Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Легко также построить множества, упорядоченные по типам ы.п, ыз, ы' и, ы', ... , ыр, ... Все эти множества будут иметь счетную мощность. Можно определить и другие действия над порядковыми типами, например, возведение в степень, и ввести в рассмотрение такие порядковые числа, как, скажем, ы", ы~ и т. д. 6. Сравнение порядковых чисел. Если п1 и пх — два конечных порядковых числа, то онн или совпадают, или одно из них больше другого.
Распространим зто отношение порядка на трансфинитные порядковые числа. Введем для этого следующие понятия. Всякий элемент а линейно упорядоченного множества М определяет начальный отрезок Р (совокупность элементов <а) и остаток (г' (совокупность элементов а). Пусть а и 6 — два порядковых числа, а М и А( — множества, типа а и 6 соответственно.
Мы скажем, что а = (), если множества М и Аг изоморфны, что а < 6, если М изоморфно какому- либо начальному отрезку множества й(, и что а ) )), если, обратно, А( изоморфно начальному отрезку множества М. Теор ем а 1, Любые два порядковых числа а и и связаны между собой одним и только одним из соотношений: а = 6, а < )3 или сс > 6. Для доказательства установим прежде всего следующую лемму. Л е м м а 3.
Если (' — изоморфное отображение вполне упорядоченного множества А на какое-либо его подмножество В, то )(а)) а для всех а е.:-А. Действительно, если бы имелись такие элементы а ~ А, что )(а)к. а, то среди них был бы первый (полная упорядочен- УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА. ТРАНСФИНИТНЫЕ ЧИСЛА зт ность!). Пусть это — элемент ао и пусть Ьо — — )(ао). Тогда Ьо < ао и, поскольку ) — изоморфизм, )(Ьо) < )(ао) = Ьь т.
е. ао не был бы первым среди элементов с указанным свойством. Из этой леммы сразу же вытекает, что вполне упорядоченное множество ие может быть изоморфно своему отрезку. Если бы А было изоморфно отрезку, определяемому элементом а, то выполнялось бы соотношение )(а) < а. Поэтому соотношения а = () и а - й не могут иметь места одновременно. Аналогично не может быть одновременно а = р и а ) р. Точно гак же несовместны соотношения а < р и а ) б, так как иначе мы получили бы (транзитивность!), что а < сс, а это, как мы видели, невозможно. Итак, мы показали, что наличие одного из соотношений афй исключает два остальных. Покажем теперь, что одно из этих соотношений всегда имеет место, т.
е. что любые два порядковых числа сравнимы, Сначала для каждого порядкового числа а построим множество )(7(а), служащее его «стандартным представителем». Именно, примем за )(г(а) множество всех порядковых чисел, меньших а. Числа, входящие в И'(а), все сравнимы между собой, а само множество ))т(а) (упорядоченное по величине порядковых чисел) имеет тип а.
Действительно, если множество А = (..., а, ..., Ь, ...) имеет тип а, то, по самому определению, порядковые числа, меньшие, чем а, взаимно однозначно отвечают начальным отрезкам множества А, а следовательно, и элементам этого множества. Иначе говоря, элементы мнбжества, имеющего тип а, можно перенумеровать с помощью порядковых чисел, меньших а: А=(ао, ан ..., аА, ...). Пусть теперь а и б — два порядковых числа; тогда А = = ))т(а) и В = )(7(()) — множества типов а и р соответственно. Пусть, далее, С = А П В вЂ” пересечение множеств А и В, т.
е. совокупность порядковых чисел, меньших а и р одновременно. Множество С вполне упорядочено; обозначим его тип у. Покажем, что у < сс. Действительно, если С= А, то у = а, если же С Ф А, то С есть отрезок множества А и тогда у<а. В самом деле, при всех $ее С, о) ~ А", С числа 5 и т) сравнимы, т. е. 5 ~~ и. Но соотношение т) < К < а невозможно, так как тогда и я- С. Итак, $ < ть откуда и видно, что С есть отрезок множества А и у < а.
Кроме того, у есть первый элемент множества А ', С. Итак, у< сс и аналогично у < й. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ [гл ~ При этом случай у < а, у < )) невозможен, так как тогда мы имели бы уя А ', С, у ~ В', С, т. е., с одной стороны, уФ С, с другой стороны, у ее А Й В = С. Следовательно, возможиы лишь случаи у=а, у=б, а=б, у=а у<р а<р у<а, у=б, а)й, т.
е. а и р сравнимы. Теорема полностью доказана. Каждому порядковому числу отвечает определенная мощность, а из сравиимости порядковых чисел следует, очевидно, и гравпимость соответствующих мощностей. Поэтому: Если А и  — два вполне упорядоченных множества, то либо они вквивалгнтньч между собой (равномощны), либо же мощность одного из них больше, чем мощность другого (7. е.
