Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 20

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 20)

Совокупность всех шаров с рациональными радиусами также представляет собой базу. На прямой базой может служить, например, совокупность всех рациональных интервалов (т. е. интервалов с рациональными концамн). Важный класс топологических пространств образуют и рос т р а н с т в а с о с ч е т н о й б а з о й, т. е. такие пространства, в которых существует хотя бы одна база„состоящая не более чем из счетного числа множеств. Пространства со счетной базой называют также пространствами ео второй аксиомой ечетноети.

Если в топологичееком пространстве Т имеется счетная база, .то в нем обязательно имеетея счетное всюду плотное множество, ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА т. е. такое счетное множество, замыкание которого есть все Т. Действительно, пусть (6ь) — такая база. Выберем в каждом из элементов этой базы произвольную точку х . Счетное множество Х = (х,) всюду плотно в Т, так как в противном случае непустое открытое множество 6 = Т",(Х] не содержало бы ни одной точки из Х, что невозможно, поскольку 6 есть сумма некоторых множеств из системы (6ь), а х еп 6 .

Топологические пространства со счетным всюду плотным множеством, как и метрические, называются сепарабельными. Для метрических кространств верно утверждение, обратное только что доказанному: Если метрическое пространство )т сепарабельно, то в Й есть и счетная база. Действительно, такую базу образуют, например, открытые шары В(х„, 1(т), где (хь) — счетное всюду плотное множество, а п и гп независимо пробегают все натуральные числа.

Таким образом, справедлива следующая теорема: Теорема 4. Метрическое пространство 1т имеет счетную баз тогда и только тогда, когда оно сепарабельно. силу этой теоремы все примеры сепарабельных метриче-- ских пространств могут служить и примерами метрических пространств со второй аксиомой счетности. Т(есепарабельное пространство ограниченных последовательностей (см.

пример 9 ф 1) не имеет и счетной базы. 3 а меч ание. Теорема 4, вообще говоря, неверна для произвольных (не метрических) топологических пространств: можно чказать примеры сепарабельных пространств без счетной базы. Поясним происходящие здесь явления. Для каждой точки х метрического пространства Й существует с ч ет на я система И ее окрестностей (например, система открытых шаров В(х,!/и)), обладающая следующим свойством: каково бы ни было открытое множество 6, содержащее точку х„найдется окрестность из системы Ц, целиком лежащая в 6.

Такая система окрестностей называется определяюи1ей системой окрестностей точки х. Если точка х топологического пространства Т имеет счетную определяющую систему окрестностей, то говорят, что в этой точке выполнена первая аксиома счетности. Если это верно для каждой точки пространства Т, то пространство Т называется пространством с первой аксиомой счетности. Всякое метрическое пространство, даже и несепарабельное, автоматически удовлетворяет первой аксиоме счетности. Однако в произвольном топологическом пространстве (даже если оно.

состоит лишь из счетного числа точек) первая аксиома счетиогти может не иметь места. Поэтому те рассуждения, с помощью. которых мы для метрического пространства вывели из наличия счетного всюду плотного множества существование в таком пространстве счетной базы, не переносятся на случай произвольногь эо метеические и тапалогические пгостехнствх 1гл. и топологического пространства. Но даже и в сепарабельном топологическом пространстве с первой аксиомой счетности счетной базы может не быть.

Система множеств (М„) называется покрытием множества Х, если [ ) М,:э Х. Покрытие топологического пространства Т, соа стоящее из открытых (замкнутых) множеств, называется открытым (замкнутым) покрытием. Если некоторая часть (М,) покрытия (М,) сама образует покрытие пространства Т, то (М,,) называется подпонрытием покрытия (М ).

Т е о р е м а 5. Если Т вЂ” топологическое пространство со счет.ной базой, то из всякого его открытого покрытия можно выбрать конечное или счетное подпокрытие. До к аз а тел ь ство. Пусть (0„) — некоторое открытое покрытие пространства Т, Тогда каждая точка хее Т содержится в некотором 0 . Пусть (6 ) — счетная база в Т. Для каждого хя Т существует такой элемент 6„(х) этой базы, что хя ее 6„(х) ~ 0„. Совокупность выбранных таким образом множеств 6„(х) конечна или счетна и покрывает все Т, Выбрав для каждого 6„(х) одно из содержащих его множеств 0„, мы и получим конечное или счетное подпокрытие покрытия (0„). Теорема доказана. По определению топологическогв пространства пустое множество н все пространство Т одновоеменно открыты и замкнуты. Пространство, в котором нет никаких других множеств, одновременно открытых и замкнутых, называется связным.

Прямая линия К' представляет собой один из простейших примеров связных пространств. Если же из К' удалить одну или несколько точек, то оставшееся пространство уже ие будет связным. 4. Сходящиеся последовательности в Т. На топологические пространства легко переносится знакомое нам в случае метрических пространств понятие сходя щейся последов а те л ьн ос т и. Именно, последовательность хь хь ..., х, ... точек из Т называется сходящейся к тачке х, если любая окрестность точки х содержит все точки этой последовательности, начиная с некоторой. Однако в топологических пространствах это понятие сходимости не играет той фундаментальной роли, которая ему принадлежит в метрических пространствах.

