Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 8
Текст из файла (страница 8)
ТРАНСФИНИТНЫЕ ЧИСЛА 33 стично упорядоченных множества можно рассматривать просто как тождественные. 3. Порядковые типы. Упорядоченные множества, Про изоморфные между собой частично упорядоченные множества мы будем говорить, что они имеют один и тот же порядковый тип. Таким образом, порядковый тип — это то общее, что, присуще любым двум изоморфным между собой частично упорядоченным множествам, подобно тому как мощность — это то общее, что присуще эквивалентным между собой множествам (рассматриваемым независимо от какого бы то ни было отношения порядка в них). Пусть а и Ь вЂ” элементы частично упорядоченного множества. Может оказаться, что ни одно из соотношений а ( Ь и Ь = а не имеет места.
В этом случае элементы а и Ь называются несравнимыми. Таким образом, отношение порядка определено лишь для некоторых пар элементов, поэтому мы и говорим о частичной упорядоченности. Если же в частично упорядоченном множестве М несравнимых элементов нет, то множество М называется упорядоченным (линейно упорядоченным, совершенно упорядоченным).
Итак, множество М упорядочено, если оно частично упорядочено и если для любых двух различных элементов а, Ь ~ М обязательно либо а ( Ь, либо Ь ( а. Ясно, что всякое подмножество упорядоченного множества само упорядочено. Множества, указанные в примерах 1 — 4 п. 1, являются лишь частично упорядоченными.
Простейшими примерами линейно упорядоченных множеств могут служить натуральные числа, совокупность всех рациональных чисел, всех действительных чисел на отрезке (О, 1] и т. п. (с естественными отношениями «больше» и «меньше», которые в этих множествах имеются). Поскольку упорядоченность есть частный случай частичной упорядоченности, к упорядоченным множествам применимо понятие отображения, сохраняющего порядок, и, в частности, понятие изоморфизма.
Поэтому можно говорить о порядковом типе упорядоченного множества. Ряд натуральных чисел 1, 2, 3, ... с естественным отношением порядка между его элементами представляет собой простейший пример бесконечного упорядоченного множества.
Его порядковый тип принято обозначать символом и!. Если два частично упорядоченных множества изоморфны межДу собой, то они, конечно, имеют одинаковую мощность (изоморфизм — это биекция), поэтому можно говорить о мощности, отвечающей данному порядковому типу (например, типу ы отвечает мощность К«).
Однако обратное неверно; множество данной мощности может быть упорядочено, вообще говоря, многими разными способами. Лишь порядковый тип линейно упорядоченного к о н е ч н о г о множества однозначно определяется числом и ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ [Гл. г его элементов (и обозначается также через и).
Уже для счетного множества натуральных чисел возможен, например, наряду с его «естественным» типом ы, такой тип: 1, 3, 5, ..., 2, 4, 6, ..., т. е. такой, когда любое четное число следует за любым нечетным, а нечетные и четные числа между собой упорядочены по возрастанию. Можно показать, что число различных порядковых типов, отвечающих мощности Им бесконечно и даже несчетно. 4. Упорядоченная сумма упорядоченных множеств.
Пусть М, и М, — два непересекающихся упорядоченных множества с порядковыми типами Ог и Оь В объединении М, () Мг множеств Мг и Мг можно ввести порядок, считая, что два элемента из М, упорядочены как в Мг, два элемента из Мг упорядочены как в Мг и что всякий элемент из Мг предшествует всякому элементу из Мь (Проверьте, что это действительно линейная упорядоченность!) Такое упорядоченное множество мы будем называть упорядоченной суммой множеств Мг и Мг и обозначать Мг (-Мь Подчеркнем, что здесь важен порядок слагаемых: сумма Мз+ Мг не изоморфиа, вообще говоря, сумме М, + Мв Порядковый тип суммы Мг+Мг мы будем называть упорядоченной суммой порядковых типов Ог и Ог и обозначать Ог + Оь Это определение легко распространяется на произвольное конечное число слагаемых Оь Ов ..., О .
Прим е р. Рассмотрим порядковые типы ы и и. Легко видеть, что и+ ы = ы; действительно, если мы к натуральному ряду 1, 2, 3, ..., А, ... припишем слева конечное число членов, то мы получим тот же порядковый тип ы. В то же время порядковый тип <о+и, т. е. порядковый тип множества 1, 2, 3, ... ..., й... аг, а,, ..., а„, не равен, очевидно, аг. 5.
