Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 25
Текст из файла (страница 25)
В и-мерном евклидовом пространстве предкомпактность множества равносильна, как мы видели, его ограниченности. !!о МЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА ГГЛ. П Однако для более общих метрических пространств это уже неверно. Одним нз важнейших в анализе метрических пространств является пространство С[а, Ь]. Для его подмножеств важный и часто используемый критерий предкомпактности доставляет так называемая теорем а Ар цела. Чтобы ее сформулировать, нам понадобятся следующие понятия. Семейство Ф функций ф, определенных на некотором отрезке [а, Ь], называется равномерно ограниченным, если существует такое число К, что ! ф (х) ] < К для всех х ен [а, Ь] и всех !р ен Ф.
Семейство Ф = [ф] называется равностепенно непрерывным, если для каждого е ) О найдется такое б ) О, что ] (р (х,) — ф (хг) ! < е для всех х, и хг из [а, Ь] таких, что р(хихз) б, и для всех ф ~ Ф. Т е о р е м а 4 (А р ц ел а) . Для того чтобы семейство Ф непрерывных функций', определенных на отрезке [а, Ь], было пред- компактно в С[а, Ь], необходимо и достаточно, чтобы зто семейство было равномерно ограничено и равносгепенно непрерывно, Док аз а тел ьств о. Необходимость.
Пусть семейство Ф предкомпактно в С[а, Ь]. Тогда по предыдущей теореме для каждого положительного е в семействе Ф существует конечная е/3-сеть !рь !рм ..., <рк. Каждая из функций !рь как непрерывная функция на отрезке, ограничена: ]фг(х) ] < К!. Положим К = гпах Кг+ е/3. По определению е/З-сети, для всякого ф ~ Ф имеем, хотя бы для одного фь р(!р, <р,) =и!ах! ср(х) — <рг(х) ]~~а/3. Следовательно, 3~ ! 3~ Итак, Ф равномерно ограничено.
Далее, так как каждая из функций фн образующих е/З-сеть, непрерывна, а следовательно, и равномерно непрерывна на [а, Ь], то для данного е/3 существует такое бь что ] !р; (х,) — ф, (хг) ! < е/3, если !х! — х,] < б!. Положим б= ндибо Для произвольной функции ~р~Ф выберем !р; так, чтобы р(<р, !р,) < е/3; тогда при ! х, — хт! < б йп КОМПАКТНОСТЬ В МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ 11! будем иметь ] ср,(х) — ср(хт) ]~(] ср(х) — ср,(х) ]+] ср;(х) — ср,(хз) [+ + ]срс(хз) — ср(хг) ] < в/3 + е/3 + в/3 = е. Равностепенная непрерывность Ф также доказана. Д о с т а т о ч н о с т ь.
Пусть Ф вЂ” равномерно ограниченное и равностепенно непрерывное семейство функций. Согласно теореме 3 мы установим его предкомпактность в С[а, Ь], если покажем, что при любом е ) О для него в С[а, Ь] существует конечная е-сеть. Пусть ]ф(х) ] < К для всех фен Ф и пусть 6 > О выбрано так, что ]ср(х,) — ср(х,) ] < е/5 при ]хс — хт] < 6 для всех ф~Ф. Разобьем отрезок [а, Ь] на оси х точками хо = = ас < хс < хз « ... х, = Ь на промежутки длины менььсе 6 и проведем через эти точки вертикальные прямые.
Отрезок [ — К,/(] на оси у разобьем точками ус = — /с < ус < Ут < ... < Ую = К на промежутки длины меньше е/5 и проведем через точки деления горизонтальные прямые. Таким образом, прямоугольник а < х < Ь, — К < у < К разобьется на ячейки с горизонтальной стороной меньше 6 н вертикальной стороной меньше е/5. Сопоставим теперь каждой функции ф ~ Ф ломаную ф(х) с вершинами в точках (хсь ус), т. е. в узлах построенной сетки, и уклоняющуюся и точках хь от функции ф(х) меньше чем на е/5 (существование такой ломаной очевидно).
Поскольку по построению ]ф(ха) — ср(хь)]<в/5, [ф(хььс)— — ф (хаь,) ] < а/5, ] ср (ха) — ср (ха+,) ] < Е/5, то ] ф(х,) — ч[ь(хе+с) ] < Зе/5. Так как между точками хь и хь+, функция ф(х) линейиа, то ]ср(хь) — ф(х)]<За/5 для всех х~[ха, хаьс]. Пусть теперь х — произвольная точка отрезка [а, Ь] и хь-- ближайшая к х слева из выбранных нами точек деления.
