Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Положим х= = !пп х„; тогда х енП В„.Действительно, шар Вв содержит все ЛЧ.ао л точки последовательности (хв), за исключением, быть может, точек х!, хм ..., х„ ,. Таким образом, х является точкой прикосновения для каждого шара В,. Но так как  — замкнутое множество, то х ее В, для всех и. уо МЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ П Достаточность. Пусть (хя) — фундаментальная последовательность.
Докажем, что она имеет предел. В силу фундаментальности мы можем выбрать такую точку х, нашей последовательности, что р(х„, х„,) ( 1/2 при всех и и,. Примем точку х„ за центр замкнутого шара радиуса 1. Обозначим этот шар В,. Выберем затем х„, из (хч) так, чтобы было пз ) и, и р(х„, х„,) < = 1/2з при всех и ~ и,. Примем точку хз, за центр шара радиуса !/2 и обозначим этот шар Вз. Вообше, если точки хза хаы ..., х„уже выбраны (п, < пз « ... п»), то выберем точку х„, так, чтобы было п»ь~ ) и» ир(х„, х„»т,) < 1/2»"' прн всех п ) п»4ь и окружим ее замкнутым шаром В»+, радиуса 1/2». Продолжая это построение, получим последовательность замкнутых шаров В», вложенных друг в друга, причем шар В» имеет радиус 1/2» — '. Эта последовательность шаров имеет, по предположению, обшую точку; обозначим ее х.
Ясно, что эта точна х служит пределом подпоследовательности (х„~). Но если фундаментальная последовательность содержит сходяшуюся к х подпоследовательность, то она сама сходится к тому же пределу. Таким образом, х = 1!Рп х„. У п р а ж н е н и я. [. Доназать, что пересечение замкнутых вложенных шаров в предыдущей теореме сводится к одной точке.
х, Диаметром множества М в метрическом пространстве называется число Л (М) = знр р (х, у). х, зым Доказать, что в полном метрическом пространстве всякая последовательность вложекнык друг в друга непустых замкнутых множеств, диаметры которых стремятся к нулю, имеет непустое пересечение. 3.
Привести пример полного метрического пространства и последовательности вложенных друг в друга замкнутых шаров в нем, имеющей пустое пересечение. 4. Доказать, что подпространство полного метрического пространства )с полно тогда н только тогда, когда оно замкнуто в )1. 3.
Теорема Бара. В теории полных метрических пространств фундаментальную роль играет следуюшая теорема. Теор е м а 2 (Б э р). Лолное метрическое пространство Д не может быто представлено в виде объединения счетного числа нигде не плотных множеств. Доказательство. Предположим противное. Пусть /1 = [) М„,где каждое из множеств М, нигде не плотно. Пусть з 1 Юо — некоторый замкнутый шар радиуса 1. Поскольку множество Мь будучи нигде ие плотным, не плотно в 5з, существует замкнутый шар О1 радиуса меньше 1/2, такой, что 5[ с: Яа и ПОЛНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 71 5, П М1 = 8.
Поскольку множество Мз не плотно в 5„по той же причине в шаре 51 содержится замкнутый шар 5з радиуса меньше 1/3, для которого 5з П Мг = 0 и т. д. Мы получаем последовательность вложенных друг в друга замкнутых шаров (5 ), радиусы которых стремятся к нулю, причем 5 П М = О'. В силу теоремы 1 пересечение О 5„содержит некоторую точь=! ку х. Эта точка по построению не принадлежит ни одному нз множеств М„, следовательно, х ~ О М„, т. е.
А' ~ 1) М„, в проч ь тиворечии с предположением. В частности, всякое полное метрическое пространство без изолированных точек несчетно. Действительно, в таком пространстве каждое множество, содержащее лишь одну точку, нигде не плотно. 4. Пополнение пространства. Если пространство й' не полно, то его всегда можно включить некоторым (и, по существу, единственным) способом в полное пространство. О п р е д е л е н и е 2. Пусть )т — метрическое пространство. Полное метрическое пространство )1(* называется пополнением пространства )(, если; 1) Й является подпространством пространства )т', 2) )с всюду плотно в )(', т.
е. [й) = )(*. (Здесь ()с) означает, естественно, замыкание пространства )т в )с'.) Например, пространство всех действительных чисел является пополнением пространства рациональных чисел. Т е о р е м а 3, Каждое метрическое пространство й имеет пополнение, и это пополнение единственно с точностью до изометрии, оставляющей неподвижными точки из )с. Доказательство. Начнем с ед и н с тве н н о с т и. Нам нужно доказать, что если )(* и )(** — два пополнения пространства й, то существует такое взаимно однозначное отображение ~р пространства )(' на )т'*, что 1) ~р(х) = х для всех х ~ )т; 2) если х" х'* и у* у*', то р,(х', у') = рз(х**, у'*), где р1 — расстояние в )т'*, а рз — расстояние в Р'*. Отображение ~р определяется следующим образом.
