Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Например, множество рациональных точек в интервале (О, 1) предкомпактно, если его рассматривать мак подмножество числовой прямой, яо оно не будет предком- 106 МЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ.!Г пактным как подмножество пространства всех рациональных чисел. Понятие предкомпактности наиболее существенно в случае метрических пространств, о чем будет идти речь в следующем параграфе. й 7. Компактность в метрических пространствах 1. Полная ограниченность. Поскольку метрические пространства представляют собой частный случай топологических, нв них распространяются те определения и факты, которые былв изложены в предыдущем параграфе. В метрическом случае компактность тесно связана с понятием и о л н о й о г р а н и ч е н н остии, которое мы сейчас введем, Пусть М вЂ” некоторое множество в метрическом пространстве В и е — некоторое положительное число.
Множество А из 11 называется е-сетью для М, если для любой точки х ы М найдетсп хотя бы одна точка а ев А, такая, что р(х, а)~(г. (й(ножество А не обязано содержаться в М и может даже не иметь с М ни одной обшей точки, однако, имея для М некоторую е-сеть А, можно построить 2е-сеть В с: М.) Например, целочисленные точки образуют на плоскости 1/.у'2 - сеть. Множество М называется вполне ограниченным, если для него при любом е ) О существует к о не ч н а я е-сеть. Ясно, что вполне ограниченное множество обязательно ограничено„ как сумма конечного числа ограниченных множеств. Обратное, вообще говоря, неверно, как показывает приводимый ниже пример 2.
Часто бывает полезно следующее очевидное замечание: если множество М вполне ограничено, то его замыкание [М) также вполне ограничено. Из определения полной ограниченности сразу следует, что если само метрическое пространство тт' вполне ограничено, то оно сепарабельно. Действительно, построим для каждого и в )ч конечную 1/и-сеть. Сумма их по всем и представляет собой счетное всюду плотное в В множество. Поскольку сепарабельное метрическое пространство имеет счетную базу (теорема ч- $5), мы получаем, что всякое вполне ограниченное метрическое пространство имеет счетную базу.
П римеры. 1. В и-мерном евклидовом пространстве полная ограниченность совпадает с обычной ограниченн о с т ь ю, т. е. с возможностью заключить данное множество в достаточно большой куб. Действительно, если такой куб разбить на кубики с ребром е, то вершины этих кубиков будут КОМПАКТНОСТЬ В МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ 107 ,образовывать конечную («/и/2)е-сеть в исходном кубе, а знаит, и подавно, в любом множестве„лежащем внутри этого куба. 2, Единичная сфера Я в пространстве 1» дает нам пример Ограниченного, но не вполне ограниченного множества.
Действительно, рассмотрим в 5 точки вида е,=(1,0,0,...,0,0,...), ез=(0,1,0,...,0,0,...), е„=(0,0,0,..., 1,0,...). Расстояние между любыми двумя такими точками е и е~ (и Ф гп) равно 1/2. Отсюда видно, что в 5 не может быть конечной е-сети ни при каком В ( ~/2/2. 3. Рассмотрим в 1» множество П точек х = (хь хь ..., х„...), юодчнненных условиям ~ х, )(1, ~ хт)(1/2, ..., 1х„~(1/2" Это множество называется основным параллелепипедом («гильбертовым кирпичом») пространства /ь Оно служит примером бесконечномерного вполне ограниченного множества. Для доказательства его полной ограниченности поступим следующим образом.
Пусть е ) 0 задано. Выберем и так, что 1/2"-' ( е/2. Каждой точке х=(хн х,, ..., х„, ...) (1) мз П сопоставим точку х" = (х„хм ..., х„, О, О, ...) мз того же множества. При этом н . О - 1/ г **. «/ Е 4 « — ', -'. А=«~-1 А « Множество П' точек вида (2) из П вполне ограничено (как Ограниченное множество в и-мериом пространстве). Выберем в П' конечную е/2-сеть. Ясно, что она будет в то же время е-сетью во всем П. 2.
Компактность и полная ограниченность. Теорем а 1. Если метрическое пространство /с счетно-компактно, то Оно вполне ограничено. Дока з а тел ь ство. Предположим, что т( не вполне ограмичено. Это значит, что при некотором ЕР ) 0 в )с не суще. ствует конечной емсети.
