Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 4
Текст из файла (страница 4)
$2. Отображения. Разбиения на классы 1. Отображение множеств. Общее понятие функции. В анализе понятие функции вводится следующим образом. Пусть Х— некоторое множество на числовой прямой. Говорят, что иа этом множестве определена ф у н кц и я [, если каждому числу х еп Х поставлено в соответствие определенное число у = [(х). При этом Х называется областью определения данной функции, а У вЂ” совокупность всех значений, принимаемых этой функцией, — ее областью значений, Если же вместо числовых рассматривать множества какой угодно природы, то мы придем к самому общему понятию функции. Пусть М и [ьг — два произвольных множества.
Говорят, что на М определена функция [, принимающая значения из Ю, если каждому элементу х ев М поставлен в соответствие один и только один элемент у из Ф. Для множеств произвольной природы (как, впрочем, и в случае числовых множеств) вместо термина ОТОБРАжения. РАзвиения нА клАссы !т $21 «функция» часто пользуются термином «отображение», говоря об отображении одного множества в другое. При специализации природы множеств М и 2у возникают специальные типы функций, которые носят особые названия «вектор-функция», «мера», «функционал», «оператор» и т.
д. Мы столкнемся с ними в дальнейшем. Для обозначения функции (отображения) из М в 22' мы будем часто пользоваться записью ): М-» тт'. Если а — элемент из М, то отвечающий ему элемент Ь=((а) из (т' называется его образом (при отображении )). Совокупность всех тех элементов а из М, образом которых является данный элемент Ь ее 22', называется прообразом (или, точнее полным прообразом) элемента Ь и обозначается г-'(Ь). Пусть А — некоторое множество из М; совокупность (г(а): а еи А) всех элементов вида ((а), где а ~ А, называется образом А и обозначается )(А). В свою очередь для каждого множества В из )т' определяется его (полный!) прообраз 2' '(В), а именно: ( '(В) есть совокупность всех тех элементов из М, образы которых принадлежат В. Может оказаться, что ни один элемент Ь из В не имеет непустого прообраза, тогда и прообраз г '(В) будет пустым множеством.
Здесь мы ограничимся рассмотрением самых общих свойств отображений. Введем следующую терминологию. Мы будем говорить, что 2 есть отображение множества М «на» множество )т', если )(М) = = )т'; такое отображение называют также сюръекцией. В общем случае, т. е.
когда ((М)с 22', говорят, что Г есть отображение М «в» )у. Если для любых двух различных элементов х1 и х2 из М их образы у~ = 1(х2) и у2 = Г(х2) также различны, то т' называется инъекцией. Отображение г": М -» )т', которое одновременно является сюръекцией и инъекцией, называется биекцией или взаимно однозначным соответствием между М и ЬГ. Установим основные свойства отображений. Теорем а Е Прообраз суммы двух множеств равен сумме их прообразов: (А () В) = Г (А) () 2' (В). До к аз а тел ь ство. Пусть элемент х принадлежит множеству ~-'(А О В).
Это означает, что Г(х)ец А 0 В, т. е. Г(х)ЕЛА или ~(х)ец В. Но тогда х принадлежит по крайней мере одному из множеств Г-'(А) или Г-'(В), т. е. х еп ~ '(А) 0 ~-'(В), Обратно, если хеиг' '(А) 0 т '(В), то х принадлежит по крайней мере одному из множеств т '(А) и ( '(В), т, е. ((х) принадлежит хотя бы одному из множеств А или В, следовательно, 2(х)е— : А 0 В, ио тогда х еи(-'(А 0 В).
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ 1гл. т 1В Те о р е м а 2. Прообраз пересечения двух множеств равен пересечению их прообразов: ) '(АПВ)=Г'(А)П1 '(В). Д о к а з а т е л ь с т в о. Если х еи Г (А П В), то ~ (х) ~ А П В„ т. е. у(х) еиА н 1(х) ен В, следовательно, хеи1 (А) и х ни( '(В)„ т. е. х ее 1 (А) П Г (В). Обратно, если х~) '(А)П1 (В), т. е. хен1 '(А) и хя~ (В), то 1(х) ен А и 1(х) се В. Иначе говоря, 1(х) я АПВ. Следовательно, хеи~ (АПВ). Теоремы 1 и 2 остаются в силе для сумм и пересечений любого (конечного или бесконечного) числа множеств так же, как и следующая теорема. Теорема 3.
