Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 22
Текст из файла (страница 22)
3' ще один из возможных способов задать топологию в пространстве — это ввести в нем понятие сходимости. Однако за пределами метрических пространств такой способ не всегда удобен, поскольку, как уже указывалось в п. 4, не всегда переход от множества к его замыканию можно описать в терминах сходящихся последовательностей. Этот способ можно сделать универсальным, обобщив соответствующим образом само понятие сходящейся последовательности (см., например, [291, гл. 2). Можно ввести в пространстве топологию, определив в нем аксиоматически операцию замыкания.
Именно, говорят, что в множестве Х задана олерация замыкания, если каждому А ~ Х ') Этот (совсем не очевидный) факт вытекает из следующей теоремы П. С. урысона: если Т вЂ” нормальное пространство н рь га — два его ненересекающнхсн замкнутых подмножества, то на Т существует непрерывнав функник, /,О < 1(л) < ), равнан нулю иа Т1 и единице на Ра. 98 меттическиа и топологические птостнхнствл !гл.
и поставлено в соответствие некоторое множество [А] с: Х, называемое замыканием А, причем опеоация перехода от А к [А[ обладает свойствами 1) — 4), указанными в теореме 1 9 2. Определив после этого замкнутые множества как те, для которых [А] = А, легко показать, что этот класс множеств удовлетворяет условиям 1 и 2 (стр, 84), т. е.
действительно определяет в Х топологию. Задание метрики †од из важнейших способов введения топологии, хотя и далеко не универсальный. Как мы уже видели, всякое метрическое пространство нормально и удовлетворяет первой аксиоме счетности. В пространстве, лишенном хотя бы одного из этих двух свойств, топологию нельзя задать с помощью какой бы то ни было метрики. О и р е дел е н и е. Топологическое пространство Т называется метризуемым, если его топологию можно задать с помощью какой-либо метрики. В силу только что сказанного нормальность пространства и первая аксиома счетности представляет собой не об ходи м ы е условия метризуемости пространства. Вместе с тем ни каждое из этих условий в отдельности, ни даже их совокупность н е д о с т аточ н ы для метризуемости пространства. Однако имеет место следующая теорема, принадлежащая П.
С. Урысону: Для того чтобы топологическое пространство со счетной базой было метризуемо, необходимо и достаточно, чтобы оно было нормально. Необходимость этого условия ясна; доказательство достаточности имеется, например, в [2[. 9 6. Компактность 1. Понятие компактности. Фундаментальную роль в анализе играет следующий факт, известный под названием л е м м ы Гейне — Бореля: Из любого покрытия отрезка [а, Ь[ числовой прямой интер- ' валами можно выбрать конечное подпокрытие.
Это утверждение останется справедливым, если вместо интервалов рассматривать любые открытые множества: из всякого открытого покрытия отрезка [а, Ь) можно выделить конечное .подпокрытие. Отправляясь от этого свойства отрезка числовой прямой, введем следующее важное понятие. Оп р е дел е н не. Топологическое пространство Т-называется компактным, если любое его открытое покрытие содержит кон е ч ное подп охр ы т ие.
Компактное топологическое пространство, удовлетворяющее аксиоме отделимости Хаусдорфа, называется компактом, компхктность' 99 $61 Как мы увидим ниже, свойством компактности наряду с отрезками обладают все замкнутые ограниченные подмножества евклидова пространства любой конечной размерности. Наоборот, прямая, плоскость, трехмерное пространство служат простейшими примерами некомпактных пространств. Назовем некоторую систему подмножеств (А) множества Т и центрироаанной, если любое конечное пересечение ) ) А, членов г-~ этой системы не пусто. Из сформулированного определения компактности и соотношений двойственности вытекает следующая теорема. Те о р е м а 1.
Для того чтобы гопологическое пространство Т было компактным, необходимо и достаточно, чтобы оно удовлетворяло условию: (Я) каждая центрированная система его замкнутгях подмножеств имеет непустое пересечение. Действительно, пусть (Р,) — центрированная система замкнутых подмножеств в Т и пусть Т компактно. Множества 6„=Т'~ Р, открыты, причем из того факта, что никакое кои печное пересечение П Р; не пусто, следует, что никакая конеч/ ! ная система множеств 6; = Т', Р; не покрывает все Т.
Но тогда и все 6„не образуют покрытия (компактность!), а это значит. что П Р,чь Я. Итак, если Т компактно, то в нем условие (Л) выполнено. Обратно, пусть Т удовлетворяет условию (1т) и (6„) — открьпое покрытие пространства Т. Положив Р„= Т'~6„ получим, что ПР„= 8, откуда следует (условие (Я)), что сястема (Р„) не может быть центрнрованной, т. е. существуют тал кие Рь, Р„, что 11 Р, = Я. Но тогда соответствующие 6; = Т", Р; образуют конечное подпокрытие покрытия (6 ). Итак, условие (й) равносильно компактности. Установим некоторые основные свойства компактных пространств.
Теорем а 2. Если Т вЂ” компактное пространство, то каждое его бесконечное подмножество имеет хотя бы одну предельную точку, Д о к а з а т е л ь с т в о. Если Т содержит бесконечное множество Х, не имеющее нн одной предельной точки, то в нем можно взять счетное множество Х1 = (хь хм ...), также не имеющее ни одной предельной точки. Но тогда множества Х„= =(х„,х„~ь ...) образуют центрированную систему замкнутых множеств в Т, имеющую пустое пересечение, т.
