Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Линейно независимая система (ха) элементов линейного пространства ь называется базисом Гомеля, если ее линейная оболочка совпадает с ь. доказать следующие утверждения: 1) В каждом линейном пространстве существует базис Гамеля. Указание. Использовать лемму церна. 2) Если (хо) — базис Гамеля в ь, то каждый вектор х ев Ь единственным образом представляется в виде конечной линейной комбинации некоторык векторов системы (хо). 3) Любые два базиса Гамеля в линейном пространстве равномошны; мощность базиса Гамеля линейного пространства иногда называют алгебраической размерностью этого пространства. 4) Линейные пространства изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую алгебраическую размерность.
4. фактор-пространства. Пусть ь — линейное пространство, и (.' — некоторое его подпространство. Скажем, что два элемента х и у из ь эквивалентны, если их разность х — у принадлежит Ь', Это отношение рефлексивно, симметрично н транзитнвно, т. е, определяет разбиение всех х ее Т. На классы. Класс эквивалентных элементов называется классом смежности (по подпространству (.'). Совокупность всех таких классов мы назовем фактор-пространством Л по ь'' и обозначим 1.)1.'. В любом фактор-пространстве, естественно, вводятся операции сложения и умножения на числа. Именно, пусть 5 и т) — два класса, представляющих собой элементы из ИЛ'.
Выберем в каждом нз этих классов по представителю, скажем, х и у соответственно, и назовем суммой классов й и т) тот класс ~, который содержит элемент х + у, а произведением класса й на число и тот класс, который содержит элемент ах. Легко проверить, что результат не изменится от замены представителей х и у какимнлибо другими представителями х' и у' тех же классов $ н т). Таким образом, мы действительно определили линейные операции над элементами фактор-пространства Т./Ь'. Непосредственная проверка показывает, что эти операции удовлетворяют всем требованиям, содержащимся в определении линейного пространства !Я НОРМИРОВАННЫЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [гл ц~ (проведите эту проверку!). Иначе говоря, каждое фактор-про странство /./Т.' (с теми операциями сложения и умножения на числа, которые мы сейчас в нем определили) представляет собой линейное пространство.
Если ь — пространство и измерений, а его подпространство Г имеет размерность й, то фактор-пространство /./т' имеет размерность и — /г (докажите это!). Пусть й — произвольное линейное пространство н Е' — некоторое его подпространство. Размерность фактор-пространства ь/Т.' называется коразмерностью подпространства т.' в пространстве А.. Если подпространство /: с: й имеет конечную коразмерность и, то в /. можно выбрать элементы хн хм..., х так, что всякий элемент х ее Т.
будет (однозначно) представим в виде х = а,х, + ... + а„х„ + у, где аь ..., а„— числа и уев 1.'. Действительно, пусть фактор- пространство Т.//.' имеет размерность и. Выберем в этом фактор- пространстве базис 5Н $ь ..., $„и из каждого класса $А выберем по представителю хА. Пусть теперь х — любой элемент из /. и Š— тот класс в /./Е', который содержит х, Тогда $=аД~+... +а„$„. По определению это значит, что каждый элемент из В, в частности х, отличается лишь на элемент из /: от такой же линейной комбинации элементов хь ..., х„, т. е. х = а,х, + ...
+ а„х„+ у. Однозначность такой записи предоставляем доказать читателю. 5. Линейные функционалы. Числовую функцию /, определенную на некотором линейном пространстве ь, мы будем называть функционалом. Функционал / называется аддитивным, если /(х+ у) =/(х)+ /(у) для всех х, увила:, он называется однородным, если /(ах) =а/(х) (а — произвольное число). Функционал /, определенный в к о м и л е к с н о м линейном пространстве, называется сопряженно-однородным, если /(ах) = = а/(х), где а — число, комплексно сопряженное а. Аддитивный однородный функционал называется линейным функционалом. Аддитивный сопряженно-однородный функционал называется сопряженно-линейным, а иногда полулинейным. 125 ЛИНЕПНЫЕ ПРОСТРАНСТВА а и Укажем примеры линейных функционалов.
1. Пусть К" есть и-мерное арифметическое пространство с элементами х = (хь ..., х„) и а = (аь ..., а„) — произвольный набор из п фиксированных чисел. Тогда л ! (х) = 2 а!х! 1=! — линейный функционал в Кл. Выражение л [(х) = ~ а!х! представляет собой сопряженно-линейный функционал в С". 2. Интегралы 1[х[= ~х(()Ж и 7[х]= ~х(Г)Ю а О представляют собой соответственно линейный и сопряженно-линейный функционалы в пространстве С[а, Ь).
