Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Зададим и- О произвольно и выберем 6 так, чтобы из (4) вытекало (5) для всех / из 0 и всех х', х" из Х. Легко видеть, что Х можно представить как сумму конечного числа непересекаюацихся множеств Еь таких, что из х', х" ен Е; следует ') Поскольку предел равномерно сходящейся последовательности непрерывных отображений есть также непрерывное отображение.
Указанное предложение представляет собой непосредственное обобптение известной теоремы анализа и доказывается так же, как и зта теорема. непРеРыВные кРиВые В метРических пРостРАнстВАх 115 р(х', х") ( 6. Действительно, для этого достаточно выбрать точ- ки х!, хю ., х„так, чтобы они образовали 6/2-сеть в Х и по- ложить, например, Е! — — В (х„б/2) ', [ ) В (х1, 6/2), !<! где В(хь 6/2) — шар радиуса 6/2 с центром хь Рассмотрим теперь в компакте у некоторую конечную В-сеть уь уа, ..., упь и пусть Š— совокупность функций д(х), прини- маю!цих на множествах Ет значения уа Число таких функций, очевидно, конечно.
Покажем, что они образуют 2е-сеть по отно- шению к Р в Мхт. Действительно, пусть /е= Р. Для всякой точ- ки х; из хь ..., х„найдется такая точка у! из уь ..., у, что 4з(/(х!), у;) ( В. Пусть функция а ен Е выбрана так, что д(х!) = уь Тогда р(/ (х), к (х)) » (р(/(х), /(х!)) + р(/(х), д(х!)) + р(д(х!), д(х)) < 2е, если ! выбрано так, что хякЕР Отсюда вытекает, что конечное множество Е действительно есть 2В-сеть для Р и, таким образом, Р предкомпактно в Мхт. а следовательно, и в Сху. й 8.
Непрерывные кривые в метричесиих пространствах ') Пусть задано непрерывное отображение Р =/(!) отрезка а ~ (! ( Ь в метрическое пространство !Т. Когда ! «пробегает» отрезок от а до Ь, соответствующая точка Р «пробегает» некоторую «иепрерывную кривую» в пространстве !г. Нам предстоит дать строгие определеиия, связавмые с изложенной сейчас грубой идеей. Порядок, в котором проходятся точки Рис. !2. Рис.
!3. Рис. !4. кривой, существеи. Одно и то же множество, изображенное иа рис. !2, проходимое в направлениях, указаииых иа рис. !3 и !4, мы будем считать р а зл и ч и ы м и кривыми. В качестве другого примера рассмотрим действительиую функцию, определенную из отрезке [О, !], которая изображена иа рис. !5. Оиа определяет «кривую», расположеииую иа отрезке [О, Ц оси р, отличную от этого отрезна, одиократио пройденного от точки О до точки 1. так как отрезок [А, В) проходится трижды (два раза вверх и один раз вниз). ') Этот параграф ие связан с дальиейшим изложением. При желании читатель может его опустить. 116 МЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ Однако при о д и н а к о в о м п о р я д к е прохождения точек пространства выбор «параметра» 1 мы будем считать несущественным.
Например, функции, изображенные на рис. 15 и 16, определяют одну и ту же «крнвую», расположенную на оси у, хотя значения параметра 1, отвечающие накой-либо точке кривой, в случаях рис. 15 и !6 могут быть различными. Например, в случае рнс. 15 точке А соответствуют на оси 1 две изолированные точки, а в случае рис. 16 в одна изолированная точка н лежащий правее нее отрезок Рнс. 15. Рис. 16. (когда 1 пробегает этот отрезок, точка на кривой остается на месте). (Допускать такие отрезки неподвижности Р = [(1) будет удобно в дальнейшем прн исследовании компактности систем кривых.) Перейдем к формальным определениям.
Две непрерывные функции Р=[(1') н Р=1" (1), определенные соответствсчно на отрезках а'«1'~Ь' и а«~1«МЬ" н принимающие значения в метрическом пространстве ч, казовем эквивалентными, сели существуют две непрерывные неубывающие фъикцкн 1' = ср' (1) н 1" = п«(Р, определенные на некотором отрезке а~(1~5 н обладающие свойствами ср' (а) =а', ~р' (Ь) =Ь', ф" (а) =а", ф«(Ь) =Ь", [' [ф' (1)! = [м [ф" (1)) для всех 1щ [а, Ь[. Легко видеть, что так введенное отношение эквивалентности рефлексивно ([ эквивалентно [), симметрично (если [' эквивалентно [", то [«экая валентин [').