вполне упорядоченные множества ие могут иметь несравнимых мощностей). Рассмотрим совокупность всех порядковых чисел, отвечающих к о и е ч и о й и л и с ч е т н о й мощности. Оии образуют вполие упорядоченное множество. Нетрудно убедиться в том, что само это множество уже иесч ети о. Действительно, обозиачим, в соответствии с общеприиятой символикой, через ы1 порядковый тип множества всех счетных траисфинитов. Если бы отве,ающая ему мощность была счетной, то счетным было бы и мио;кество, имеющее порядковый тип ы1+ Е Вместе с тем число ы, следует, очевидно, за всеми трансфииитами, отвечающими коиечиой или счетной мощности.
Обозначим мощность, отвечающую порядковому траисфнииту ыь символом агь Легко видеть, что никаких мощностей и, удовлетворяющих неравенству И <т< гчн иет. Действительно, если бы такая мощность т существовала, то в множестве %'(ач) всех порядковых траисфииитов, предшествующих ыь имелось бы подмножество мощиости тп. Это подмножество вполне упорядочено и несчетно. Но тогда его порядковый тип а предшествовал бы еч и в то же время следовал за всеми счетными траисфииитами.
Мы получили бы противоре- ШЕ С ОПРЕДЕЛЕНИЕМ ЬЭР 7. Аксиома выбора, теорема Цермело и другие эквивалентиые им утверждения. Сравиимость вполне упорядоченных миожеств по мощности подсказывает следующую постановку вопроса: нельзя ли всякое множество вполне упорядочить каким- либо Образому Положительный ответ означал бы, в частности, кпорндоченныв множествл, трхнсвинитные числя 39 что несравнимых мощностей вообше не существует. Такой ответ дал Цермело, доказав, что каждое множество может быть вполне упорядочено. Доказательство этой теоремы (мы не будем воспроизводить его здесь, см., например, [2)) существенно опирается на так называемую аксиому выбора, состояшую в следую шеи.
Пусть А — некоторое множество индексов а и пусть для каждого и задано некоторое произвольное множество М . Тогда как утверждает аксиома выбора, можно построить функцию гр на А, относящую каждому ае=А некоторый элемент т из соответствующего множества М . Иными словами, можно составить некоторое множество, выбрав из каждого М по одному и только одному элементу. Теория множеств в той форме, в которой мы ее излагаем, восходит к Кантору и Цермело и является «наивной» теорией множеств.
Аксиома выбора, называемая также аксиомой Цермело, возникшая н рамках наивной теории множеств вместе с другими вопросами, такими, как к о н т и н у у иг и п от ез а, т. е. вопрос о совпадении мощности нонтинуума с первой несчетной мощностью и,, привела к многочисленным спорам и к длинной серии работ по математической логике и основаниям математики. Были построены аксноматические теории множеств Геделя — Бернайса и Цермело — Френкеля. В рамках зтнх теорий была установлена непротиворечивость и независимость аксиомы выбора. Мы отсылаем читателя к сяецнальным работам: А. Ф р е н к ел ь и И. Б а р - Х н л пел, Основания теории множеств, «Мир», !966; П.
Дж. Коз н, Теория множеств и континуум-гипотеза, «Мнр», 1969, Заметим, что отказ от аксиомы выбора существенно обедняет теоретико-множественные построения. Вместе с тем критика наивной теории множеств и попытки обойтись без аксиомы выбора повели к созданию таких замечательных теорий, как теории рекурсивных функций, и таких понятий, квк понятие вычислимого числа. Сформулируем некоторые предложения, каждое из которых эквивалентно аксиоме выбора (т. е. каждое нз них может быть доказано, если принять аксиому выбора, и обратно, аксиому выбора можно доказать, допустив справедливость какого-либо из этих предложений). Прежде всего ясно, что таким предложением является сама теорема Цермело.
Действительно, если предположить, что каждое из множеств М вполне упорядочено, то для построения функции р, сушествование которой утверждается аксиомой выбора, достаточно в каждом М„взять первый элемент. Для формулировки других предложений, эквивалентны т аксиоме выбора, введем следуюшие понятия. Пусть М вЂ” частично упорядоченное множество. Всякое его подмножество А, в котором любые два элемента сравнимы между собой (в смысле введенной в М частичной упорядоченности), будем называть цепью.
Цепь называется максимальной, если она не содержится в качестве собственного подмножества ни в какой другой цепи, принадлежашей М. Далее, назовем в частично упорядоченном ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ 1гл. Г множестве М элемент а верхней гранью подмножества М' ~ М, если любой элемент а' ее М' подчинен а. Т е о р е м а Х а у с д о р ф а. В частично упорядоченном мноясестве всякая цепь содерлсится в некоторой его максимальной цепи.
Следующее предложение представляет собой, пожалуй, наиболее удобную из всех формулировок, эквивалентных аксиоме выбора. Л е м м а 1(о р н а. Если всякая цепь в частично упорядоченном множестве М имеет верхнюю грань, то всякий элемент из М подчинен некоторому максимальному. Доказательство равносильности всех приведенных утверждений (аксиома выбора, теорема 1[ермело, теорема Хаусдорфа, лемма Цорна) имеется, например, в книге А. Г. Кур ош, Лекции по общей алгебре, Фнзматгиз, 1962; см. также (8]. Мы не будем его здесь воспроизводить. Если множество верхних граней нодмгржества А имеет наименьший элемент а, то а называют точной верхней гранью подмножества А; аналогично определяется точная нижняя грань.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