е. Т не компактно. Т е о р е м а 3. Замкнутое подмножество компактного пространства компактно. (оо МЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА ИГЛ.Н До к а з а тел' ь от в о. Пусть Р— замкнутое подмножество компактного пространства Т и (Р ) — произвольная центрированная система замкнутых подмножеств подпространства Р ~ Т. Тогда каждое Р„замкнуто н в Т, т, е. (Р„) — центрированная система замкнутых множеств в Т. Следовательно, П Р,чь О. В силу теоремы ! отсюда следует компактность Р. Поскольку подпространство хаусдорфова пространства само хаусдорфово, отсюда получаем: Следствие.
Замкнутое подмножество компакта есть компакт. Т е о р е м а 4, Компакт замкнут в любом содержащем его хаусдорфовом пространстве. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть К вЂ” компактное множество в хаусдорфовом пространстве Т и пусть у Ей К Тогда для любой точки хеи К существуют окрестность и, точки х и окрестность 'тк точки у такие, что и.пу.=я. Окрестности и„образуют открытое покрытие множества К, В силу компактности К нз' него можно выделить конечное подпокрытие и.а и,,, ..., ик . Положим у=у.,пу.,п ...
пу,„. Тогда т' — окрестностьточки у, непересекающаяся си„, Ци„,(( ... ... ((и, ~К. следовательно, уФ[К) н значит, К замкнуто. теорема доказана. Теоремы 3 и 4 показывают, что в классе хаусдорфовых пространств компактность есть внутреннее свойство пространства, т. е. всякий компакт остается компактом, в какое бы более широкое хаусдорфово пространство мы его ни включали. Теорем а 5.
Всякий компакт представляет собой нормальное пространство. Дока з а тел ь ство. Пусть Х и У вЂ” два непересекающихся замкнутых подмножества компакта К. Повторив рассуждения, проведенные в доказательстве предыдущей теоремы, легко убедиться в том, что для каждой точки уев 'г' существуют такая ее окрестность ит и такое открытое множество ОР~ Х, что и„П П 0„= 8. Тем самым доказано, что всякий компакт регулярен. Пусть теперь у пробегает множество У.
Выберем из покрытия (ит[ множества У конечное подпокрытие ики ..., и„„. Тогда открытые множества будут удовлетворять условиям 0<О:» Х, 0<м:»'т' и Огн П Онв = 8, а это и означает нормальность. ч 6) КОМПАКТНОСТЬ 2. Непрерывные отображения компактных пространств. Непрерывные отображения компактяых пространств, в частности, компактов, обладают рядом интересных и важных свойств. Т е о р е м а 6. Непрерывный образ компактного пространства есть компактное пространство. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Х вЂ” компактное пространство и Т вЂ” его непрерывное отображение в топологическое пространство У. Рассмотрим какое-либо покрытие (У ) образа ((Х) открытыми в )(Х) множествами, Положим Уп=) (У,).
Множества 0 открыты (как прообразы открытых множеств при непрерывном отображении) и образуют покрытие пространства Х. Из этого покрытия можно выбрать, в силу компактности Х, конечное подпокрытие Уь Ут, ..., У, Тогда множества 1/„$'т, ... , Уи, где Ут = ) ((76), покрывают весь образ ((Х) пространства Х. Теорем а 7.
Взаимно однозначное и непрерывное отображение ср компакта Х на хаусдорфово пространство У есть гомеоморфизм. Д о к а з а т е л ь с т в о. Нужно показать, что из условий теоремы вытекает непрерывность обратного отображения Пусть Р— замкнутое множество в Х и Р = ср(Р) — его образ в У. В силу предыдущей теоремы Р— компакт и, следовательио, Р замкнуто в У. Таким образом, прообраз при отображении чр ' всякого замкнутого множества Г с: Х замкнут.
А это и означает непрерывность отображения ~р-'. 3. Непрерывные н полунепрерывные функции на компактных пространствах. В предыдущем пункте речь шла о непрерывных отображениях компакта в хаусдорфово пространство. Частным случаем таких отображений являются отображения компактов в числовую прямую, т.
е. числовые функции на компактах. Для таких функций сохраняются основные свойства функций на отрезке, известные из анализа. Теорем а 8. Пусть Т вЂ” компактное пространство и )' — нелрерывная на нем числовая функция. Тогда )' ограничена на Т и достигает на Т верхней и нижней граней. Д о к а з а т е л ь с т в о. Непрерывная функция есть непрерывиое отображение Т в числовую прямую )ч'. Образ Т в 6с' в силу общей теоремы 6 компактен.
Но, как читателю известно из курса анализа (см. также п. 2 5 7), компактное подмножество числовой прямой замкнуто и ограничено и потому ие только имеет конечяые верхнюю и нижнюю грани, но и содержит эти трани. Теорема доказана. У п р а ж и е и и е. Пусть К вЂ” компактиое метрическое пространство и А— такое отображеиие К в себя, что р(Ах,лу) ( р(х,у) при хФ у. Показать,. что отображение А имеет в К едиистаеииую иеп одзи жиую точку. 102 мктричпскип и топологичгскик простплнствд (гл. ~г Утверждения последней теоремы допускают обобщение н на более широкий класс функций, а именно, на так называемые полунепрерывные функции.
Функция [(х) называется полунвпрероовной снизу (сверху) в точке х, если для любого е ) О существует такая окрестность точки хо, в которой [(х) ) [(хо) — е (соответственно, [(х) ( [(хо) + е). Например, функция «целая часть от х», [(х) = Е(х) полунепрерывнн сверху. Если увеличить (уменьшнть) значение [(хо) непрерывной функция в какой-либо одной точке хо, то мы получим полунепрерывную сверху (сннзу) функцию Если [(х) полунепрерывна сверху, то — [(х) полунепрерывна снизу. Этн два замечания позволяют сразу построить большое число примеров полу- непрерывных функций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