Вполне упорядоченные множества. Трансфнннтные числа. Выше мы ввели понятия частичной упорядоченности и упорядоченности. Введем еще более узкое, но весьма важное понятие полной упорядоченности. О п р е д е л е н и е. Упорядоченное множество называется вполне упорядоченным, если каждое его непустое подмножество <одержит наименьший (т. е. предшествующий всем элементам этого подмножества) элемент. Если упорядоченное множество конечно, то оно, очевидно, и вполне упорядочено.
Примером упорядоченного, но не вполне упорядоченного множества может служить отрезок [О, 1). Само это множество содержит наименьший элемент — число О, но его подмножество, состоящее из положительных чисел, наименьшего элемента не содержит. Ясно, что всякое (непустое) погтмножество вполне упорядогснггого множества само вполне упорядочено. УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА. ТРАНСФИНИТНЫЕ ЧИСЛА Зо 4$41 Порядковый тип вполне упорядоченного множества называют порядковым числом (трансфинитным порядковым числом илн, короче трансфинитом, когда хотят подчеркнуть, что речь идет о бесконечном множестве).
Натуральный ряд (с естественным отношением порядка) представляет собой множество не только упорядоченное, но н вполне упорядоченное. Таким образом, его порядковый тип оз 'есть порядковое число (трансфинит1). Порядковым числом будет и оз + К т. е. тип множества 1, 2, ... и, ..., аи а,, ..., аа. Напротив, множество — и,... — 3,— 2,— 1 ,:упорядочено, но не вполне упорядочено. Здесь в каждом непустом подмножестве есть наибольший элемент (т. е. следующий :аа всеми), но, вообще говоря, нет наименьшего (наппимер, наименьшего элемента нет во всем множестве (1)). Порядковый ,гсип (не являгощийся порядковым числом!) множества (1) принято обозначать символом ьз*. Докажем следующий простой, ио важный факт, ' Л е м м а 1. Упорядоченная сулгма конечного числа вполне упорядоченных множеств есть вполне упорядоченное множество.
В самом деле, пусть М вЂ” пронзгольное подмножество упорядоченной суммы М, + Мз+... + М„вполнс т порядоченных множеств; рассмотппм первое из множеств М„содержащее элементы нз Л1. Пересечение М Й М. является подмножеством вполне упорядоченного множества Мь и, значит, имеет первый элемент. Этот элемент будет первым элементом и всего М. С л е д с т в и е. Упорядоченная сумма порядковьгх чисел являетгя порядковым числом.
Мы можем, таким образом, отправляясь от некоторого запаса порядковых чисел, строить новые порядковые числа. Например, отправляясь от натуральных чисел (т. е. конечных порядковых чисел) и порядкового числа го, можно получить порядковые числа от+и, м+м, о+а+и, ез+м+м и т.д, Читатель легко построит вполне упорядоченные множества, от- вечающие этим трансфинитам. Наряду с упорядоченной суммой порядковых типов можно ввести упорядоченное произведение.
Пусть М| и Мз — множества, упорядоченные по типам О~ и 04. Возьмем много экземпляров множества М~ — по одному на каждый элемент М,— и заменим в множестве Мг его элементы этими экземплярами Мь Пййученное множество называется упорядоченным произведением М, и ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ !ГЛ. 1 Мт н обозпачаетсн символом М~ Мг. Формально М, Мз строится нак множа. ство пар (и, Ь), где а а М, и Ь а М,, причем (аь Ь,) < (аь Ьз), если Ь, < Ь, (при любых аь а,), и (аь Ь) < (ат, Ь), если а, < аз. Аналогично определяется упорядоченное произведение любого конечного числа сомножителей М, М, ... Мю Порядковый тип 0 произведения М,.М, упорядоченных множеств называется произведением порядковых гипов 0~ и 0,: 0=0,0,.
Как н упорядочеинап сумма, упорядоченное произведение некоммутативно. Л е и и а 2 Упорядоченное лроизаедекие даук вполне улорядоченнык мно. жеста есть вполне упорядоченное множества. Д о к аз а тел ьс та о. Пусть М вЂ” некоторое подмножество произведения М~ Мз, множество М есть множество пар (а, Ь). Рассмотрим зсе вторые эле. менты Ь пар, входящих з М. Они образуют некоторое подмножество в й(ь В силу полной упорядоченности Мх это подмножество имеет первый элемент Обозначим его Ьэ,и рассмотрим асе пары вида (а, Ьр), входящие в М.
Их первые элементы а образуют некоторое подмножество в Мь В силу полной упорядоченности М| среди ннх имеется первый элемент. Обозначим его аэ, Тогда пара (аэ, Ь,), как легко видеть, и будет первым элементом М. С л е дст в и е. Упорядоченное произведение порядковык чисел язляетсх аорядковым числом. Примеры, Легко видеть, что ы+ы=ы 2, ы+ы+ы=ы 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