Возьмем в )т произвольную точку ан 108 МЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 1ГЛ Н В )т найдется хотя бы одна такая точка, скажем, аь что р(аь аг) ) еа (иначе точка а, была бы ею-сетью для Р!). Далее, в )т' найдется такая точка а,, что р(аь а,)) ео и р(а,,аг) = еэ, иначе пара точек аь а, была бы еггсетью. Если точки аь ..., аь уже фиксированы, то выберем точку аь+, ы!т так, что р(аь аь+,) ) е~, 1 = 1, 2, ..., й.
Это построение дает нам бесконечную последовательность аь аь ..., которая не имеет ни одной предельной точки, поскольку р(аь а!) ) ВР при 1 Ф !'. Но тогда )т не счетно-компактно. Теорема доказана. Итак, мы показали, что для метрических пространств счетная компактность влечет полную ограниченность, которая в свою очередь влечет наличие счетной базы. В силу теоремы 1О $6 отсюда получаем такой важный результат. С л ед с та и е. Всякое счетно-компактное метрическое пространство компактно. Мы помазали, что полная ограниченность есть необходим о е условие компактности метрического пространства.
Это условие не достаточно; например, совокупность рациональных точек отрезка [О, 1] с обычным определением расстояния между ними есть вполне ограниченное, но не компактное пространство; последовательность точек этого пространства 0; 0,4; 0,41; 0,414; 0,4142; ..., т.
е. последовательность десятичяых приближений числа 1~2 — 1, не имеет в нем предельной точки. Однако имеет место следующая теорема. Те о р е м а 2. Для того чтобы метрическое пространство )с' было компактом, необходимо и достаточно, чтобы оно было одновременно: 1) вполне ограниченным, 2) полным. Д о к а з а тел ь с т в о. Необходимость полной ограниченности уже отмечалась. Необходимость полноты очевидна: в самом деле, если (х ) — фундаментальная последовательность в )с, не имеющая предела, то эта последовательность не имеет в )т нн одной предельной точки.
Покажем теперь, что если й вполне ограничено и полно, то оно компактно. В силу следствия из теоремы 1 для этого достаточно установить, что )с счетно-компактно, т. е. что всякая последовательность (хя) точек из Й имеет хотя бы одну предельную точку. Построим вокруг каждой из точек, образующих 1-сеть в )!„ замкнутый шар радиуса 1.
Так как эти шары покрывают все )с„ а число их конечно, то по крайней мере один из них, назовем ап комплктиость в мвтгичвских пгостглиствхх <оэ его В<, содержит некоторую бесконечную подпоследовательность «<о, ..., х<о,... последовательности (х„». Далее, выберем </<гсеть в В< и вокруг каждой из точек этой сети построим замкнутый шар радиуса 1/2. По крайней мере один из этих шаров, назовем его Вм содержит бесконечную подпоследовательность ««г<, ..., х<„'<, ... последовательности (х<«». Далее, найдем замкнутый шар Вг с центром в Вг радиуса 1/4, содержащий бесконечную подпоследовательность х';", ...
х<„'>, ... последовательности (х<п» и т. д. Рассмотрим теперь наряду с каждым шаром В„замкнутый шар А„с тем же центром, но в два раза большего радиуса. Легко видеть, что шары А„вложены друг в друга. В силу полноты пространства /< пересечение < » А„ не пусто и и 1 состоит из одной точки хю. Эта точка — предельная для исходной последовательности (х„), так как каждая ее окрестность содержит некоторый шар Вм а значит, и бесконечную подпоследовательность (х<ь<» последовательности (х». 3.
Предкомпактные подмножества в метрических пространствах. Понятие предкомпактности, введенное нами в предыдущем параграфе для подмножеств произвольного топологического пространства, применимо, в частности, к подмножествам метрического пространства. При этом, очевидно, понятие счетной пред- компактности совпадает здесь с понятием предкомпактности. Отметим следующий простой, но важный факт.
Теорем а 3. Для того чтобы множество М, лежащее в полном метрическом пространстве /<, было предкомпактным, необходимо и достаточно, чтобы оно было вполне ограниченным. Доказательство сразу следует из теоремы 2 и того очевидного факта, что замкнутое подмножество полного метрического пространства само полно. Значение этой теоремы состоит в том, что, как правило, легче установить полную ограниченность того или иного множества, чем непосредственно доказать его предкомпактность. Вместе с тем для применений в анализе важна обычно предкомпактность.
4. Теорема Арцела. Вопрос о компактности того или иного множества в метрическом пространстве — довольно распространенная в анализе задача. Между тем, попытка непосредственно применить теорему 2 сталкивается с трудностями. Поэтому для множеств в конкретных пространствах полезно дать специальяые критерии компактности (или предкомпактности), более удобные на практике.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
