Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 23

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 23)

При изучении свойств полунепрерывностн действительных функций удобно допускать для ннх бесконечные значения. Если [(хо) = — оо, то функцню ( будем считать полунепрерывной снизу в точке хо; если же для любого Ь ) О имеется окрестность точки хо, в которой [(х) «. — Ь, то будем считать, что фуннцня [ полунепрерывна н сверху в точке хо. Если [(хо) = +оо, то функцию [ будем считать полунепрерывной сверху в хо, если же для любого й ) О имеется окрестность точки хо, в которой [(х) ) Ь, то будем считать, что функция [ полунепрерывна н снизу в точке хо. Пусть [(х) — действительная функция на метрическом пространстве )с.

Верхним пределом [(хо) функцнн [(х) в точке хо называется величина (конечная или бесконечная) (нп [зар [(х)[. Нижний предел [(хо) определяется е-ое «ыв («о. е) аналогично с заменой верхней грани на нижнюю. Разность ы[(хо) =[(хо)— — [(хо) (еслн она нмеет смысл, т. е. если числа [(хо) н [(хо) не равны бесконечности одного знака) называется колебанием функции [(х) в точке хо.

Легко видеть, что для непрерывности [(х) в точке хо нйобходимо и достаточно, чтобы ы[(хо) = О, т. е, чтобы — «о < [(хо) = [(хо) ~ '"' Для любой функции [(х), заданной на метрнческом пространстве, функция [(х) полунепрерывна сверху, а функция [(х) полунепрерывна снизу. Эта легко вытекает из определения верхнего н нижнего пределов. Рассмотрим метрическое пространство М, элементами х которого служат все действительные ограниченные функпин ф(Г), заданные на сегменте [а,Ь].. Метрику в М зададим равенством р(х у) =р(т ф)= знр [ф(О ф(г) [ а~с~э Функции на М, как это обычно делается, будем называть функционалами„ чтобы отличать их от функций ф(() — элементов М.

Рассмотрим один важный пример полунепрерывного функционала. Определим длину кривой у = [(х) (а ( х ( Ь) как функционал и гь([) знр ~," /(х х )х ~([(х ) Г(х ))х о=1 где верхняя грань (которая может быть равна +оо) берется по всевозможным разбиениям отрезка [а, Ь). Этот функционал определен на всем пространстве М. Для непрерывных функций он совпадает со значением предела !нп ~ (х, — х,,)'+()(хо) — [(х,,))'. ахах [«,.— «,, [-»Е Г Наконец, для функций с непрерывной производной его можно записать в виде 1 Ъ/1 + [' (х) йх. а компактность' !йз функционал ь (/) полунепрерывен снизу в М, что легко следует из его Ь «определения. На полунепрерывные функции обобщается установленнаа выше теорема.

Те о рема 8а. Полунепрерыанпя снизу (сеерху) конечная функция нп компактном Тгпрострпнстее Т огрпничепп снизу (сверху) Действительно, допустим, что (п! /(к) = — оо. Тогда существует такая яоследовательность (х„), что /(х ) к. — и. Посиольку пространство Т ком. вактно, его бесконечное подмножество (х ) имеет (в силу теоремы л) хотя бы одну предельную точку хо, По предположению, функция / конечная и полу- непрерывна снизу; поэтому найдется такая окрестность У точки хо, что у(х) > /(хо) — ! прн х ш У. Но тогда окрестность У может содержать лишь конечное число точек множества (х„), а это противоречит тому, что точка «о — предельная для этого множества Аналогично доказывается теорема и для случая полунепрерывной сверху функции, Теорема 86.

Полунепрерывнпя снизу (сеерху) конечная функция нп компактном Т,-простронстае Т достигает своей нижней (перхней) грини. Пусть функция /(х) полунепрерывна снизу. Тогда по теореме 8а она ммеет конечную аижнюю грань, и существует такая последовательность (х ), что /(х ) (~ (п! Ц.с) + 1/и. Поскольку Т компактно, множество (х ) имеет предельную точку хо. Если бы было /(хо) ) (и! /, то, в силу полунепрерывности функции / снизу, нашлись бы такая окрестность У точки хо и такое 6 О, что /(х) ) (п! /+ + 6 при х он У.

Но тогда окрестность У не могла бы содержать никакого бесконечного подмножества множества (х„). Следовательно, /(х,) = (п!/, что м требовалось доказать. 4. Счетная компактность. Введем следующее определение. О и р е д е л е н и е. Пространство Т называется счетно-каметактным, если каждое его бесконечное подмножество имеет хотя бы одну предельную точку. Доказанная в п. 1 теорема 2 означает, что всякое компактное пространство счетно-компактно. Обратное, вообще говоря, неверно. Вот «традиционный» пример счетно-компактного, но не компактного пространства.

Рассмотрим множество Х всех порядковых чисел а, меньших первого несчетного порядкового числа ш!. Назовем и н те р в а л о м (сх, р) в Х совокупность всех порядковых чисел у, удовлетворяющих неравенствам а < у "8. Открытым множеством в Х назовем объединение произвольного числа интервалов.

