Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 19

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 19)

Совокупность всех точек прикосновения множества М называется замыканием множества М и обозначается символом !М]. Легко доказать (проведите это доказательство), что замкнутые множества (определенные нами выше как дополнения открытых), и только они, удовлетворяют условию [М) = М. Как и в случае метрического пространства, !М) есть наименьшее замкнутое множество, содержаи(ее М. У п р а ж не и не. Докажите, что операция замыкания 1М), определенная с помощью топологии, обладает свойствами 1) — 4), сформулированными в теореме 1 й 2.

П р и меры. 1. В силу теоремы 3' $ 2 открытые множества во. всяком метрическом пространстве удовлетворяют аксиомам 1' и 2' определения топологического пространства. Таким образом, всякое метрическое пространство является и топологическим пространством. 2. Пусть Т вЂ” произвольное множество. Будем считать открытыми все его подмножества. Аксиомы 1' н 2' при этом, оченидно, выполнены, т.

е. мы действительно получаем топологическое пространство. В нем все множества одновременно и открыты и замкнуты, и, значит, каждое из них совпадает со своим замыканием. Такой дискретной топологией обладает, например, метрическое пространство, указанное в примере 1 5 1.

3. В качестве другого крайнего случая рассмотрим в произвольном множестве Х тр и в и ал ь ную топологию, состоящую только из двух множеств: всего Х и пустого множества йч. Здесь замыкание каждого непустого множества есть все Х, Такое топологическое пространство можно назвать кпространством слил- шихся точек>. 4. Пусть Т состоит из двух точек а и Ь, причем открытыми множествами мы считаем все Т, пустое множество и множество, состоящее из одной точки Ь.

Аксиомы 1' и 2' здесь выполнены. В этом пространстве (которое часто называют связным двоеточием) замкнуты такие подмножества: все Т, пустое множество и точка а. Замыкание одноточечного множества (Ь) есть все Т. Уп р аж не и не. Постройте все топологии в пространстве Х, состоящем, ва двух, трех, четырех н пяти точек. 2. Сравнение топологий. Пусть на одном и том же носителе Х заданы две топологии т1 и та (тем самым определены д в а топологическнх пространства: Т, =(Х,т~) и Т, =(Х,тя). Мы 36 метРические и топопогические пРОстРАнстаА [гл.

и СКажЕМ, Чта тоПОЛОГИЯ т, СиЛЬНЕЕ, ИЛИ ТОНЬШЕ ТОПОЛОГИИ тт, ЕСЛИ система множеств тт содеРжитсЯ в ть ПРо топологию тз пРи этом говорят, что она слабее, или грубее, чем ть В совокупности всех возможных топологий множества Х естественным образом вводится частичная упорядоченность (топология тт предшествует ть если она слабее, чем т,). В этой совокупности топологий есть максимальный элемент — топология, в ко-торой все множества открыты (пример 2), — и минимальный— топология, в которой открыты только все Х и Ы (пример 3).

Теорема К Пересечение произвольного множества топологий т = П т в Х есть топология в Х. Эта топология т слабее люа бой из топологий т . Д о к а з а те л ь с т в о. Ясно, что Д т, содержит Х и И. Даа .лее, нз того, что каждое т„замкнуто относительно взятия любых сумм н конечных пересечений, следует, что этим свойством обладает и т= Д т . а Следствие. Пусть 6 — произвольный запас подмножеств множества Х; тогда существует минимальная топология в Х, содержащая 6.

Действительно, топологии, содержащие 6, существуют (на. пример, та, в которой все А ~ Х открыты). Пересечение всех тотюлогий, содержащих 6, и есть искомая. Эта минимальная топология называется топологией, порожденной системой 6, и обозначается т(6). Пусть Х вЂ” произвольное множество и А — его подмножество. Следом системы множеств 6 на подмножестве А называется система 6А, состоящая из подмножеств вида А П В, В ен6. Легко видеть, что след (на А) топ олог и и т (заданной в Х) является топологией тл в А.

Таким образом, всякое подмножество А любого топологического пространства само оказывается топологическим пространством. Топологическое пространство (А, тл) называется подпространством исходного топологического пространства (Х, т). Ясно, что две различные топологии, т| н ть в Х могут порождать одну и ту же топологию в А ~ Х.

