Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 12
Текст из файла (страница 12)
(6) !<»<а Справедливость аксиом !) — 3) очевидна. Это пространство, ко- торое мы дбозначим й", во многих вопросах анализа не менее удобно, чем евклидово пространство 11». Последние три примера показывают, что иногда и в самом деле важно иметь различные обозначения для самого метриче- ского пространства и для множества его точек, так как один и тот же запас точек может быть по-разному метризован.
6. Множество С[а, (!) всех непрерывных действительных функ- ций, определенных на сегменте [а, Ь), с расстоянием р (1, д) = п»ах ! у (1) — 1(1) ! а<!<Ь также образует метрическое пространство. Аксиомы 1) — 3) про- веряются непосредственно. Это пространство играет очень важ- ную роль в анализе. Мы будем его обозначать тем же симво- лом С [а, Ь), что и само множество точек этого пространства. Вместо С [О, !) мы будем писать просто С. 7. Обозначим через 1» метрическое пространство, точками ко- торого служат всевозможные последовательности х =(хь х», ... ..., х„...) действительных чисел, удовлетворяющие условию ~~, х- '< оо, »=! а расстояние определяется формулой Р!*..!- !!!ь!а- .г.
!о Иэ элементарного неравенства (х» ~ у )» «(2(х'„+ ут») следует, что функция р(х, у) имеет смысл для всех х, у ее 1», т. е. ряд ~ (у» — х»)' сходится, если »=! ~ х~~ < и ~„у»~ ~< »-! понятия метрического пространств» Покажем теперь, что функция (8) удовлетворяет аксиомам мет- рического пространства. Аксиомы 1) и 2) очевидны, а аксиома треугольника принимает здесь вид с' (е» вЂ” х») а:»~ ~, (2» — у») +»~ ~~' (у» — хь) . (9) »=( т т 3 силу сказанного выше каждый из трех написанных здесь ря- дов сходится. С другой стороны, при каждом и справедливо неравенство а / а а Х (х» х») (~ "~/ ~' (е — у )2 1 ~' ( )в »=-( »=, »=) (см, пример 4).
Переходя здесь к пределу при и -ь.оо, получаем (9), т. е. неравенство треугольника в 1в. 8. Рассмотрим, как и в примере 6, совокупность всех функций, яейрерывных на отрезке [а, Ь], но расстояние определим иначе, а именно, положим ь (/ ) (*, т) = ( ] (* (Π— т(()В а() та (10) Такое метрическое пространство мы будем обозначать Са(а, ()] и называть пРостРанством непРеРывных фУнкуий с кеаох ратичной метрикой. Здесь аксиомы 1) и 2) метрического пространства опять-таки очевидны, а аксиома треугольника непосредственно вытекает из интегральной формы неравенства Коши — Буняковского' ) < ь е ь ь (1)у(1)А!1 ~$ '(1) й! ~ у'(1)й1.
а / а а 9. Рассмотрим множество всех ограниченных последовательностей х =(хь хт, ..., х, ...) действительных чисел. Положив р (х, у) =зцр] у» — х»], (! 1) мы получим метрическое пространство, которое обозначим пь. Справедливость аксиом 1) — 3) очевидна. ') Это неравенство может быть получено, например, на легко, провериемого тождества < ь в ь ь ь ь ]*(~)„(~)а)-! '(а !((~) — — )!(*() () — (»*(и'('"' ! ! 2 а а а а а а чисел с расстоянием г' л » 1/Р р (х, у)=! 2 !!㻠— х„~п! »=1 (! 2) где р — любое фиксированное число ~1, представляет собой метрическое пространство„которое мы обозначим йр. Справед. ливость аксиом 1) и 2) здесь опять.
