Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Л Важным частным случаем гомеоморфизма является так называемое изометрическое отображение. Говорят, что биекция ~ между метрическими пространствами гс = (Х, р) и Й' = ()', р') является изометрией, если Р (хь хт) = Р (~ (х~), ~(хт)) для любых хь х,е-=. )т'. Пространства гс и )с', между которыми можно установить изометрическое соответствие, называются изометричными.
Изометрия пространств )с и й' означает, что метрические связи между их элементами одни и те же; различной может быть лишь природа их элементов, что с точки зрения теории метрических пространств несущественно. В дальнейшем изометричные между собой пространства мы будем рассматривать просто как тождественные. К изложенным здесь понятиям (непрерывность, гомеоморфизм) мы вернемся, с более обшей точки зрения, в конце й 5 этой главы. й 2. Сходимость.
Открытые и замкнутые множества 1. Предельные точки. Замыкание. Мы введем здесь некоторые понятия теории метрических пространств. Эти понятия мы неоднократно используем в дальнейшем. Открытым шаром В(хы г) в метрическом пространстве )с мы будем называть совокупность точек х~)с', удовлетворяющих и з) сходимость. Открытые и 3Амкнутые множестРА 57 условию р(х, х,) < г. Точка хо называется центром этого шара, а число г — его радиусом. 3амкяутым иеаром В[хо,г] мы назовем совокупность точек х ~ Я, удовлетворяющих условию р(х, х,) <г. Открытый шар радиуса е с центром хо мы будем называть также и-окрестностью точки хо н обозначать символом 0,(хо). У и р аж не н ив.
Привести пример метрического пространства и таких двух шаров В (х, р,), В (У, р,) в нем, что рг > р, н тем не менее В(х, р,) ~ ~ В (у рг). Множество гИ с Я называется ограниченным, если оно содержится целиком в некотором шаре. Точка хе= )чг называется точкой прикосновения множества М с)с, если любая ее окрестность содержит хотя бы одну точку нз М. Совокупность всех точек прикосновения множества М обозначается [М] и называется замыканием этого множества. Таким образом, мы определили для множеств метрического пространства операцию замыкания — переход от множества М к его замыканию [М].
Теорема 1, Операция замыкания обладает следующими свойствами: 1) Мс[М], 2) [[М]] = [М], 3) если М, с Мт, то [М,] с [Ма], 4) [Мг О Мт] = [Мг] () [Ма]. Д о к а з а т е л ь с т в о. Первое утверждение очевидно, так как всякая точка, принадлежащая М, является для М точкой прикосновения. Докажем второе. Пусть х ее [[М]]. Тогда в любой окрестности 0,(х) этой точки найдется точка хг ее[М]. Положим е — р(х, х,) = е~ и рассмотрим шар Ом(хг).
Этот шар целиком лежит внутри шара 0,(х). Действительно, если г ен 0,,(х,), то р(г, х,) «=' ег, и так как р(х, х,) = е — ег, то по аксиоме треугольника р(г, х) <е, +(е — е)=е, т. е. Е~О,(х). Так как х, ~[М], то в 0„(х,) найдется точках,ееМ. Но тогда ха~ 0,(х). Так как 0,(х) — произвольная окрестность. точки х, то.х ее [М]. Второе утверждение доказано. Третье свойство очевидно.
Докажем, наконец, четвертое свойство. .Вв МЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА !ГЛ П Если хен[М, () Мз), то х содержится по крайней мере в одном из множеств [М1] или [Мт[, т. е. [М1 () Мт[ ~ [М,] () [Мт[. Так как М~ ~М1() Мэ и Мт с: М> () Мь то обратное включение следует из свойства 3). Теорема доказана полностью. Точка х ~ !г называется предельной точкой множества .М с: !г, если любая ее окрестность содержит бесконечно много точек из М. Предельная точка может принадлежать, а может и не принадлежать М. Например, если М вЂ” множество рациональных чисел пз отрезка [О, !], то каждая точка этого отрезка — предельная для М.
Точка х, п р и н а д л е ж а ш а я М, называется изолированной точкой этого множества, если в достаточно малой ее окрестно.сти 0,(х) нет точек из М, отличных от х. Предлагаем читателю доказать в качестве упражнения следующее утверждение: Всякая точка прикосновения множества М есть либо пре.дельная, либо изолированная точка этого множества. Отсюда можно заключить, что замыкание [М) состоит, вообще говоря, из точек трех типов; 1) изолированные точки множества М; 2) предельные точки множества М„принадлежащие М; 3) предельные точки множества М, не пренадлежащие М. 'Таким образом, замыкание [М[ получается присоединением к М всех его предельных точек. 2. Сходимость.
Пусть хь хм ... — последовательность точек .в метрическом пространстве )с. Говорят, что эта последовательность сходится к точке х, если каждая окрестность 0,(х) точки х содержит все точки х, начиная с некоторой, т.е. если для всякого а ) О найдется такое число Ф„ что 0,(х) содержит все ТОЧКИ Хь С П ) О',. ТОЧКа Х НаЗЫВаЕтСЯ ПРЕдЕЛОМ ПОСЛЕДОВатЕЛЬ- ности (х„). Это определение можно, очевидно, сформулировать еще и следующим образом: последовательность (х) сходится к х, если !!гп р(х, х„) =О. 6.+ м Непосредственно из определения предела вытекает, что !) никакая последовательность не может иметь двух различных пределов, и что 2) если последовательность (х„) сходится к точ.ке х, то и всякая ее подпоследовательность сходится к той же самой точке. Следующая теорема устанавливает тесную связь между полнятиями точки прикосновения и предела.
