Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Аддитивности и и-адднтнвность . . 265 1. Определение меры (265). 2. Продолжение меры с полукольца иа порожденное им кольцо (266). 3. и-аддитивнасть (268), 9 3, Лебегово продолжение меры 271 !. Лебегово продолжение меры, определенной на полукольце с единицей (271). 2.
Продолжение меры, заданной нз полукольце без единицы (274). 3. Расширение понятия измеримости в случае и-конечной меры (276). 4. Продолжение меры по Жордану (279). 5. Однозначность продолжения меры (280). ОГЛАВЛЕНИЕ $4. Измеримые функции . 282 1. Определение и основные свойства измеримых функций (282). 2. Действия над измеримыми функциями (283). 3. Эквивалентность (285). 4. Сходнмость почти всюду (286). 5.
Теорема Егорова (287). 6. Сходимость по мере (288). 7. Теорема Лузина. С-свойство (291). $5. Интеграл Лебега. . 291 1. Простые функции (292). 2. Интеграл Лебега для простых функций (292). 3. Общее определение интеграла Лебега иа множестве конечной меры (294). 4. о-аддитивнасть и абсолютная непрерывность интеграла Лебега (298).
5. Предельный переход под знаком интеграла Лебега (302), 6. Интеграл Лебега по множеству бесконечной меры (306). 7. Сравнение интеграла Лебега с интегралом Римана (307). 9 6. Прямые произведения систем множеств н мер. Теорема Фубнни 310 1. Произведения систем множеств (310). 2.
Произведения мер (312). 3. Выражение плоской меры через интеграл линейной меры сечений и геометрическое определение интеграла Лебега (314). 4. Теорема Фубини (3!6), Глава ЧП Пространства суммнруемых функций й 1, Пространство (ч . . 376 1. Определение и основные свойства пространства (ч (375).
2. Всюду плотные множества в 5, (377). и 2, Пространство (.з . . 38!в 1. Определение и основные свойства (380). 2. Случай бесконечной меры (384). 3. Всюду плотные множества в Ез. Теорема об изоморфнзме (385). 4. Комплексное пространство ).з (387). 5. Сходнмость в среднем квадратичном н ее связь с другими типами сходимости функциональных последовательностей (387). 61 й 2 $ 3 $5 96 Глава Ч! Неопределенный интеграл Лебега. Теория дифференцировании Монотонные функции. Дифференцнруемость интеграла по верхкему пределу 321 1. Основные свойства монотонных функций (32!).
2. Дифференци- руемость монотонной функции (324). 3. Производная интеграла по верхнему пределу (331). Функции с ограниченным изменением............... 332 Производная неопределенного интеграла Лебега.......... 337 Восстановление функция по ее производной. Абсолютно непрерыв- ные функции . . 319 Интеграл Лебега как функция множества. Теорема Радона — Никодима 349 1. Заряды. Разложение Хана и разложение Жордана (349), 2. Основные типы зарядов (352).
3. Абсолютна непрерывные за- ряды. Теорема Радона — Никодима (353). Интеграл Стнлтьеса 356 1. Меры Стилтьеса (356). 2. Интеграл Лебега — Стилтьеса (358). 3. Некоторые применения интеграла Лебега — Стилтьеса в теории вероятностей (360). 4. Интеграл Римана — Стилтьеса (362). 5. Пре- дельный переход под знаком интеграла Стилтьеса (366). 6. Общий вид линейных непрерывных функционалов в пространстве непрерыв- ных функций (369). оглдвлкннв Ортогональные системы функций в Ег Ряды ио ортогональным системам . 389 1, Тригонометрическая система.
Тригонометрический ряд Фурье(390), 2. Тригонометрические системы иа отрезке [О, л) (393). 3. Ряа Фурье в комплексной форме (394). 4. Миогочлены Лежандра (395). Ортогональиые системы в произведениях. Кратные ряды Фурье (397). 6. Многочлены, ортогональиые относительно данного веса (399). 7. Ортогональный базис в пространствах 5, (-'оз, оз) и 5,(0, со). (40!). 8, Ортогональные многочлены с дискретным весом (402). 9. Системы Хаара и Радемзхерз — Уолша (404).
Глава ЪП1 Трнгонометрические ряды. Преобразование Фурье зй 1. Условия сходимости ряда Фурье . 406 1. Достаточные Условия сходимостн ряда Фурье в точке (405). 2. Условия равномерной сходимости ряда Фурье (412). $ 2. Теорема Фейера . 415 1. Теорема Фейера (4!5). 2. Полнота тригонометрической системы. Теорема Вейерштрасса (4!8), 3. Теорема Фейера для пространства 5, (4!9). $3, Интеграл Фурье, . 419 1. Основная теорема (419).
2. Интеграл Фурье в комплексной форме (422). б 4, Преобразование Фурье, свойства и применения...,...,,, 423 1. Преобразование Фурье и формула обращения (423). 2. Основные свойства преобразования Фурье (427). 3. Полнота функций Эрмита и Лагерра (43!). 4. Преобразование Фурье быстро убывающих бесконечно дифференцируемых функций (431). 5. Преобразование Фурье и свертка функций (432). 6. Применение преобразования Фурье к решению уравнения теплопроводности (433). 7. Преобразование Фурье функций нескольких перемекных (435). $5.
