Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Множество функций в С[а, Ь], удовлетворяющих условию [[(г) ]( К (открытый шар), не замкнуто; его замыкание есть совокупность функций, удовлетворяющих условию [/(1) ] ( /(. 4 2! СХОДНМОСТЬ. ОТКРЫТЫЕ И ЗАМКНУТЫЕ МНОЖЕСТВА 61 4, Каково бы ни было метрическое пространство В, пустое множество 8 и все Л замкнуты. 5, Всякое множество, состоящее из конечного числа точек, замкнуто. Основные свойства замкнутых множеств можно сформулиро- вать в виде следующей теоремы. Те о р ем а 3. Пересечение любого числа и сумма любого ко- нечного числа замкнутых множеств суть замкнутые множества.
Д о к а з а т ел ь с т в о. Пусть Р = П Р„вЂ” пересечение замкну- тых множеств Г„и пусть х — предельная точка для Г. Это озна- чает, что любая ее окрестность 0,(х) содержит бесконечно мно- го точек из Р. Ио тогда тем более 0,(х) содержит бесконечно много точек из каждого Р и, следовательно, так как все Р„ замкнуты, точка х принадлежит каждому Р; таким образом, х~ Р = () Р„, т. е.
Р замкнуто, Пусть теперь Р— сумма конечного числа замкнутых мнол жеств; Р= () Рь и пусть точка х не принадлежит Р. Покажем, 1=1 что х не может быть предельной для Р, Действительно, х не принадлежит нн одному из замкнутых множеств Рь следова- тельно, не является предельной пи для одного из них. Поэтому для каждого ! можно найти такую окрестность 0,,(х) точки х, которая содержит не более чем конечное число точек из Рь Взяв из окрестностей 0,,(х), ..., О, (х) наименьшую, мы по- лучим окрестность 0,(х) точки х, содержащую не более чем конечное число точек из Р. Итак, если точка х не принадлежит Р, то она не может быть предельной для Р, т.
е. Р замкнуто. Теорема доказана. Точка х называется внутренней точкой множества М, если существует окрестность 0,(х) этой точки, целиком содержа- щаяся в М. Множество, все точки которого внутренние, называется от- крытым. П р и м е р ы. 6 Интервал (а, Ь) числовой прямой 2(! есть от- крытое множество; действительно, если а ( а ( Ь, то 0,(а), где е = ш!п(а — а, Ь вЂ” а), целиком содержится в интервале (а, Ь). 7.
Открытый шар В(а, т) в любом метрическом простран- стве В есть открытое множество. Действительно, если х ее ~ В(а, т), то р(а, х) ( т. Положим е = г — р(а, х). Тогда В(х, е) ~ В(а, г). 8. Множество непрерывных функций на (а, Ь), удовлетворяю- щих условию )(2) (д(2), где д(2) — некоторая фиксированная непрерывная функция, представляет собой открытое подмножество пространства С[а, Ь]. б2 МЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА ~ГЛ, и Теорем а 4. Для того чтобы множество М было Открыто необходимо и достаточно, чтобы его дополнение Й", М до всего пространства В было замкнуто. До к аз а тел ь ство.
Если М открыто, то каждая точка лиз М имеет окрестность, целиком принадлежащую М, т. е. не имеющую ни одной обшей точки с Я', М. Таким образом, ни одна из точек, не принадлежащих )т ", М, не может быть точкой прикосновения для )т ",М, т. е. В', М замкнуто. Обратно, еслн Я ", М замкнуто, то любая точка из М имеет окрестность, целиком лежащую в М, т. е, М открыто.
Так как пустое множество и все )т' замкнуты и в то же время служат дополнениями друг друга, то пустое множество и все гт открыты Из теоремы 3 и из принципа двойственности (пересечение дополнений равно дополнению суммы, сумма дополнений равна дополнению пересечения, см. стр.
15) вытекает следующая важная теорема, двойственная теореме 3. Теорем а 3'. Сумма любого (конечного или бесконечного) числа и пересечение любого конечного числа Открьатых множеств суть открьатые лтножества Множества, принадлежащие о-алгебре, порожденной всеми открытыми н замкнутыми подмножествами пространства Л, называются борелевскими множествами. 5. Открытые н замкнутые множества на прямой. Структура открытых и замкнутых множеств в том или ином метрическом пространстве может быть в е с ь м а с л о ж н о й. Это относится к открытым н замкнутым множествам даже евклидова пространства двух или большего числа измерений. Однако в одномерном случае, т. е.
на прямой, исчерпывающее описание всех открытых множеств (а следовательно, н всех замкнутых) не представляет труда. Оно дается следующей теоремой. Теорем а 5. Всякое открытое множество на числовой прямой представляет собой сумму конечного или счетного числа попарно непересекающихся интервалов '), Д о к а з а т е л ь с т в о.
Пусть 6 — открытое множество на прямой. Введем для точек из 6 отношение эквивалентности, считая, что х — у, если существует такой интервал (а,5), что х, у я(а, 5) с 6. Очевидно, это отношение рефлексивно н симметрично, оно н транзитивно, так как если х — у и у г, то существуют такие интервалы (а, 5) и (у, 5), что х, усе(а,())с6 и у, ген(у,б)с6. Но тогда у < р и интервал (а, 5) лежит целиком в 6 и содержит точки х и г. Следовательно, 6 распадается на непересекаю') Множества вила ( — со, сс), (а, ое) и ( — ое, р) мы ири этом также включаем в число интервалов, и Я сходимость.
