Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 29
Текст из файла (страница 29)
чпроходящей через начало координато). Иными словами, гипер- клоскость М', параллельная подпространству Г, — это множе- ство, получающееся из Е' параллельным переносом (сдвигом) на какой-нибудь вектор х, ~ А: М'=~-'+хо=(д: д=х+х„х~~'), Ясно, что если хо ~ 1.', то М'=1.', если же хо ~ А', то М'Ф1.'. Если ) — нетривиальный линейный функционал на пространстве .1., то множество М7 = (х: )(х) = 1) является гиперплоскостью, аараллельной подпространству Кег) (действнтельно, фиксируя какой-нибудь элемент хо, для которого )(хо) = 1, мы можем вся- кий вектор х е= М> представить в виде х = хо + у, где д ~ Кег1).
< другой стороны, если М' — какая-нибудь гиперплоскость, па- Раллельная надпространству Ь' (коразмерностя 1) и не проходя- яцая через начало координат, то существует е д и н с т в е н н ы й линейный функционал 1 такой, что М' = (х: 1(х) = 1). Действи- 'тельно, пусть М'= Е'+ хо, хо~ ь; тогда всякий элемент х я 1.
128 НОРМИРОВАННЫЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА (Гл однозначно представим в виде х = ало+ у, где у ее Е'. Полагая, как и выше, )(х) = а, мы получим искомый линейный функцио. нал; единственность следует из того, что если у(х) — = ! прн х ее М', то д(у) = — 0 при у ее Е', так что у (ахо + у) = а = ) (ахо + у). Таким образом, установлено взаимно однозначное соответствие между всеми нетривиальными линейными функционалами, определеннылги на Е, и всеми гиперплоскосгями в Ь, не проходягцими через начало координат. У и р а ж не н н е.
Пусть й (ь ..., 1 — такае линейные функнноналы на линейном пространстве А, что на (,(х) = ... = ( (х) = О вытекает !(х) = О. а Тогда существуют такне постоянные аь ...о, что 1(х) = ~ оа~ (х) гла х.а ах а ! всех х щ А. й 2. Выпуклые множества и выпуклые функционалы. Теорема Хана — Банаха 1. Выпуклые множества и выпуклые тела. В основе многих важных разделов теории линейных пространств лежит понятие выпуклости. Оно опирается на наглядные геометрические представления, но вместе с тем допускает и чисто аналитическую формулировку.
Пусть Š— некоторое линейное д е й с т в и т ел ь н о е пространство и х, у — две его точки. Назовем замкнутым отрезком в Е, соединяющим точки х и у, совокупность всех элементов вида ах+()у, где а, Д)0, а+(3=1. Отрезок без концевых точек х и у называется открытым отрезком. Множество й( ~ Е называется выпуклым, если оно вместе с любыми двумя точками х и у содержит и соединяющий их отрезок. Назовем ядром 1(Е) произвольного множества Е ~ Е совокупность таких его точек х, что для каждого у е= Е найдется такое число е = е(у) ) О, что х+ 1у ее Е при (1(( е.
Выпуклое множество, ядро которого не пусто, называется выпуклым телом. П ример ы. 1. В трехмерном евклидовом пространстве куб, шар, тетраэдр, полупространство представляют собой выпуклые тела. Отрезок, плоскость, треугольник в том же пространстве— выпуклые множества, но не выпуклые тела. 2. Рассмотрим в пространстве непрерывных функций на отрезке [а, Ь) множество функций, удовлетворяющих условию $71 Выпуклые множестВА и Выпуклые ФункционАлы 129 (1(1) ) < 1. Это множество выпукло; действительно, если (1(1) ) ( 1 и (д(1) ( ( 1, то при а + р = 1, а, й ~ О ! а) (1) + йу (1) 1 - а + () = 1.
У и р а ж н е н н е. Проверить, является лн это множество выпуклым телом. 3. Единичный шар в 1ь т. е. совокупность таких точек х = = (хь ..., х„, ...), что ~х'„~~1, есть выпуклое тело. Его ядро состоит нз точен х, удовлетворяющих условию ~, хт ( 1. 4. Основной параллелепипед П в 4 — выпуклое множество, ио не выпуклое тело. В самом деле, пусть хее П; это означает, что ~)хя'1 ( 1(2" ' для всех л = 1, 2, ... Положим уц = (1, 1~2, ...
