Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Этот класс непуст, поскольку он содержит стационарную последовательность, все члены которой равны х. При этом, если х= Вт хл и у= 1ип ул, то и+о р (х, у) = 1ип р (хл, ул). л~ Следовательно, соотнеся каждой точке х ~ 1»» класс х' сходящихся к ней фундаментальных последовательностей, мы изометрически отобразим 1» в пространство»»»'. В дальнейшем мы МЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА (ГЛ.
и 74 можем не различать само пространство )т и его образ в Я* н рассматривать )с как подпространство в тт*. Покажем теперь, что )т всюду плотно в 11*. Действительно, пусть х* — некоторая точка из т(' и в ) 0 произвольно. Выберем в х* представителя, т. е. некоторую фундаментальную последовательность (х„). Пусть й( таково, что р(х„, х )( е для всех п, т й(. Тогда имеем р(х„, х')= !Пп р(х„, х ) (е при и ) й(, т. е. произвольная окрестность точки х* содержит некоторую точку из )т. Таким образом, замыкание )1 в (т" есть все Я*.
Остается доказать полноту )т'*. Заметим, прежде всего, что по построению )т' любая фундаментальная последовательность хь хь ..., х„... точек из Я сходится в 1(' к некоторой точке, а именно, к точке х' ~ )т', определяемой самой этой последовательностью. Далее, так как )т плотно в )т*, то для любой фундаментальной последовательности х'„ х', ..., х',, ...
точек из )т' можно построить эквивалентную ей последовательность хь хм... ..., х„,... точек нз )т, Для этого достаточно в качестве х„взять любую точку нз Й, такую, что р(х„, х'„) ( 1/п. Построенная последовательноств (х ) фундаментальна в 1т' н, по определению, сходится к некоторой точке х* ее )т*. Но тогда к х* сходится и последовательность (х',). $4. Принцип сжимающих отображений и его применения 1. Принцип сжимающих отображений. Ряд вопросов, связанных с существованием и единственностью решений уравнений того или иного типа (например, дифференциальных уравнений), можно сформулировать в виде вопроса о сушествованни и единственности неподвижной точки при некотором отображении соответствующего метрического пространства в себя.
Среди различных критериев существования н единственности неподвижной точки при такого рода отображениях один нз простейших и в то же время наиболее важных — так называемый принцип сжимающих отображений. Пусть )т — метрическое пространство. Отображение А пространства Рт в себя называется сжимающим отображением, илн короче, сжатием, если существует такое число а 1, что для любых двух точек х, у еп )т выполняется неравенство р(Ах, Ау)~(ар(х, у). (1) Всякое сжимающее отображение непрерывно. Действительно, если х„-ьх, то и силу (1) и Ах„-РАх. ПРИНЦИП СЖИМАЮШИХ ОТОБРАЖЕНИИ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ 75 Точка х называется неподвижной точкой отображения А, если Ах = х.
Иначе говоря, неподвижные точки — это решения уравнения Ах = х. Теорема 1 (Принцип сжимающих отображен и й). Всякое сжимающее отображение, определенное в полном метрическом пространстве тс, имеет одну и только одну неподвижную точку. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть хо — произвольная точка в Л. Положим х~ = Ахо, хя = Ах, = Аах, и т.
д.; всюбще, х„= = Ах„, = А"хо. Покажем, что последовательность (хч) фундаментальная. Действительно, считая для определенности пт ) и, имеем р(х„,х )=р(А"хо, А хо)~(а"р(хо х „)~ ~~а" (р(хо, х,)+ !з(хм ха)+ ... + р(хм „и хм-а)) ~( ! ~(а"Р(хо, х,)(1+а+ад+ ... +а " ')~~авР(хо, х,) —. Так как сс < 1, то при достаточно большом и эта величина сколь угодно мала. В силу полноты )( последовательность (хо), будучи фундаментальной, имеет предел. Положим х=!Ип х„. а+» Тогда в силу непрерывности отображения А Ах = А !1п~ х„=!Нп Ах„=!!т х„+, — — х. а ь а~ «ь Итак, существование неподвижной точки доказано. Докажем ее един с т в е н ность. Если Ах=х, Ау=у, то неравенство (!) принимает вид р(х, у)~ар(х, у); так как а ( 1, отсюда следует, что р(х, у)=0, т.
е. х=у. Уира ж не н не. Показать на примере, что отображение А, удовлетворяющее условию р!Ак, Ау) ( р(х, у) для всех к ~ у, может ие иметь ни одной неподвижной точки. 2. Простейшие применения принципа сжимающих отображений. Принцип сжимающих отображений можно применять к доказательству теорем существования и единственности решений для уравнений различных типов. Помимо доказательства существования и единственности решения уравнения л!х = х, принцип 76 МЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ, П сжимающих отображений дает и фактический метод приближенного нахождения этого решения (м е т о д п о с л е д о в а т е л ьн ы х п р ибл и же ни й). Рассмотрим следующие простые примеры.
1. Пусть ! — функция, которая определена на сегменте (а, Ь], удовлетворяет условию Липшица ] ! (ха) — ! (х,) ] < К ] хи — х, ], с константой К < 1 и отображает сегмент ]а, Ь] в себя. Тогда 1 есть сжимающее отображение и, согласно доказанной теореме, последовательность ха, х1 = !(хс), хс = !(х1), ... сходится к единственному корню уравнения х = !(х), В частности, условие сжимаемости выполнено, если функция имеет на сегменте [а, Ь] производную ~'(х), причем ]!'(х) ] = <К<1. На рис. 9 и !О изображен ход последовательных приближений в случае О < ]'(х) < 1 и в случае — 1 < 1'(х) < О.