Образ суммеч двух множеств равен сумме их образов; / (А () В) = 1" (А) () 1" (В). До к аз а тел ь ство. Если у ее 1'(А () В), то это означает, что у =1(х), где х принадлежит по крайней мере одному из множеств А и В. Следовательно, у = 1'(х)еи)(А) () 1(В).
Обратно, если у еи 1(А) () )(В), то у = 1(х), где х принадлежит по крайней мере одноглу из множеств А и В, т. е. хеи А () В и, следовательно, у = 1(х)ен ~(А () В). Заметим, что образ пересечения двух множеств, вообще говоря, не совпадает с пересечением их образов. Например, пусть рассматриваемое отображение представляет собой проектирование плоскости на ось х. Тогда отрезки 0<х<1, у=0, 0~(х~(1, у=1 ие пересекаются, а в то же время их образы совпадают. Уп р а ж н е н н е. Докажвте, что прообраз дополнения равен дополнению прообраза.
Верно лн аналогичное утверждение для образа дополненняр 2. Разбиение на классы. Отношения эквивалентности. В самых различных вопросах встречаются разбиения тех или иных множеств на попарно непересекающиеся подмножества. Например, плоскость (рассматриваемую как множество точек) можно разбить на прямые, параллельные оси х, трехмерное пространство можно представить как объединение концентрических сфер различных радиусов (начиная с г = О), жителей данного города можно разбить на группы по их году рождения и т. п. Каждый раз, когда некоторое множество М представлено тем или иным способом как сумма своих попарно непересекающихся подмножеств, мы говорим о разбиении множества М на классы.
ОТОБРАЖЕНИЯ, РАЗБИЕНИЯ НА КЛАССЫ 19 Обычно приходится иметь дело с разбиениями, построенными на базе того или иного признака, по которому элементы множества М объединяются в классы. Например, множество всех треугольников на плоскости можно разбить на классы равных между собой или на классы равновеликих треугольников, все функции от х можно разбить на классы, собирая в один класс функции, принимающие в данной точке одинаковые значения, и т. д.
Признаки, по которым элементы множества разбиваются на классы, могут быть самыми разнообразными. Но все же такой признак не вполне произволен. Предположим, например, что мы захотели бы разбить все действительные числа на классы, включая число Ь в тот же класс, что и число а, в том и только в том случае, когда Ь ) а. Ясно, что никакого разбиения действительиых чисел на классы таким путем получить нельзя, так как если Ь ) а, т. е. если Ь следует зачислить в тот же класс, что и а, то .а «., Ь, т.
е. число а нельзя включить в тот же класс, что и Ь. Кроме того, так как„а не больше, чем само а, то а не должно полость в один класс' с самим собой! Другой пример. Попробуем разбить точки плоскости на классы, относя две точки к одному классу в том и только том случае, когда расстояние между ними меньше 1. Ясно, что добиться этого нельзя, так как если расстояние от а до Ь меньше 1 и расстояние от Ь до с меньше 1, то это вовсе не означает, что расстояние от а до с меньше 1.
Таким образом, зачисляя а в один класс с Ь, а Ь в один класс с с, мы получим, что в один и тот же класс могут попасть две точки, расстояние между которыми больше 1. Приведенные примеры подсказывают условия, при которых чот или иной признак действительно позволяет разбить элементы некоторого множества на классы. Пусть М вЂ” некоторое множество и пусть некоторые из пар (а, Ь) элементов этого множества являются «отмеченными»'). Если (а, Ь) — «отмеченная» пара, то мы будем говорить, что элемент а связан с Ь отношением гр, и обозначать это символом а Ь. Например, если имеется в виду разбиение треугольников на классы равновеликих, то а Ь означает «треугольник а имеет ту же площадь, что и треугольник Ь».
Данное отношение «р называется отношением эквивалентности, если оно обладает следующими свойствами: 1. Рефлексивностьс а — а для любого элемента а БАМ. 2. Симметричность: если а — Ь, то Ь вЂ” а. 3. Транзитивностьс если а Ь и Ь с, то а — с. ') При этом элементы а и Ь берутся в определенном порядке, т, е. (а, Ь) в (Ь,а) — две, вообще говоря, различные пзры. 1гл ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ 20 Эти условия необходимы и достаточны для того, чтобы отношение р (признак)) позволяло разбить множество М на классы, В самом деле, в с я к о е разбиение данного множества на классы определяет между элементами этого множества некоторое отношение эквивалентности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