Преобразование Фурье в пространстве 5з ( — оз, оо),, .... 438 1. Теорема Планшереля (438). 2. Функции Эрмита (442). б 6. Преобразование Лапласа 445 1. Определение и основные свойства преобразования Лапласа (445). 2. Применение преобразования Лапласа к решению дифференциальных уравнений (операторный метод) (446). $ 7.
Преобразование Фурье — Стнлтьеса . . ., . . .. .. . . . 448 1. Определение преобразования Фурье — Стилтьеса (448). 2. Применения преобразования Фурье — Стилтьеса в теории вероятностей (450). и 8. Преобразование Фурье обобщенных функций . 452 Глава !Х Лнмеймые ннтегральиые уравнения $1. Основные определения.
Некоторые задачи, приводящие к интегральным уравнениям . 456 1. Типы интегральных уравнений (456). 2. Прииеры задач, приводящих к интегральным уравнениям (457). л 2. Интегральные уравнения Фредгольма............... 460 1. Интегральный оператор Фредгольма (460). 2.
Уравнения с симметрическим ядром (463). 5 Теоремы Фредгольма. Случай вырожденных ядер (465). 4. Теоремы Фредгольма для уравнений с произвольными ядрами (467). 5. Уравнения Вольтерра (472). 6. Интегральные уравнения первого рода (473). ОГЛАВЛЕНИЕ 9 3. Интегральные уравнения, содержащие параметр. Метод Фредгольма . . 474 1.
Спектр компактного оператора в Н (474). 2. Отыскание решения в виде ряда по степеням д. Детерминанты Фредгальма (475). Глава Х Элементы дифференциального исчислении в линейных пространствах $1, Дифференцирование в линейных пространствах , ..., . .., 483 1. Сильный дифференциал (дифференциал Фреше) (483). 2. Слабый дифференциал (дифференциал Гата) (482). 3.
Формулз конечных приращений (482). 4. Связь между слабой и сильной дифференцируемостью(483). 5. Дифференцируемые функпионалы (485). 6. Абстрактные функция (485). 7. Интеграл (485). 8. Производные высших порядков (488). 9. Дифференциалы высших порядков (491).
10. Формула Тейлора (491). 6 2. Теорема о неявной функции к некоторые ее применения ... . 492 1. Теорема о неявной функции (492). 2. Теорема о зависимости решения дифференциального уравнения от начальных данных (495). 3. Касательные многообразия, Теорема Люстериика (496). $3. Экстремальные задачи . 499 1, Необходимое условие экстремума (500). 2, Второй дифференциал Достаточные условии экстремума фу~кционалз (533). 3. Экстремальные задачи с ограничениями (506). э 4.
Метод Ньютона 508 Дополнение Баиаховм алгебры $ 1. Определение и примеры банаховых алгебр...,...,..., 5!3 1. Банаховы алгебры, изоморфизмы банаховых алгебр (513). 2. Примеры банаховых алгебр (514). 3. Максимальные идеалы (5!5] $2. Спектр и резольвеьтз 516 1. Определения и примеры (516). 2, Свойства спектра (51?).
3. Теорема о спектральном радиусе (5!9). 9 3. Йекоторые вспомогательные результаты ....., .... ... 526 1. Теорема о фактор-алгебре (520). 2. Три леммы (521). 6 4. Основные теоремы . 521 1. Линейные непрерывные мультипликативные функционалы и максимальные идеалы (521). 2. Топология во множестве Я. Основные теоремы (523).
3. Теорема Винера; упражнения (525). Литература . 529 Распределение литературы по главам 539 Предметный указатель 531 ПРЕДИСЛОВИЕ К ЧЕТВЕРТОМУ ИЗДАНИЮ Это издание выходит уже после смерти Сергея Васильевича Фомина. Он успел, однако, проделать всю основную работу по усовершенствованию книги. Существенно переработана десятая глава. В пей добавлен параграф, посвященный теореме о неявной функции и изменен параграф еЭкстремальные задачи». Этн изменения повлекли за собой необходимость изменений в четвертой главе (следствия из теоремы Хана — Баиаха н теоремы Бамаха об обратном операторе).
Текст книги был просмотрен В. М. Алексеевым и В, М. Тихомировым, которым я выражаю искреннюю благодарность. А. Колмогоров ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ Г1ервое издание «Элементов теории функций и функционального анализа» вышло двумя отдельными выпусками в 1954 н !960 годах. Появление этих выпусков было связано с включением в конце 40-х годов в программу механико-математическогг» факультета МГУ курса «Анализ П!», объединявшего элементы теории меры и теории функций, интегральные уравнения, сведения из функционального анализа, а позже и вариационное исчисление. Этот курс, читавшийся в МГУ сперва А. Н.
Колмогоровым, а потом и другими лекторами, в том числе С. В. Фоминым, вошел в дальнейшем в программы и других университетов В свое время замена в МГУ отдельных курсов теории функций действительного переменного, интегральных уравнений и вариационного исчисления единым курсом «Анализ П1» вызвала большие споры. Перед курсом была поставлена задача приучить студентов к двойному зрению; с одной стороны, следить за внутренней логикой развития теории множеств, общей теории непрерывных отображений метрических и топологических пространств„ линейных пространств и функционалов и операторов на них, чистой теории меры и интегрирования в общих «пространствах с мерой», с другой, — не упускать из виду обслуживаемую этими более абстрактными областями математики проблематику классического и даже прикладного анализа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