..., 1/л,...). Пусть х + 1уо ~ П, т. е. (х„+ 1/л ( ( 112"-', тогда ~ — '~<~х„+ — !+!х„!< „1, + откуда 1= О, т. е. ядро множества П пусто. У п р а ж н е н н я. !. Пусть Ф вЂ” совокунность точек х = (хь ..., х„, ...) нэ 1ь удовлетворяюшнх условию ~ л х„(1. Доказать, что Ф вЂ” выяуклое множество, но не выпуклое тело. Е.
Доказать то же самое длн множества точек в 17, каждая нэ которык нмеет лишь конечное число отличных от нуля координат. Если М вЂ” выпуклое множество, то его ядро Х(М) тоже выпукло. Действительно, пусть х, у ~ а(М) и г = ах+ ()у, а,ф>О, а+ р = 1. Тогда для данного а ее Т. найдутся такие е, ) О и Ея ~ О, что при 111) = еь (17)( ет точки х+1~а и у+ 17а принадлежат множеству М, следовательно, ему принадлежит и точна а(х+ 1а)+ й(у+1а) = г+1а при (1(( е = ппп(еьея), т. е. г ее 7 (М).
Установим следующее важное свойство выпуклых множеств. Теорем а 1. Пересечение любоео числа выпуклекх множеств есть выпуклое множество. До к аз а тел ь ство. Пусть М = П М и все М вЂ” выпука лые множества. Пусть, далее, х и у — две произвольные точки из М. Тогда отрезок, соединяющий точки х и у, принадлежит каждому М, а следовательно, и М. Таким образом, М действительно выпукло. Заметим, что пересечение выпуклых тел (будучи выпуклым множеством) не обязано быть выпуклым телом (приведите пример).
Для произвольного множества А в линейном пространстве !. существует наименьшее выпуклое множество, которое его содержит; им будет пересечение всех выпуклых множеств, содержащих А (по крайней мере одно выпуклое множество, содержащее А, существует — это все Е). Минимальное выпуклое 13а нОРмиРОВАнные и тополОГические пРОстРАнстВА 1гл п! множество, содержащее А, мы назовем выпуклой оболочкой множества А. Рассмотрим один важный пример выпуклой оболочки.
Пусть х!, хм ..., х„+! — точки некоторого линейного пространства, й)ы скажем, что эти точки находятся в общем положении, если векторы хт — х!, хх — хь ..., х„е, — х, линейно независимы. (Это л4-! л.!- ! равносильно тому, что из ~, Х4х! = 0 и ~„А! — — 0 вытекает, что 4=! Х! = 1п — — ... —— Х„+! —— 0). Выпуклая оболочка точек хь хм ..., х„+!, находящихся в общем положении, называется и-мерным симплексом, а сами точки х!, хм ..., х +! — его вершинами. Нульмерный симплекс — это одна точка. Одномерный симплекс — отрезок, двумерный — треугольник, трехмерный— теграэдр.
Если точки хь хм ..., х„+! находятся в общем положении, то любые й+ 1 из них (й ., и) также находятся в общем положении и, следовательно, порождают некоторый й-мерный симплекс, называемый и-мерной гранью данного и-мерного симплекса. НапРимеР, тетРаэдР с веРшинами е!, ех, ез, е4 имеет четыре двумерные грани, определяемые соответственно тройками вершин (емеме„), (е4,еь,е4), (е<,еме4), (е4,емеь), шесть одномерных граней и четыре нульмерных. Теорем а 2, Симплекс с вершинами х4, хм ..., х„+! есть совокупность всех точек, которь4е можно представить в виде л4-! Лл. ! х= ~ аьхь, аь.
