (.", то и ах+ ру ее Т.' при всех а, р.
Возьмем теперь все подпрострцрства, содержащие систему векторов (х ), и рассмотрим нх пересечение. Это и будет наименьшее подпространство, содержащее систему (х ). Такое минимальное подпространство мы назовем подпросгранстеом, порожденным множеством (х ), илн линейной оболочкой множества (х ). Мы будем обозначать это подпространство Т. ((х„)) . У п р а ж н е н и я.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