Ьйожио показать, что оно н транзитнвно (из эквивалентности [' н [' и эквивалентности [« н ['« вытекает эквивалентность [' и'['"). Поэтому все непрерывные функции рассматриваемого типа разбиваются на классы функций, эквивалентных между собой. Каждый такой класс и определяет непрерывную крив и в пространстве )с. ля любой функции Р = ['(1'), определенной на каком-либо отрезке [а', Ь'), найдется эквивалентная ей функция, определенная на отрезке [а", Ь«) ыкприрывныц кривыц в иптрмццских пространствах 117 йз1 [О 1] Действительно достаточно положить ') (' = (р' (() (Ь' — а') (+ а', (" = ф (() = (. Таким образом, всякую кривую можно предполагать заданной параметриче ки при помощи функции, определенной на отрезке [О, 1].
Поэтому целесообргзно ввести з рассмотрение пространство С(, л непрсры ывиых отображений [ отрезка 7 = [О,!] в пространство (7 с метрикой Р (( У) = пР Р (( (() У ((1). Будем считать, что последовательность кривых Еь Еь ..., Е», ... сходцтся к кривой Е, если кривые Е„можно параметрически представить в виде Р „((), 0~((~1, а кривую Š— в виде Р=((РО 0~((~(1, так что р([, [») -» 0 при л-» со Применяя обобщенную теорему Арцела (теорема 7 $7), легко доказать следующую теорему.
Теор е м а !. Если последовательность кривых Е(, Еь ..., Е, ..., ленгщцих в компакте К, моз(но представить парах(егрически ири помощи равногтеаенно непрерывных (Ьункций на отрезке [О, 1], го из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательносгь, Определим теперь длину кривой, заданной параметрически функцией Р=)((), а((~(Ь, как верхнюю грань сумм вида и ~„ р (7 ((( — (), )(О)), ( ! где точки (( подчинены лишь условиям а = (ь ~ (1 ~ " ~!( ~ ".
~ (и = Ь. Легко видеть, что длина кривой ие зависит от выбора ее параметрического представления. Если ограничиться параметрическими представлениями посредством функций, заданных на отрезке [О, !], то легко доказать, что длина кривой есть полунепрерывный снизу функционал от [ (в пространстве С( я), Иа геометричесхом языке этот результат можно выразить в виде следующей теоремы о полунепрерывиости.
Теор е м а 2. Есяи лоследоватеяьность кривых Е„сходится к кривой Е, го длина кривой Е не больше нижнего предела длин кривых Е». Расмотрим теперь специально к р нные конечной дл и им. Пусть кривая определена параметрически функцией Р=[((). а~(КЬ. Функция [, рассматриваемая лишь на отрезке [а, Т], где а < Т» Ь, опреде. лает «начальный отрезок» кривой от точки Р, = [(а) до точки Рт = [(Т). Пусть з = ф(Т) — его длина. Легко устанавливается, что . Р=у(з)=[[ф-'(з)1 ') Мы считаем, что всегда а ( Ь. Однако мы не исключаем «кривых», которые состоят из одиой-единственной точки и получаются, если на [а, Ь] функция [((1 постоянна. Это тоже удобно для дальнейшего. 1)В МЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА (ГЛ.
П есть новое параметрическое представление той же кривой. Прн этом з пробегает отрезок О ( з ( 5, где 5 — дляна всей рассматриваемой кривой. Это представлеяие удовлетворяет требованию о(й(зд, у(з,)) ~]з, — з ] (длнна дуги не меньше хорды). Переходя к отрезку [О, 1], получим параметрическое представление Р = Р (т) = о (з), т = з]5, удовлетворяющее условню Лнпшнца р(Р('г1) Р(тт))<5]т~ — тт] Мы видим, такнм образом, что для всех кривыл длины 5 ( М, где М— некоторая константа, возможно параметрическое представление ровностепенно непрерывными функциями, заданными на отрезке [О, 1], К ннм, следовательно, прнменима теорема 1. Покажем силу полученных общих результатов на примере доказательства следующего важного предложения. Те о р е м а 3. Если в компакте К две точки, А и В, можно соединить непрерывной кривой конечной длины, то среди таких кривых существует кривая наименьшей длины. В самом деле, пусть У есть нижняя грань длин кривых, соеднняющнх А н В в компакте К.
Пусть длины кривых Еь Ез, ..., Е, ..., соединяющих А и В, стремятся к У. Из последовательности Е по теореме 1 можно выбрать сходящуюся подпоследовательность. По теореме 2 предельная кривая этой подпоследовательностн не может иметь длину больше У. Отметим, что даже в случае, когда К является замкнутой гладкой (надлежащее число раз днфференцнруемой) поверхностью в евклндовом трехмер. ном пространстве, эта теорема не вытекает непосредственно нз результатов, устанавливаемых в курсе дифференциальной геометрия, где ограничиваются обычно случаем достаточно близких друг к другу точек А и В. Все изложенное выше приобрело бы большую прозрачность, если бы мы наделяли множество всех кривых данного метрического пространства Я структурой метрического пространства. Это можно сделать, определяя расстояние между кривымн (и н Ет формулой р(ьь Ст) =)п(р(."ь [т1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