лО„~' аь — — 1. (1) А-! Ь=! Д о к а з а т е л ь с т в О. Легко проверить, что совокупность 3 точек вида (1) представляет собой выпуклое множество, содержащее точки х4, хм ..., х„+!. С другой стороны, всякое выпуклое множество, содержащее этн точки, должно содержать и точки вида (1); следовательно, 5 является наименьшим выпуклым множеством, содержащим точки х4, х„..., х„+,. 2. Однородно-выпуклые функционалы. С понятием выпуклого множества тесно связано важное понятие однородно-выпуклого функционала. Пусть Š— действительное линейное пространство. Определенный на 4'. функционал р называется выпуклым, если (2) р(ах+ (1 — а) у) <~ ар(х) + (1 — а) р(у) для всех х, уецс.
и 0(~а(1 Функционал р называется положительно-однородным, если р(ах) =ар(х) для всех х еиЬ и всех а> О. (3) ая ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА Н ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ 131 Для выпуклого положительно-однородного функционала выполнено неравенство: р (х + у) ~( р (х) + р (у). (2') Действительно р(х+ у) = 2р( — ~ У) я' 2 (р ( х ) 1 р ( У )) ( ) + )Тегко понять, что условие (2') вместе.с условием (3) обеспечивает выпуклость функционала р.
Положительно-однородный выпуклый функционал мы будем называть короче однородноВыауклым. Укажем некоторые простейшие свойства однородно- выпуклых функционалов. 1. Полагая в равенстве (3) х = О, получаем р(О) =О. 2. Из (2') и (4) следует, что О=р(х+( — х))(р(х)+р( — х) для всех х~1,. (5) Это неравенство означает, в частности, что если р(х)( О, то обязательно р( — х) ) О. Таким образом, ненулевой однородно- выпуклый функционал может быть всюду неотрицателен, но если всюду р(х) ~ О, то р (х) = О. 3.
При любом а р(ах)~ар(х). При я ) О зто следует из (3), при а = Π— из (4); если же а ( О, то в силу (5) получаем О ( р(ах) + р(~ а)х) =р(ах) +! а ~р(х), т. е. р(ах) ~ — ~ а ~р(х) = ар(х). П р и меры. 1. Всякий линейный функционал является, очевидно, однородно-выпуклым. Однородно-выпуклым будет и функционал р(х) = (1(х) (, если 1 линеен. 2. Длина вектора в и-мерном евклидовом пространстве есть однородно-выпуклый функционал.
Здесь условие (2') означает, что длина суммы двух векторов не превосходит суммы их длин (неравенство треугольника), а (3) непосредственно следует из определения длины вектора в 11". 3. Пусть тп — пространство ограниченных последовательностей х = (хь хм..., х„,...) . Функционал р (х) = зпр ~ х, ( — однородно-выпуклый. 132 НОРМИРОВАННЫЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА ~ГЛ. [1~ 3.
Функционал Минковского. Пусть /. — произвольное линейное пространство и А — выпуклое тело в /., ядро которого содержит точку О. Функционал рл (х) = (п1 ( г: — ~ А, г > 0 ~ (6) называется функционалом Минковского выпуклого тела А, Т е о р е м а 3. Функционал Минковского (б) — однородно- выпуклый и неотрицательный. Обри~но, если р(х) — произвольный однородна-выпуклый неотрицательный функционал на линейном пространстве г. и й — положительное число, то А = (х: р (х) < й) (7) Проверим выпуклость рл(х). Пусть хь хе~/. и е' 0 произвольно. Выберем числа г; (1= 1,2) так, что р„(х;) «г, С с„рл(х;)+ е; тогда х;/г; ~ А.
Положим г = г, + г,, тогда точка (х1+ хе)/г = г~х~/(гг~)+ гьхт/(гге) принадлежит отрезку с концами х1/г, и х,/гь В силу выпуклости А этот отрезок, а значит, и точка (х~ + хт)/г принадлежат А, откуда рл(х, +хе)««г=с, + гт Срл(х)+ рл(хт)+2В. Так как е ) 0 здесь произвольно, то ,ол (х~ + хт) «( Рл (х~) + Рл (хт) Следовательно, р„(х) удовлетворяет условиям (2') н (3), а потому это — неотрицательный однородно-выпуклый функционал. Рассмотрим теперь множество (7).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