Тогда ] ср (х) — ф (х) ] <] ср (х) — ф (ха) ] + +] ср(ха) — ср(ха) ]+ )ер(хь) — ср(х) [<а, Следовательно, ломаные ф(х) по отношению к Ф образуют е-сеть. Число их очевидно, конечно; таким образом, Ф вполне ограничено. Теорема полностью доказана. В. Теорема Пеано. Покажем, как применяется теорема Лрцела на при. мере следующей теоремы существования для обыкновенных дифференциальных уравнений с непрерыпной правой частью.
Теорема б (Пеа но). Пусть дано дифференциальное уравнение — /(х, у). ду (3) Если функция / непрерывна в некоторой ограниченной замкнутой области С, то чеРез каасдУю внУтРеннюю точкУ (хь, Уь) этой области пРоходит кота бы одна интегральная кривая данного уравнения. 1)2 житрмчвскмв и тоцологм»!иодмв Цроцтрлмотнл (Гл ы Д о к а з а т е л ь с т в о, Так как функция [ непрерывна в ограниченной замкнутой области, то она ограничена: )[(х, у) ) < М = сопМ, Проведем через точку (хо,уо) прямые с угловыми коэффициентами М н — М.
Проведем, далее, вертикальные прямые х = а н х = Ь так, чтобы от- секаемые ими два треугольника с общей вершиной (хо,уо) целиком лежали внут и области О. та пара треугольников образует замкнутое множество А. Построим теперь для данного уравнения так называемые ломаные Эй- лера следующим образом: проведем из точки (хо, уо) прямую с угловым коэф.
фнциентом [(х„уо). На этой прямой возьмем некоторую точку (хну~) и про- ведем через нее прямую с угловым коэффициентом [(хну~). На этой прямой возьмем точку (хь у»), проведем через нее прямую с угловым коэффнцнен. том [(х„у,) и т. д. Рассмотрим теперь последовательность ломаных Эйлера ».ь йв ..., ь», ..., проходящих через точку (хо, уо), таких, что длина наи- большего нз звеньев линии ь» стремится к нулю при й-» оо, Пусть ф»вЂ” функция, график которой есть линия й» Функции фь фо, ..., ф», ...
обла- дают следующими свойствами: !) они определены на одном и том же отрезке [а, Ь), 2) они равномерно ограничены, 3) они равностепенно непрерывны. На основании теоремы Арцеаа из последовательности [ф») можно вы- брать равномерно сходящуюся последовательность. Пусть это будет подпосле- довательность фпй ф(ой,, ф»»! Положим ф(х) = !1ш ф!»>(х) при й-» оо, Ясно, что ф(хо) = уо. Остается проверить, что ф удовлетворяет на отрезке [а, Ь) данному дифференциальному уравнению.
Для этого требуется показать, что для любого е ) Π— [(х', ф (х')) ~ < е. если только величина [х" — х') достаточно мала. Для доказательства этого в свою очередь нужно установить, что при достаточно больших й ~ — -и*. ' ьо~ !" "-:.' — ' ф'"'(ха) — ф"'(х') ° а если только разность [х" — х'( достаточно мала. Так как [ непрерывна в области О, то для любого е ) О найдется такое т! ) О, что [(х', у') — в < [(х, у) < [(х', у') + е (у'=ф(х')), если )х — х') < 2ц и )у — у') < 4Мть Совонупность точек (х, у)»м О, удовлетворяющих этим двум неравен. ствам, представляет собой некоторый прямоугольник О.
Пусть теперь К настолько велико, что для всех й ) К [ ф (х) — ф(а ! (х) ) < 2МО и все звенья ломаной ь» имеют длину меньше о). Тогда при )х — х') ( 2»! все ломаные Эйлера ф!»й для которых й ) К, целиком лежат внутри О. Далее, пусть (а»,Ь»), (аь6,), ..., (а„+»Ь о~) — вершины ломаной й», причем а» ба х'< а, < ао < ". < а» < хо < а»+» КОМПАКТНОСТЬ В МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ (мы для определенности считаем х" ) х'; аналогично рассматрнваетсн случай х" < х').
