Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Частично упорядоченное множество, всякое непустое конечное подмножество которого обладает точной верхней гранью и точной нижней гранью, называется решеткой, или структурой 8. Трансфииитная индукция. Широко распространенный метод доказательства тех нли иных утверждений — это метод математической индукции.
Он, как известно, состоит в следующем. Пусть имеется некоторое утверждение Р(п), которое формулируется для каждого натурального числа и, и пусть известно, что: 1) утверждение Р(1) верно; 2) из того, что Р(й) верно для всех й( и, следует, что Р(п+ 1) верно. Тогда утверждение Р(п) верно для всех и = 1, 2, ... Действительно, в противном случае среди тех и, для которых Р(п) неверно, нашлось бы наименьшее число, скажем, пь Очевидно, что п1 ) 1, т.
е. и, — ! тоже натуральное число, и мы приходим к противоречию с условием 2). Аналогичный прием может быть использован с заменой натурального ряда любым вполне упорядоченным множеством. В этом случае он носит название трансфинитной индукции. Таким образом„метод трансфинитной индукции состоит в следующем. Пусть дано некоторое вполне упорядоченное множество А (если угодно, его можно считать множеством всех порядковых трансфинитов, меньших некоторого данного) и пусть Р(а) — некоторое утверждение, формулируемое для каждого а ~ А и такое, что Р(а) верно для первого элемента из А и верно для а, если оно верно для всех элементов, предшествующих а. Тогда Р(п) верно для всех а ~ А.
Действительно, если бы существовали элементы в А, для которых Р(а) не имеет систгмы множеств 41 места, то в множестве таких элементов нашелся бы первый, скажем, а', и мы пришли бы к противоречию, поскольку для всех а С а" утверждение Р(а) было бы верно. Так как в силу теоремы Цермело всякое множество можно вполне упорядочить, трансфинитная индукция может быть, в принципе, применена к любому множеству. Однако практически бывает удобнее пользоваться заменяющей ее леммой Цорна, которая опирается лишь на наличие частично упорядоченности в рассматриваемом множестве. А некоторая частичная упорядоченность рассматриваемых объектов в задачах, требующих применения леммы Цорна, обычно возникает естественным образом, «сама собойж $ 5.
Системы множеств ') 1. Кольцо множеств. Системой множеств называется всякое множество, элементы которого сами представляют собой какие- либо множества. Если не оговорено противное, мы будем рассматривать системы таких множеств, каждое из которых яв.ляется подмножеством некоторого фиксированного множества Х. Системы множеств мы будем обозначать прописными готическими буквами.
Основной интерес для нас будут представлять системы множеств, удовлетворяющие (по отношению к введенным в $1 операциям) некоторым определенным условиям замкнутости. О п р е д е л е н и е 1. Непустая система множеств Я называется кольцом, если она обладает тем свойством, что из А е=- Я и Ве=Я следуетАЬВе-=Я и А () ВецЯ. Так как для любых А и В А() В =(АЛВ) Л(АД В) и А 'ч В =АЛ(АД В), чо из А ен Я и В ев Я вытекает также принадлежность к Я множеств А () В и А" В. Таким образом, кольцо множеств есть си<тема множеств, замкнутая по отношению к взятию суммы и пересечения, вычитанию и образованию симметрической разности.
Очевидно, что кольцо замкнуто и по отношению к образованию любых конечных сумм и пересечений вида ь и С= О А„, Р = П А„. Любое кольцо содержит пустое множество 8, так как всегда А", А = Ы. Система, состоящая только из пустого множества, представляет собой наименьшее возможное кольцо множеств. ') Рассматриваемые в этом параграфе понятия понадобятся иам в гл. Н при изложении обшей теории меры.
Поэтому чтение данного параграфа может быть отложено, Читатель, решивший ограничиться при изучении теории меры мерой на плосностн ($1 гл. Н), может этот параграф пропустить совсем. йгл. ! ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ 42 Множество Е называется единицей системы множеств Я, если оно принадлежит Я и если для любого А нее имеет место равенство А()Е=А. Таким образом, единица системы множеств б есть не что иное, как максимальное множество этой системы, содержащее все другие входящие в Я множества. Кольцо множеств с единицей называется алгеброй множеств. П р и м е р ы.