таки очевидна. Проверим аксиому 3). Пусть х = (хь, ..., хн), у = (у„..., уя), г = = (гь, ..., Е„) — три точки из !ч",. Положим у» — х» = аььы ໠— у» = Ьм тогда неравенство рр(х, г) ( рр(х, у) + ра(у, г), справедливость которого мы должны установить, примет вид (ь~„~-ь,г) ~(»~„1) чф1ь,г) . Рьь Это — так называемое неравенство Минковского. При р = 1 неравенство Минковского очевидно (модуль суммы не превосходит суммы модулей), поэтому будем считать, что р ) 1 '). Доказательство неравенства (13) при р ) 1 основано на так называемом неравенстве Гельдерн к 1 ,ь,1 ~ ф ~ , г) ( ь ~ ь, г) (14) где числа р ) ! и д ) 1 связаны условием 1 1 р — + — =1, т.
е. 1!= —. 4 ' ' ' р — 1' Заметим, что неравенство (14) однородно. Это значит, что если оно выполнено для каких-либо двух векторов а =(аь, ... ..., а„) и Ь =(Ьь, ..., Ь„), то оно выполнено и для векторов ла и 1АЬ, где Х и 1А — произвольные числа. Поэтому неравенство (!4) достаточно доказать для случая, когда а п ~:1а»!'= Х )Ь»1=1. »=1 (16) Итак, пусть выполнено условие (16); докажем, что я 1 а,Ь»1(1.
(17) »=1 ') При р(1 неравенство Минковского не имеет места. Иначе говоря, если бы мы захотели рассматривать пространство и„"при р (1, то в таком пространстве не была бы выполнена аксиома треугольника. 52 МЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 1ГЛ. П 10. Множество упорядоченных групп из и действительных понятии митяичиского пеостьлнств» $ и Рассмотрим на плоскости ($, т[) кривую, определяемую уравнением т| = аь ' ($ ) 0), или, что то же самое, уравнением $ = = »1»-ь (рис. 7). Из рисунка ясно, что при любом выборе положительных значений а и Ь будет Яь+ Зт) аЬ.
Вычислим площади Яь и 5». и ь рь а» Г иь Ь» З, = ~ й г($ = —. З»= ! ч (Ч= —. р ч 0 о Таким образом, справедливо числовое неравенство а» Ь» аЬ < — + —. 4 ' Рис. 7. Заменив здесь а на |а»| и Ь на |Ь»| и суммируя по Ь от 1 до и, получим, учитывая (15) и (16), л | а»Ь» [(1. Неравенство (17), а следовательно, и общее неравенство (14) доказаны, При р = 2 неравенство Гельдера (14) переходит в неравенство Коши — Буняковского (4).
Перейдем теперь к доказательству неравенства Минковского. Длн этого рассмотрим тождество (| а |+ | Ь 1)» = (| а |+ | Ь [)» | а |+ (| а |+ | Ь [)» | Ь [. Заменяя в написанном тождестве а на а» и Ь на Ь» и суммируя по Ь от 1 до и, получим и л и Д(|а»|+|Ь»|) = ~~' (|а»|+|Ь»[)~ |а»|+ ~ (|а»|+| Ь,[)~ 1|Ь»|. Применяя теперь к каждой из двух сумм, стоящих справа, неравенство Гельдера и учитывая, что (р — 1)д = р, получим л (| а» |+| Ь» 1)л ~ л(й ь..~~-!ь,ь) ([Е!иг!"'-ь[Е~ь,г) ).
Деля обе части этого неравенства на ф ь ..~-~~ь. ь ) МЕТРНЧЕСКНЕ Н ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА (ГЛ, и получим Я ((л(ь-(ь.((') «ф(„(') .ьф(ь,(') откуда сразу следует неравенство (!3). Тем самым установлена аксиома треугольника в пространстве ма. Рассмотренная в этом примере метрика рР преврашается в .евклидову метрику (прнмер 3) при р = 2 и в метрику примера 4 прн р = 1. Можно показать, что метрика р„(х, д) = шах 1 д„— х, 1, («А«л введенная в примере 5, является предельным случаем метрики .РР (х, д) именно.