Легко проверить, что построенное пространство счетно-компактно, ио не компактно. Соотношение между понятиями компактяости и счетной компактности становится ясным из следующей теоремы. Теорем а 9. Для того чтобы типологическое пространство было счетно-компактным, необходимо и достаточно любое из следующих двух условий: 1) Каждое счетное открытое покрьггие пространства Т содеракит конечное подпокрытие. 2) Каждая счетная центрированная система замкнутых мновкеств в Т имеет непустое пересечение. 104 метРические и топологические пРОстРАнстВА 1гл.

ы Д о к а з а т е л ь с т в о. Равносильность условий 1) и 2) не- посредственно следует из соотношений двойственности. Далее, если Т не счетно-компактно, то, повторив рассуждения, прове- денные при доказательстве теоремы 2, мы получим, что в Т су- ществует счетная центрированная система замкнутых множеств с пустым пересечением. Тем самым достаточность условия 2) (а значит, и 1)) установлена. Докажем необходимость условия 2). Пусть Т счетно-компактно и (Р„) — счетная центрнрованная система замкнутых множеств в Т. Покажем, что))Р„чьо.

Пусть п л Фл= П РА. Ясно, что все Ф замкнуты, не пусты (в силу цен- А ! трированности (Р„)) и образуют невозрастающую систему Ф,~Ф,:з ..., и что П Фл= П Рл. Возможны два случая: л л 1) Начиная с некоторого номера и, Фл,= Фд,+~ = Тогда, очевидно, П Ф =Ф„Ф О. л 2) Среди Ф имеется бесконечно много попарно различных При этом достаточно рассмотреть случай, когда все Ф„раз- личны между собой. Пусть хл еи Фл ", Ф„ли Последовательность (х„) представляет собой бесконечное мно- жество различных точек из Т; в силу счетной компактности Т она должна иметь хотя бы одну предельную точку, скажем, х,. Так как Ф содержит все точки х, хл+ь ..., то хл — предель- ная точка для Ф и в силу замкнутости Ф„, хлеп Ф . Следова- тельно, ) ) Флвэхл, т. е.

Ц Фл Ф И. л л 'Таким образом, и компактные и счетно-компактные простран- ства характеризуются «поведением» своих открытых покрытий. И в том, и в другом случае из открытого покрытия можно вы- брать конечное, но в первом случае речь идет о любых покры- тиях, а во втором — только о счетных. Хотя в общем случае из счетной компактности компактность не вытекает, имеет место следующий факт. Теорем а 1О. Для пространств со счетной базой понятия компактности и счетной компактности совпадают, Действительно, из любого открытого покрытия пространства Т, имеющего счетную базу, можно выбрать счетное подпокры- тие (теорема 5 5 5). Если же Т к тому же и счетно-компактно, то из этого последнего можно в силу предыдущей теоремы вы- брать конечное подпокрытие. Тем самым устанавливается, что Т компактно.

КОМПАКТНОСТЬ' !05 3 а м е ч а н и е. Понятие счетной компактности топологического пространства оказалось на самом деле (в противовес компактности) не очень удачным и естественным. Оно возникло так сказать «по инерции». Дело в том, что для метрических про<транств (как и для пространств со счетной базой) эти два понятия совпадают (это будет показано в следующем параграфе). При этом для метрических пространств понятие компактности было поначалу дано именно как наличие у каждого бесконечного подмножества предельной точки, т. е. как определение <четной компактности.

«Автоматический» перенос этого определения с метрического случая на топологический и привел к понятию счетно-компактного топологического пространства. Иногда в литературе, особенно более старой, термин «компактность» понимается как «счетная компактность», а топологическое пространство, компактное в нашей терминологии, т. е. такое, из каждого открытого покрытия которого можно выделить конечное подпокрытие, называется бико.нпакгным.

При этом компактное хаусдорфово пространство (т. е. компакт) именуется бикомлактом, а термин «компакт» резервируется для обозначения метрического компактного пространства. Мы будем придерживаться тех терминов (компактность, счетная компактность), которые введены выше; при этом мы и к о м и а к т н ы е метрические пространства также будем называть ко м и а к т ам и, а в тех случаях, когда наличие метрики желательно специально подчеркнуть, — «метрическими компактами». 5. Предкомпактиые множества. Если множество М,лежащее в некотором хаусдорфовом пространстве Т, не замкнуто в Т, то М не может быть компактно. Например, ни одно из незамкнутых подмножеств числовой прямой не является компактом.

Может, однако, оказаться, что замыкание 1М) такого множества М в Т уже Обладает свойством компактности. Например, этому условию удовлетворяет л ю б о е о г р а н и ч е н н о е подмножество на числовой прямой или в п-мерном пространстве.

Введем следующее определение. О п р е д е л е н и е. Множество М, лежащее в некотором топо- логическом пространстве Т, называется предкомпактпым (или компактным относительно Т), если его замыкание в Т компактно. Аналогично, М называется счетно-предкомпактпым в Т, если всякое бесконечное подмножество А ~М имеет хотя бы одну предельную точку (которая может принадлежать, но может и не п инадлежать М). К снятие предкомпактности (в отличие от компактности) связано, очевидно, с тем простраяством Т, в котором мы данное множество рассматриваем.

Характеристики

Список файлов книги