1, Для любого множества А система йй(А) всех его подмножеств представляет собой алгебру множеств с единицей Е = А. 2. Для любого непустого множества А система (З', А», состоящая из множества А и пустого множества О, образует алгебру множеств с единицей Е = А. 3. Система всех конечных подмножеств произвольного множества А представляет собой кольцо множеств. Это кольцо будет алгеброй в том и только том случае, когда множество А само конечно..
4. Система всех ограниченных подмножеств числовой прямой является кольцом множеств, не содержащим единицы. Из определения кольца множеств непосредственно вытекает Теор ем а (. Пересечение Я= »» Я, любого множества коь лец есть кольцо. Установим следующий простой, но важный для дальнейшего факт. Т е о р е м а 2. Для любой непустой системы множеств Я существует одно и только одно кольцо Я(Я), содержащее Я и содержащееся в любом кольце Я, содержаи(ем Я. До каза те л ьс т в о. Легко видеть, что кольцо Я(Я) определяется системой Я однозначно. Для доказательства его существования рассмотрим объединение Х = () А всех мноАае жеста А, входящих в гО, и кольцо 9й(Х) всех подмножеств множества Х. Пусть 2 — совокупность всех колец множеств, содержащихся в 9й(Х) и содержащих ез.
Пересечение зь*= Д Я всех аых этих колец и будет, очевидно, искомым кольцом Я(Ж), Действительно, каково бы ни было кольцо Я*, содержащее Я, пересечение Я = Я*П Ай(Х) будет кольцом из Х и, следовательно, ЯсЯс Я', т. е. 7 действительно удовлетворяет требованию минимальности. Это кольцо называется минимальным кольцом над Ж или кольцом, порожденным Ж, и обозначается Я(Ь). 2. Полукольцо множеств. В ряде вопросов, например, в теории меры наряду с понятием кольца важную роль играет более общее понятие полукольца множеств.
СИСТЕМЫ МНОЖЕСТВ 43 Определение 2. Система множеств ю называется полукольцом, если она содержит пустое множество О„замкнута по отношению к образованию пересечений и обладает тем свойством, что из принадлежности к ю множеств А и А, с: А вытее кает возможность представления А в виде А = [ ) Аы где Аь— ь ! попарно непересекающиеся множества из ю, первое из которых есть заданное множество Аь В дальнейшем всякий набор попарно непересекающихся множеств'Аь Аз, ..., А, объединение которых есть заданное множество А, мы будем называть конечным разложением множества А.
Всякое кольцо множеств Я является полукольцом, так как если А и А1с: А входят в Я, то имеет место разложение А=А,[) А,, где Аз=А '~ А, ев Я. Примером полукольца, не являющегося кольцом множеств, может служить совокупность всех интервалов (а, Ь), отрезкоч [а, Ь) и полуинтервалов [а, Ь) и (а, Ь[ на числовой прямой '). Еще одним примером служит совокупность всех «полуоткрытых» прямоугольников а (х ~ Ь, с (у с[ на плоскости или совокуп. ность всех полуоткрытых параллелепипедов в пространстве.
Установим следующие свойства полуколец множеств. Лв м м а 1. Пусть множества Аь Аз, ..., А„, А принадлежат полукольцу Ж, причем множества А; попарно не пересекаются и все содержатся в А. Тогда набор множеств А; (1= 1, 2, ..., и) можно дополнить множествами А чь ..., А,ев Ь до конечного разложения А= [) Ал(з~)п) множества А. Доказательство проведем по индукции. При и = 1 справедливость утверждения леммы вытекает из определения полукольца. Предположим, что зто утверждение справедливо для и = гп и рассмотрим пт+ ! множеств Аь ..., А, А„+ь удовлетворяющих условиям леммы.
По сделанному иредположению, А=А, [) Аз[) ... ЦА [)В, [) В»Ц ... [) Вр, где все множества В» (у = 1,2, ..., р) принадлежат Ю. Положим Вд, = А +, Й В». По определению полукольца, имеется раз. ложение В» — — В 1 [) Вдз [) ... [) В„, где все В; принадлежат Ю. ') При этом в число интервалов включается, конечно, «пустой» интервал (п,о), з в число отрезков — отрезок, состоящий из одной точки [а,а[. влвмвиты теоьин множеств 1гл. ь Легко видеть, что е 'ч А=АО ОА ОА ° О ы(0В ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