л л х(ЬР р (х, д) = 11гп 1 ~х Р.+ Ь-( Из неравенства аа Ьа аЬ( — +— Р 9 установленного выше, легко выводится и интегральное неравен- .ство Гельдера ь ((Р Ь ((а 1()*(((ь(ь(()ыл(1(*(О()'ьь) (1()ь(ь(()'ьь) л ььа l ьа .справедливое для любых функций х(1) н д(1), для которых стояшие справа интегралы имеют смысл. Отсюда в свою очередь получается интегральное неравенство Минковского с ь ((ь( ь ((р ь (ГР 1(*(((+ыь(гы) «Д(*(((( ьь) +(1(ь(((( л) л л / ь.л 11.
Укажем еше один интересный пример метрического про-странства. Его элементами являются всевозможные последовательности действительных чисел х = (хь хт, ... „х„...), такие, .чтР ~, 1 ха 1Р < со, л=! -где р ) 1 — некоторое фиксированное число, а расстояние опре.деляется формулой ь ((р р(х, д) = ~~, (дь — хь ~Р) (18) .Это метрическое пространство мы обозначим 1„.
ПОНЯТИЕ МЕТРИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА $п В силу неравенства Минковского (!3) имеем прн любом и Так как, по предположению, ряды Д, (хА)Р и ~ (ух1Р сходятся, то, переходя к пределу при и -ь со, получим Таким образом, доказано, что формула (18), определяющая расстояние в 1р, действительно имеет смысл для любых х, уе-:1р. Одновременно неравенство (19) показывает, что в 1р выполнена аксиома треугольника. Остальные аксиомы очевидны. Неограниченное количество дальнейших примеров дает следуюший прием. Пусть 11' =(Х, р) — метрическое пространство и М вЂ” любое подмножество в Х. Тогда М с той же функцией р(х,у), которую мы считаем теперь определенной для х и у.
из М, тоже представляет собой метрическое пространство; оно. называется подпространством пространства 11. 2. Непрерывные отображения метрических пространств. Изомегрия. Пусть Х и У вЂ” два метрических пространства и 1 — отображение пространства Х в У. Таким образом, каждому х ~ Х' ставится в соответствие некоторый элемент у =1(х) из У. Это.
отображение называется непрерывным в точке ха АХ, если для. каждого е > 0 существует такое 6 > О, что для всех х ~ Х таких, что р (х, хе) < Ь, Выполнено неравенство Р1(~ (х), 1' (хо)) ( е (здесь р — расстояние в Х, а р1 — расстояние в У). Если отображение 1 непрерывно во всех точках пространства Х, то говорят, что 1 непрерывно на Х. Если Х и У вЂ” числовые множе-. ства, т. е. ) — числовая функция, определенная на некотором подмножестве Х числовой оси, то приведенное определение непрерывности отображения преврашается в хорошо известное из.
элементарного анализа определение непрерывности функции. Аналогично можно определить непрерывную функцию (ото-- бражение) 1 от нескольких переменных х, ~Хо ..., х„ееХ„ (где Хь ..., Մ— метрические пространства) со значениями в метрическом пространстве У. МЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА ШЛ, И Заметим, в этой связи, что само расстояние р(х, у), если рассматривать его как функцию переменных х и у из Х, непрерывно. Это сразу же следует из неравенства !р(х у) — р(х уг)1<р(х х)+р(у у) легко выводимого из неравенства треугольника.
Если отображение г': Х-~ У взаимно однозначно, то существует обратное отображение х = ~-'(у) пространства У на пространство Х. Если отображение ) взаимно однозначно и взаимно непрерывно (т. е. ~ и ~-' — непрерывные отображения), то оно называется гомеоморфным отображением или гомеоморфизмом, а сами пространства Х и У, между которыми можно установить гомеоморфизм, называются гомеоморфными между собой. Примером гомеоморфных метрических пространств могут служить вся числовая прямая ( — го, сс) и интервал, например, интервал ( — 1,!). В этом случае гомеоморфизм устанавливается формулой 2 у = — агс(д х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