Пусть х' — произвольная точка из )т*. Тогда, по определению пополнения существует последовательность (х4 точек из Й, сходящаяся к х'. Точки (х ) входят и в Й . Так как 1(" полно, то (х4 сходится в )(*' к некоторой точке х". Ясно, что х" не зависит от выбора последовательности (х4, сходящейся в точке х*. Положим <р(х*) = х". Отображение ~р и есть искомое изометрвческоа отображение. 72 МЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА ~ГЛ.П Действительно, по построению ф(х) = х для всех х ~ )с. Далее, пусть (хл) -ь х' в 1ч* и (хл) - х" в (ул) - у' в 1Т' и (ул) -ь у" в Я'*; тогда в силу непрерывности расстояния, р,(х', у')= 1нп р,(хл, у,)= 1пп р(хл, ул) л+» и, аналогично, Ря(х у ) 11тп Ря(хл» ул) 1»щ Р(хл» ул).
л+» а~в Следовательно, р, (х', у') = р, (х", у"). Докажем теперь с у щ е с т в о в а н и е пополнения. Идея этого доказательства та же, что и в канторовой теории действительных чисел. Положение здесь даже проще, чем в теории действительных чисел, так как там для вновь вводимых объектов — иррациональных чисел — требуется еще определить все арифметические операции. Пусть 1с — произвольное метрическое пространство. Назовем две фундаментальные последовательности(х„) и (х„') из 1с эквивалентными (обозначение (х„) (х„')), если 1нп р (хл, х') = О. л+ л Название «эквивалентность» оправдано, поскольку это отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно. Отсюда следует, что все фундаментальные последовательности, которые можно составить из точек пространства хс», распадаются на классы эквивалентных между собой последовательностей.
Определим теперь пространство )с". За его точки мы примем всевозможные классы эквивалентных между собой фундаментальных последовательностей, а расстояние между ними зададим следующим образом. Пусть х' и у* — два таких класса. Выберем в каждом из этих классов по одному представителю, т. е. по некоторой фундаментальной последовательности (х„) и (у ). Положим ') р(х', у')= 1ип р(хл, ул). (3) л.+ ь Докажем корректность этого определения расстояния, т.
е. докажем, что предел (3) существует и не зависит от выбора представителей (х ) я х' и (ул) ен у' В силу неравенства 1р(х„, ул) — р(хлм у )1» р(хл, х )+ р (ул, у ) (4) ') Чтобы не усложнить запись мы обозначаем расстояние, в и' тем же симьолам р, что и расстояние в исходном пространстве У. ПОЛНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 73 в 3» получаем, что для всех достаточно больших л и л» 1р(хл, у,) — р(х, у )1( е, так как последовательности (х„) и (у ) фундаментальные. Таким образом, последовательность действительных чисел в„= р(хи, у ) удовлетворяет критерию Коши и, следовательно, имеет предел. Этот предел не зависит от выбора (хи) ен х' и (уи) ену'. Дей- ствительно, пусть Ю (хи) ен х и (ул)~ (ул) у Выкладка, в точности аналогичная (4), дает ~ р (хл, ул) — р (х',, у„') ~ ~( р (хл, х'„) + р (ул, у„').
Поскольку (х„)-(х'„) н (у„)-(у'„), отсюда следует, что Вгп р(хл, ул)=!ип р(х', у„'). л+ ~ "' " л-Фоэ Докажем теперь, что в 1»' выполнены аксиомы метрического пространства. Аксиома 1) непосредственно вытекает нз определения эквивалентности фундаментальных последовательностей. Аксиома 2) очевидна. Проверим теперь аксиому треугольника. Так как в исходном пространстве Й аксиома треугольника выполнена, то р (Хл, гл) ~ (р (Хл, ул) + р (ул, гл).
Переходя к пределу при л -ьол, получаем 1ип р (хл, гл) (~ ! Нп р (хл, ул) + Вгп р (ул, гл), л.+ и-и ~и и-и т. е. р(х', г')(р(х', у') + р(у', г'). Докажем теперь, что Й можно рассматривать как подпространство пространства 1»»'. Каждой точке х ~ й отвечает некоторый класс эквивалентных фундаментальных последовательностей, именно, совокупность всех последовательностей, сходящихся к точке х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