откеытые и зимкнитые множествх ез Рис. в г= () г„. Р— замкнутое множество (как пересечение замкнутых). Оно получается из отрезка (О, Ц выбрасыванием счетного числа интервалов. Рассмотрим структуру множества Р. Ему принадлежат, очевидно, точки О, 1, /зг /3, /9 /м /9~ /м (1) щиеся классы 1, эквивалентных между собой точек: а = и 1,. Локажем, что каждое 1, есть интервал (а, Ь), где а=!п(1„ Ь = апр 1,. Включение 1, с: (а, Ь) очевидно, С другой стороны, если х, у ее 1„то по самому определению 1, интервал (х, у) со- держится в 1,. В любой близости от и справа и в любой близо- сти от Ь слева есть точки из 1,. Поэтому 1, содержит любой интервал (а', Ь'), концы которого принадлежат (а, Ь), откуда 1, =(а, Ь).
Система таких непересекающихся интервалов 1, не более чем счетна; действительно, выбрав в каждом из этих ин- тервалов произвольным образом, рациональную точку, мы уста- новим взаимно однозначное соответствие между этими интерва- лами и некоторым подмножеством множества рациональных чи- сел. Теорема доказана. Так как замкнутые множества — это дополнения открытых, то отсюда следует, что всякое замкнутое множество на прямой получается выбрасыванием из прямой конечного или счетного числа интервалов.
Простейшие примеры замкнутых множеств — отрезки, отдель- ные точки и суммы конечного числа таких множеств. Рассмот- рим более сложный пример замкнутого множества на прямой— так называемое канторово мнозсество. 'Р; Пусть ги — отрезок [О, Ц. Выбросим из него интервал ('/з, з/з), а оставшееся замкнутое множество обозначим Рь Затем выброс сим нэ р, интервалы ('/,, '/и) и ре Ф~ Ь В ° ('/м '/э), а оставшееся замкнутое --1/ множество (состоящее из четырех отрезков) обозначим Ьв В каждом нз этих четырех отрезков выбросим средний интервал длины ('/з)' и т. д, (рис.
8). Продолжая этот процесс, получим убывающую последовательность замкну- тых множеств Г„. Положим 64 метрические и топологичвскив пространства !гл и — концы выбрасываемых интервалов. Однако множество /г не исчерпывается этими точками. Действительно, те точки отрезка [О, 1], которые входят в множество Р, можно охарактеризовать следующим образом.
Запишем каждое из чисел к, О «= х ( 1 в троичной системе: где числа ан могут принимать значения О, 1 и 2. Как и в случае десятичных дробей, некоторые числа допускают двоякую запись. Например, ! ! о о О 2 2 2 3 3 3' ' ' 3" ' ' ' 3 Зг 3' ' ' ' 3" — = — + — + . + — + = — + — + — + + — + Легко проверить, что множеству Р принадлежат те и только те числа х, О( х ( 1, которые могут быть записаны хотя бы одним способом, в виде троичной дроби так, чтобы в последовательности аь ат, ..., ан, ... нн разу не встретилась единица. Таким образом, каждой точке х~ /г можно поставить в соответствие последовательность (2) аь аь ..., а„ ..., где ан равно О или 2.
Совокупность таких последовательностей образует множество мощности континуума. В этом можно убедиться, поставив в соответствие каждой последовательности (2) последовательность Ь„Ь„..„Ьа, "., (2') где Ь = О, если а = О, и Ь„= 1, если ан = 2. Последовательность (2') можно рассматривать как запись некоторого действительного числа у, О ( у ( 1, в виде двоичной дроби. Таким образом, мы получаем отображение множества г на весь отрезок [О,![.
Отсюда вытекает, что г имеет мощность континуума '). Так как множество точек (1) счетно, то эти точки не могут исчерпывать все Е', У п р а ж н е н и я. !. Доказать непосредственно, что точка ]/4 принадлежит множеству Р, не являясь концом ни одного из выбрасываемых интервалов. Указание.
точка !/4 делит отрезок !О, !] в отношении г: 3. Отрезок !О, !/3], остающийся после первого выбрасывания, она делит также в отношении $: 3 н т. д. Точки !!) называются точками первого рода множества Р, остальные его точки называются точнами второго рода. ') Установленное соответствие между Р и отрезком !О, Ц однозначно, но не взаимно однозначно !нз-за того, что один и то жс число иногда может изображаться различными дробями). Отсюда следует, что р имеет мощность не меньше, чем мощность континуума. Но р — часть отрезка !О, !], следака.
тельно, его мощность не может быть больше, чем мощность континуума, вя сходнмость. открытые н замкнутые множества Еб 2, Доказать, что тачки первого рода образуют в Р всюду плотное мно. жест во, 3 Показатгь что числа вида 1, + 1ь где 1ь 1з сиР, заполняют весь отре- зок [О, 21 Мы показали, что множество с имеет мошность континуума, т. е. содержит столько же точек, сколько н весь отрезок [О, [[. С этим фактом интересно сопоставить следугоший результат: 1 2 4 сумма длин — + — + — + ... всех выброшенных интерва- лов составляет в точности единицу! До полн и тельные э а меча пня.
(1) Пусть М вЂ” некоторое множество в метрическом пространстве Я и х — точка этого же пространства. Расстоянием ог гочки к да множества М называется число р (х, М) зп( р (х, а). аюы Если х ш М, то р(х, М) О, однако нз того, что р(х, М) = О, не следует, что к си М.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