Дело в том, что в метрическом пространстве Й точка х есть точка прикосновения множества М с: Й в том и только том случае, когда в М сушествует последовательность, сходящаяся к х, тогда как в топо- логическом пространстве это, вообще говоря, ие так. Из того, что х есть точка прикосновения для М (т. е.

принадлежит [М]) в топологическом пространстве Т, не вытекает существование в М последовательности, сходящейся к х. Возьмем в качестве лримера отрезок [О, 1] и назовем открытыми те его подмножв- $ р! ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА ства (наряду с пустым множеством), которые получаются из него выбрасыванием любого конечного или счетного числа точек. Легко проверить, что требования 1' и 2' (стр. 84) при этом будут выполнены, т. е. мы получим топологическое пространство. В этом пространстве сходящимися будут только стационарные последовательности, т.

е. такие, элементы которых, начиная с некоторого номера, совпадают: хл = х +! — — ... (докажите это!). С другой стороны, если мы возьмем, например, в качестве М полуинтервал (О, 1), то точка 0 будет для него точкой прикосновения (проверьте)), но никакая последовательность точек из М ие сходится к 0 в нашем пространстве. Сходящиеся последовательности «восстанавливаются в своих правах», если мы рассматриваем не произвольные топологические пространства, а пространства с первой аксиомой счетности, т.

е. если у каждой точки х пространства Т существует счетная определяющая система окрестностей. В этом случае каждая точка прикосновения х произвольного множества М с: Т может быть представлена как предел некоторой последовательности точек из М. Действительно, пусть (0„) — счетная определяющая система окрестностей точки х. Можно считать, что О„+, с: О„ л - -. ° р о.

- П о,). пр„,*.—.р,.„„,- ААВ ная точка из М, содержащаяся в ОА (й = 1, 2, ...). Ясно, что такое х« существует, иначе х не было бы точкой прикосновения для М. Последовательность (хА), очевидно, сходится к х. Первой аксиоме счетности удовлетворяют, как мы отмечали, все метрические пространства. Именно поэтому мы и смогли все такие понятия, как замыкание, точка прикосновения и т.

д., сформулировать для метрических пространств в терминах сходимости последовательностей. 5. Непрерывные отображения. Гомеоморфизм. Понятие непрерывного отображения, введенное нами для метрических пространств в 5 1, естественно обобщается на произвольные топо- логические пространства. Определение. Пусть Х и У вЂ” два топологических пространства. Отображение 1 пространства Х в пространство У называется непрерывным в точке хо, если для любой окрестностп (Т«, точки уо = )(хо) найдется такая окрестность У„, точки хо, что 1(У „)с:.0„,. Отображение 1: Х-ьу называется непрерывным, если оно непрерывно в каждой точке х АХ.

В частности, непрерывное отображение топологического пространства Х в числову!о прямую называется непрерывной функцией на этом пространстве. Легко убедиться, что для метрических пространств это определение действительно превращается в то определение непре- чх метрические и топологические пРОстРАнстВА 1гл. ц рывности отображения одного метрического пространства в другое, которое было дано в $1.

Данное нами определение носит «локальный» характер. Непрерывность отображения 1 на всем Х определяется через непрерывность ) в каждой точке. Оказывается, что понятие непрерывности отображения одного топологического пространства в другое можно сформулировать в терминах открытых множеств, т. е. в терминах топологии этих пространств. Те о р ем а 6. Для того чтобы отображение 1 топологического пространства Х в топологическое пространство У было непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы прообраз Г =)-'(6) всякого открслтого множества 6 ~ У был открыт (в Х) .

Доказательство. Необходим ость. Пусть отображение ) непрерывно и пусть 6 — открытое множество в У. Докажем, что Г = 1-'(6) открыто. Пусть х — произвольная точка множества Г и у = 1(х). Тогда 6 служит окрестностью точки у. По определению непрерывности найдется такая окрестность Ф', точки х, что 1()т„) с: 6, т. е.

Ух ~ Г. Иначе говоря, если х~ Г, то существует окрестность У этой точки, содержащаяся в Г. Но это и значит, что Г открыто. Достаточность. Пусть Г = 1 '(6) открыто, если 6 ~ У открыто. Рассмотрим произвольную точку хан Х и произвольную окрестность У„точки у = 1(х), Поскольку у ~ УР, точка х принадлежит множеству 1 '(У„). Это открытое множество и служит той окрестностью точки х, образ которой содержится в (УР. 3 а м е ч а н и е. Пусть Х и У вЂ” произвольные множества н 7 в отображение Х в У.' Если в У задана некоторая топология т (т, е.

система множеств, содержащая 1д и У и замкнутая относительно взятия любых сумм и конечных пересечений), то прообраз топологии т (т. е. совокупность всех множеств )-'(6), где 6 ее т) будет топологией в Х. Для доказательства достаточно вспомнить теоремы о прообразе суммы и пересечения множеств (см. $2 гл. 1). Мы обозначим эту топологию 1 '(т). Если теперь Х и У вЂ” топологические пространства с топологиями т, и т„, то теорему 6 можно сформулировать так; отображение 1; Х -ь У непрерывно в том и только том случае, если топология т, сильнее топологии )-'(тт), Из того, что прообраз дополнения есть дополнение прообраза, следует теорема, двойственная к теореме 6.

Характеристики

Список файлов книги