3. Рассмотрим более общий пример. Пусть ра — некоторая фиксированная непрерывная функция на [а, Ь). Положим для любой функции х ея С[а, Ь) ь Р(х)= $ х(г)у фп!. л Линейность этого функционала следует из основных свойств операции интегрирования. Функционал Р (х) = ~ х (() у (~) Ж О будет сопряженно-линейным (в комплексном пространстве С [а, Ь)) . 4. Рассмотрим в том же самом пространстве С[а, Ь) линейный функционал другого типа, а именно, положим бг,(х) =х(ФВ), так что значение функционала б!, на функции х равно значению этой функции в фиксированной точке 1о. Этот функционал обычно записывают в виде б!,(х) = ~ х(~) б(! — !В)«!, О понимая под б «функцию», которая равна нулю всюду, кроме точки 1 = О, и интеграл от которой равен единице (б-функция 1оа нормироват)ные и топологические пространства )гл пт Дирака).
Такие «функции» получили строгое определение в рамках теории обобщенных функций, элементы которой будут изложены в $4 следующей главы. 5. Приведем пример линейного функционала в пространстве 1,. Пусть й — фиксированное целое положительное число, Для каждого х = (хь..., х„, ...) из (я положим )а(х) = ха. Линейность такого функционала очевидна.
Эти функционалы допускают «распространение» на другие пространства последовательностей, например, на со, с, пт, К (примеры 5 — 8 п. !). 6. Геометрический смысл линейного функционала. Пусть 1 — некоторый отличный от тождественного нули линейный функционал на линейном пространстве Б. Совокупность тех элементов х из Ь, которые удовлетворяют условию )(х) =О, представляет собой подпростраиство пространства Š— подпростраиство нулей или ядро функционала 1. Действительно, если )(х) = 1(у) = О, то 1 (ах + ()у) = а) (х) + р) (у) = О.
Это подпространство обозначается Кег )' '). Подпространство Кег) имеет коразмерность 1. Действительно, возьмем какой-либо элемент хо, не входящий в Кег)', т. е. такой элемент, что 1(хо) Ф О, Такой элемент найдется, поскольку 1(х) чогО. Без ограничения общности можно считать, что )(хо) =1, ибо в противном случае мы заменили бы хо на 11' . (Ясно, 1(лр) ' что 1 1 — '1=1.) Для каждого элемента х положим у = ~ 1(ло) ) = = х — 1(х)хо, 'тогда 1(у) = )(х — )(х)хо) = О, т.
е. уев Кег). Представление элемента х в виде х = ахо+ у, где у ~ Кег ), при фиксированном элементе х, единственно. В самом деле, пусть х = ахо+ у, у ~ Кег ~, х = а'хо + у', у' ~ Кег ~. Тогда (а — а')хо = у' — у, Если здесь а = а', то очевидно, что у' = у. Если же а чь а', то х, = —,~ Кег), что противоо — р а — а' речит выбору хо. Отсюда следует, что два элемента х, и хя тогда и только тогда принадлежат одному классу смежности по подпространству Кег), когда )(х,) = )(ха).
Действительно, из х1 =)'(х,)х,+Уь х, =1(х,)хо+ Ув вытекает, что х, — хв = (1(х,) — 1(ха)) хо+(у — уя). Отсюда видно, что х~ — хт еп Кег 1 тогда и только тогда, когда коэффициент при хо т. е. 1(х,) — )(ха) равен О. ') От английского слова )гегпе1 — ядро. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 127 оп Всякий класс 5 по подпространству Кег ) определяется любым из своих представителей. В качестве такого представителя можно взять элемент вида ахо. Отсюда видно, что подпространство 1,/Кег) действительно одномерно, т.
е. Кег 7' имеет коразмерность 1, Подпространство Кег ) определяет линеиныи функционал, об ращающийся на нем в нуль, с точностью до постоянного множителя. В самом деле, пусть функционалы 1 и д имеют одно и то же ядро: Кег)' = Кета. Выберем элемент хо так, чтобы 7(хо) = 1. )о)ы утверждаем, что д(хо) ~ О. Действительно, х=)(х) хо+ у, д~ Кег) =Кегд, д(х) =7(х) д(х.)+д(д) =) (х) д(хо). Если бы значение д(х,) равнялось О, то функционал д был бы тождественным нулем. Из равенства д(х) = д(хо)1'(х) и выте- кает пропорциональность функционалов д и ). Для всякого подпространства Ь' коразмерности 1 можно ука- зать такой функционал 1, что Кег7" = ~.'.
Достаточно выбрать произвольный элемент хоф 1,' и представить каждый элемент х е= 1. в виде х = ахо+ д. Такое представление единственно. По- ложив )(х) = а, мы получим линейный функционал ), для кото- рого Кег ) = ь' (проверить это!). Пусть Е' — какое-нибудь подпространство коразмерности 1 в линейном пространстве Ь; тогда всякий класс смежности про- странства ь по подпространству 1.' называется гпперплоекостью, параллельной подпространству ь' (в частности, само подпро- странство Е' является гиперплоскостью, содержащей О, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