Топология тл называется относительной топологией в А. 3. Определяющие системы окрестностей. База. Аксиомы счетности. Как мы видели, задать в пространстве Т топологию — это значит задать в нем систему открытых множеств. Однако в конкретных задачах бывает удобно задавать не всю топологию, а лишь некоторую ее часть, т. е, некоторый запас открытых множеств, по которому однозначно определяется совокупность всех открытых подмножеств. Так, например, в метрическом пространстве мы ввели сначала понятие открытого шара (е-окрестности), а затем определили открытые множества как 8Т ТОПОЛОГНЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА такие, в которых каждая точка содержится вместе с некоторой своей шаровой окрестностью. Иными словами, в метрическом пространстве открыты те и только те множества, которые можно.

представить как суммы открытых шаров (в конечном или бесконечном числе). В частности, на прямой открыты множества„ представимые в виде сумм интервалов, и только они. Эти соображения приводят нас к важному понятию б азы топологического пространства. О п р е д е л е н и е. Совокупность У открытых подмножеств называется базой топологии пространства Т, если всякое открытое множество в Т может быть представлено как сумма некоторого числа (конечного или бесконечного) множеств из У. Так, например, совокупность всех открытых шаров (с произвольным центром и радиусом) образует базу в метрическом пространстве.

В частности, система всех интервалов — база на прямой. Базу на прямой образуют и одни только интервалы с рациональными концами, поскольку в виде суммы таких интервалов можно представить любой интервал, а значит, и любое открытое множество на прямой. Итак, топологию т пространства Т можно задать, указав в этом пространстве некоторую ее базу У; эта топология т совпадает с совокупностью множеств, представимых как суммы множеств из У. Всякая база У в топологическом пространстве Т = (Х, т) обладает следующими двумя свойствами; 1) любая точка х ее Х содержится хотя бы в одном 6 ае У; 2) если х содержится в пересечении двух множеств 6, и 6а из У, то существует такое 6а ея У, что к ~ 6э ~ 6, П 6а.

Действительно, свойство 1) просто означает, что все Х, будучи открытым, должно представляться как сумма каких-то множеств из У, а 2) вытекает из того, что 6~ () 6а открыто и, следовательно, есть сумма каких-то элементов базы. Обратно, пусть Х вЂ” произвольное множество и У вЂ” система подмножеств в Х, обладающая свойствами 1) и 2). Тогда совокупность множеств, представимых как суммы множеств из У, образует в Х топологию (т. е. удовлетворяет аксиомам 1' и 2 определения топологического пространства). Действительно, пусть т(У) — совокупность всех множеств из- Х, представимых как суммы множеств из У.

Тогда пустое множество ') и все Х принадлежат т(У) и сумма любого числа множеств из т(У) также принадлежит т(У). Покажем, что пересечение любого конечного числа множеств из т(У) принадлежит ') Оио получается каи сумма пустого множества элементов системы Ь* 88 метрические и ТополОГИчеекие ПРОСТРАИСТЕА )ГЛ. н т(У). Достаточно проверить это для двух множеств. Пусть А = = () 6, и В= () 6, тогда А()  — () (6,()6 ). Из условия 2) я з' аР следует, что каждое 6„П 68 содержится в т(У). Но тогда и А П В е= т(У).

Итак, мы получаем следующий результат. Теорема 2. Для того чтобы система У подмножества 6 множества Х была базой некоторой топологии в Х необходимо и достаточно, чтобьл У обладала свойствами 1) и 2). Пусть теперь в пространстве Т задана некоторая фиксированная топология т. Взяв в Т некоторую систему У открытых множеств, обладающую свойствами 1) и 2), и приняв ее за базу, мы очевидно получили в Т топологию т(У), или совпадающую с исходной топологией т, или более слабую. Установим условия, при которых У порождает именно данную топологию т.

Т е о р е м а 3, Для того чтобы система У с т была базой данной топологии т, необходимо и достаточно следующее условие: 3) для каждого открытого множества 6 и каждой точки хая 6 существует такое 6„ея У, что хя б„с 6. Д о к а з а те л ь с т в о. Если условие 3) выполнено, то всякое открытое множество 6 представимо в виде 6= )),6., т. е. У есть база топологии т.

Обратно, если У есть база топологии т, то всякое 6 ~ т представимо в виде суммы множеств из У, а тогда для всякого х я 6 найдется такое 6«ееУ, что хя6,с6. Уира ж не ни е. Пусть У, и У, — дае бааы а Х (т, е. дае системы множеста, удоалетаоряющих услоаиям 1) и 2) стр. 87), а т| и т, — определяемые иии топологии. Докажите, что т~ ~ та а том н только тои случае, если для .любого 6, чы У~ и любой точки «юа 61 сУществУет такое 6а ю Уь что «Я6,сбп С помощью теоремы 3 легко установить, например, что во всяком метрическом пространстве совокупность всех открытых шаров образует базу его топологии.

Характеристики

Список файлов книги