Рис. 9. Рис. 10, Пусть теперь мы имеем дело с уравнением вида Р(х) = О, причем г"(а) < О, г(Ь) ) О и О < К1 < Р'(х) < Ка на (а, Ь]. Введем функцию )'(х) = х — Лг" (х) н будем искать решение уравнения х = !(х), равносильного уравнению Р(х) = О при Л чь О. Так как ~'(х) = 1 — ЛР'(х), то 1 — ЛКА < г'(х) < 1 — ЛК и нетрудно подобрать число Л так, чтобы можно было действовать методом последовательных приближений.
Это — распространенный метод отыскания корня. 2. Рассмотрим отображение А и-мерного пространства в себя, задаваемое системой линейных уравнений и у~ — — ~ апх!+ Ь, (! =1, 2, ..., и). / 1 вг) ПРИНИИП СЖИМАЮШИХ ОТОБРАЖЕНИЯ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ 77 Если А есть сжатие, то мы можем применить метод последовательных приближений к решению уравнения х = Ах.
При каких же условиях отображение А будет сжатием7 Ответ на этот вопрос зависит от выбора метрики в пространстве. Рассмотрим три варианта. а) Пространство 1х", т. е. р(х, у) = шах ) х, — уг); г~г~л Р(У', УР) =!пах ) У! — У!') =!пах ! ~,, ац(х! — х!.')~ < ! 1 л шах~~а, ~~х' — х" ~«'!пах~',~а, )шахах' — хи~= =(шах~ ! ац!) р(х', х"). ! .Отсюда условие сжимаемости л ~ ац 1<а <1, ! ! 1=1,..., и, б) Пространство 11!', т. е. р(х, у)= 2 ) х, — у! ~; ! ! р (у', у") = Я ~ у! — у," ~ = ~' ~ ~ ац (х' — х") ) < < ~, ~ ~ а, ) ~ х' — х" ) < (Гп ах ~ ~ а, )) р (х', хл).
Отсюда условие сжимаемости ~ ~ац)<а<1, 1=1, ..., а. (3) ! (4) ') В частности, из любого из условий (2) — (4) вытенает, что ан — 1 агг ... огл лг! агг 1 ... лгл ФО лл! олг олл — 1 в) Пространство 11", т. е. р(х, у)= ~ (х,— у!)з. На осног=! ванин неравенства Коши — Буняковского имеем рз(у', у")=~ (~а. (х' — х")) ~<~~ ~аз)рз(х', х"). Отсюда условие сжимаемости ~а' ~(а < 1.
! Таким образом, если выполнено хотя бы одно из условий ') (2) — (4), то существует одна и только одна точка (хь хз,..., х„) тв МЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА (ГЛ. П такая, что х,= ~ анх>+Ь„причем последовательные прибли/ ! жения к этому решению имеют вид х(о> гх(о> х(о> х(а>т ! ' г' '''' л)1 х('> =(х((>, х('> ..., х(„'>), г х(А> = (х(А>, х(А>, ..., х(А>), >, ! ' г где х('>= ~., а х(А-'>+ Ь,, и т а в качестве х'о> =(х(>о>, ..., х(о') можно взять любую точку из 1(л. Каждое из условий (2) — (4) достаточно для того, чтобы отображение д = Ах было сжатием.
Относительно условий (2) и (3) можно было бы доказать, что они и н е о б х о д и м ы для того, чтобы отображение у = Ах было сжатием (в смысле метрик а) или б) соответственно). Ни одно из условий (2) †(4) не необходимо для применимости метода последовательных приближений. Если >а(!) (1/п, то все три условия (2) — (4) выполнены и метод последовательных приближений заведомо применим. Если (а(>! ) 1>л, то ни одно из условий (2) — (4) не выполнено.
3. Теоремы существования и единственности для дифференциальных уравнений. В предыдущем пункте были даны два простейших примера применения принципа сжимающих отображений в одномерном и в л-мерном пространствах. Однако наиболее существенны для анализа применения этого принципа в бесконечномерных функциональных пространствах. Сейчас мы покажем, как с его помощью можно получить теоремы существования и единственности решения для некоторых типов дифференциальных и интегральных уравнений.
1. 3 а д а ч а К о ш и. Пусть дано дифференциальное уравнение — =)(х, д) с начальным условием У(хо) = Уо (6) причем функция ) определена и непрерывна в некоторой плоской области О, содержащей точку (хо, до), и удовлетворяет в этой области условию Липшица по д: >1(х, У!) — ~ (х, дг) (к=(И( У! — Уг 1. л 41 ПяницИП СЗКИМЛЮШИХ ОтОВГЛжаиня И аГО ПяИМВНЕНИя тв Докажем, что тогда на некотором сегменте )х — хо) < д существует, и притом только одно, решение у = ф(х) уравнения (5), удовлетворяюшее начальному условию (6) (теорема Пикара), Уравнение (5) вместе с начальным условием (6) эквивалентно интегральному уравнению ф(х) =у,+ ~ 1(г, ф(г))с(г. (7) ж В силу непрерывности функции 1 имеем ~~(х, у) ) < К в некоторой области 6' ~ 6, содержашей точку (хм уа).
Подберем г( > 0 так, чтобы выполнялись условия: 1) (х,у)~ 6', если )х — х,) < г(, !у — д,(«= Кс(; 2) Мд<1. Обозначим через С* пространство непрерывных функций ф, определенных на сегменте )х — хз) <г( и таких, что (ф(х)— — ул( = Ка, с метрикой р(фп ф,) = шах ~ ф,(х) — фз(х) ). к Пространство С' полно, так как оно является замкнутым подпространством полного пространства всех непрерывных функций на [х, — Н, х, + 4. Рассмотрим отображение ф = Аф, определяемое формулой ф(х)=на+ ~1(Г, ф(1)) 1', где )х — хл)< с(.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