Тогда для соответствующей функции срс"> имеем ср<ь> (ас) — срса> (х') [(ао, ьо) (ас — х'), Ч>< >(а,,) — %< >(а,)-((ас, Ьс)(ас с — ас), <=1, 2, ..., и — 1, ср< > (х") — ср< > (ал) [(ал, Ь„)(х" — а„). Отсюда при [х" — х'[ < Ч получаем Ц (х', У') — е[ (ас — х') «Р<а> (ас) — <Р<а> (х') < Д (х', У') + в[ (а, — х'), [( (х', у ) — в[ (а(+> — ас) < Ч <а> (а<,) — Ч <а> (ас) < < [((х', у')+ в[(ас, — а ); (=1, ..., и — 1, [((х', у') — в[(х" — ал) < ср< >(хл) — ср< >(ал) < [((х', у') + е[(х" — а„).
Суммируя зти неравенства, находим [с (х', у) — е) (х" — х) «р<а> (х") — р<а> (х) < [[ (х', у) + е) (х" — х), что н требовалось доказать. Разные подпоследовательности ломаных Эйлера могут сходиться к разнмм решениям уравнения (3). Поэтому решение уравнения у' = [(х,у), проходящее через точку (хо уо), вообще говоря, не единственно. 6. Равномерная непрерывность.
Непрерывные отображения метрических компактов. Для отображений метрического пространства в метрическое пространство, в частности, для числовых функций на метрических пространствах, наряду с понятием непрерывности имеет смысл важное для анализа понятие равномерной непрерывности: отображение г метрического пространства Х в метрическое пространство У называется равномерно непрерывньсм, если для каждого е ) О найдется такое б ) О, что рз(Р(хс), г'(хз)) <. е как только рс(х>,ха) <. б (здесь рс— расстояние в Х, а.рх — расстояние в У), причем б зависит только От В, НО НЕ От Х> И Хз.
Уира ж пение. Показа<ел что числовая функция Р(х) = зпрк(!) равноа<с <э мерно непрерывна на пространстве С[а,Ь). Для непрерывных отображений метрических компактов имеет место следующая теорема, обобщающая хорошо известную из элементарного курса анализа теорему о непрерывных функциях на отрезке. Теорем а 6. Непрерывное отображение метрического компакта в метрическое пространство равномерно непрерьсвно.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть отображение г метрического компакта К в метрическое пространство М непрерывно, ио не равномерно непрерывно. Это значит, что для мекоторого е О и каждого натурального и найдутся в К такие точки х„и х„', что Р,(х„, х„') < [(и и в то же вРемЯ Рз(г(х„), Р(х„')))в (Р,— расстояние в К, рз — расстояние в М). Из последовательности 114 метрические и топологические пРОстРАнстВА 1гл [т (х,) в силу компактности К можно выбрать подпоследовательность (хза), сходящуюся к некоторой точке х ен К.
Тогда и (х'„~~ сходится к х; но при этом для каждого й должно быть выполнено хотя бы одно из неравенств р (Р(х)т Р(х„)) аа/2; р ~Р(х), Р(х„'))>В/2, что противоречит непрерывности отображения Р в точке х. 7. Обобщенная теорема Арцелв. Пусть Х и У вЂ” два метрических компакта н пусть Схт — множество всех непрерывных отображений / компакта Х в У. Введем в Схт расстояние при помощи формулы р(/, а) = зцхр р(/(х), р(х)). Легко проверить, что таким образом Схт превращается в метрическое пространство, Теорема 7 (обобщенная теорема Арцела). Для предкомпактности множества /7 с: Схт необходимо и достаточно, чтобы входящие в 0 функции / были равносгепенно непрерывны. Последнее означает, что для любого а ) О должно существовать такое 6 » О, что из р(х', х") < 6 (4) вытекает р(/(х'), /(хм)) < а, (5) каковы бы ни были / из 0 и х' и х" из Х.
Доказательство. Необходимость доказывается так же, как и в теореме 4. Докажем достаточность. Для этого погрузим Схт в пространство Мхт всех отображений компакта Х в компакт т' с той же самой метрикой р(/, д) = зпр р(/(х), а(х)), которая была введена в Схт, и докажем предкомпактность множества 0 в Мхт. Так как Схт замкнуто в Мхт '), то из пред- компактности множества 0 в Мхт следует его предкомпактность в Схз..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