! 21 СХОДИМОСТЬ. ОТКРЫТЫЕ Н ЗАМКНУТЫЕ МНОЖЕСТВА 59' Теорем а 2. Для того чтобы точка х была точкой прикосновения множества М, необходимо и достаточно, чтобы существовала последовательность (х„) точек из М, сходящаяся к т. Д о к а з а т е л ь с т в о. Условие необходимо, так как если х— точка прикосновения множества М, то в каждой ее окрестности О„„(х) содержится хотя бы одна точка х„е= М. Эти точки образуют последовательность, сходящуюся к х. Достаточность очевидна. Если х — предельная точка множества М, то точки х„~ епОн„(х)ПМ, отвечающие разным и, можно выбрать попарно различными. Таким образом, для того чтобы точка х была предельной для М, необходимо и достаточно, чтобы в М существовала последовательность попарно различных точек, сходящаяся к х.
Понятие непрерывности отображения мегрического пространства Х в метрическое пространство У, введенное в $ 1, можно теперь сформулировать в терминах сходимости последовательностей. Именно, отображение у = г*(х) непрерывно в точке х,, если для всякой последовательности (х»), сходящейся к х,, последовательность (у = 1(х„)) сходится к уо = 1(хь) Доказательство равносильности этого определения приведенному в 5 ! ничем не отличается от доказательства равносильности двух определений непрерывности («на языке е, 6» и «на языке последовательностей») функций числового аргумента и может быть предоставлено читателю.
3. Плотные подмножества. Пусть А и  — два множества в метрическом пространстве 1ч. Множество А называется плотным в В, если (А):з В. В часгности, множество А вазываегсл всюду плотным (в пространстве Й), если его замыкание (А) совпадает со всем пространством Й. Например, множество рвцнональных чисел всюду плотно на числовой прямой. Множество А называется нигде не плотным, если оно не плотно ни в одном шаре, т. е. если в каждом шаре В с: 1г содйрж |тся другой шар.
В', не имеющий с А ни одной общей точки. Примеры пространств, имеющих всюду плотноее с ч е т н о е м но же ство. Пространства, в которых имеется счетное всюду плотное множество, называют сепарабельными. Рассмотрим с этой точки зрения примеры, которые приведены в $1. !. «Дискретное» пространство, описанное в примере 1 в 1, содержит счетное всюду плотное в нем множество тогда н только тогда, когда оно само состоит лишь из счетного числа точек. Дело в том, что замыкание (М) любого множества М в этом пространстве совпадает с М. Все пространства, перечисленные в примерах 2 — 8 в 1, содержат счетные всюду плотные множества.
Укажем в каждом по МЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА ~ГЛ. и из них по такому множеству, настоятельно рекомендуя читателю провести подробные доказательства. 2. На действительной оси 11' — рациональные точки. 3 — 5. В и-мерном евклидовом пространстве й" и в пространствах )хм м" — совокупность векторов с рациональнымн координатами, 6. В пространстве С[а, Ь] — совокупность всех многочленов с рациональными коэффициентами. 7.
В пространстве (г — совокупность последовательностей, в каждой из которых все члены рациональны и лишь конечное (свое для каждой последовательности) число этих членов отлично от нуля. 8. В пространстве С,[а, Ь] — совокупность всех многочленов с рациональными коэффициентами. Вместе с тем пространство ограниченных последовательностей т (пример 9 з 1) несепарабельно. Действительно, рассмотрим всевозможные последовательности, состоящие из нулей и единиц. Они образуют множество мощности континуума (так как между ними и подмножествами натурального ряда можно установить взаимно однозначное соответствие), Расстояние между двумя такими точками, определяемое формулой (11) 9 1, равно 1.
Окружим каждую из этих точек открытым шаром радиуса 1/2. Эти шары це пересекаются. Если некоторое множество всюду плотно в гп, то каждый из построенных шаров должен содержать хотя бы по одной точке из этого множества, и, следовательно, оно не может быть счетным.
4. Открытые и замкнутые множества. Рассмотрим важнейшие типы множеств в метрическом пространстве, а именно, открытые и замкнутые множества. Множество М, лежащее в метрическом пространстве /г, называется замкнутым, если оно совпадает со своим замыканием: [М] = М. Иначе говоря, множество называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки. В силу теоремы 1 замыкание любого множества М есть замкнутое множество. Из той же теоремы вытекает, что [М] есть наименьшее замкнутое множество, содержащее М. (Докажите это! ) П р и м е р ы. 1.
Всякий отрезок [а, Ь] числовой примой сть замкнутое множество. 2. Замкнутый шар представляет собой замкнутое множество. В частности, в пространстве С[а, Ь] множество функций /, удовлетворяющих условию [/(1) [ = К, замкнуто. 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
