Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Это отображение переводит полное простран. ство С' в себя и является в нем сжатием. Действительно, пусть ф ен С*, ) х — хз ) < д. Тогда к ) ф(х) — уа1= ~ 1(Г, ф(Г))г(Г <К~1 л, и, следовательно, А (С') ~ С', Кроме того, л 1Ф (х) 'Фз(х) 1< 1 ! 1 (г ф1(г)) г (г, ф2(г))! а < «» ~ (Мг( шах ( ф, (х) — ф, (х) ~.
л Так как МЫ < 1, то А — сжатие. Отсюда вытекает, что уравнение ф = Аф (г. е. уравнение (7)) имеет одно и только одно решение в пространстве С'. 2. Задача Коши для системы уравнений. Пусть дана система дифференциальных уравнений ф,'(х)=1,. (х, ф,(х), ..., ф„(х)), 1=1, 2, ..., и (8) во метеические и топологнческие пеостосснства сгл и с начальными условиями фс (хо) = уоь с'= 1, 2, ..., и, (9) причем функции 1с определены и непрерывны в некоторой области 6 пространства 11»ч-', содержащей точку (хо,уоь Уо,), и удовлетворяют условию Липшица ~ 1 (х, уссс>, ..., упс) — Цх, усос, ..., Уссс) ~ е 'М шах ~ ус'с — усзс (. !~с~» Докажем, что тогда на некотором сегменте ~х — хо~ ~ с( су.
ществует одно и только одно решение начальной задачи (8), (9), т. е. одна и только одна система функций фь удовлетворяющих уравнениям (8) и начальным условиям (9). Система (8) вместе с начальными условиями (9) эквивалентна системе интегральных уравнений » чс,(х)=уос+ ~)с«, ф,«), ..., ср„«))с(1, с=1, ..., и. (10) ». В силу непрерывности функции )с ограничены в некоторой об- ласти 6' ~ 6, содержащей точку (хо, уоь ., уо»), т. е.
суще- ствует такое постоянное число К, что 1)с(х, уь..., У„) ~ ( К. Подберем с() 0 так, чтобы выполнялись условия: 1) (х, ус, ..., У»)е= 6', если ~1х — хо~~( с1, ~Ус — Уос~( Кс(; с'=1,...,и; 2) Мс( < 1. Рассмотрим пространство 6», элементами которого являются наборы ф =(фс, ..., ф ) из и функций, определенных и непре- рывных при 1х — хо~ ( с(, и таких, что 1фс(х) — Уос~( КЫ.
Опре- делим метрику формулой р(ср, яс)=шах( ср,(х) — орс(х) ~. »,с Введенное пространство полно. Отображение ор = Аф, зада- ваемое системой равенств » ф~(х)=уос+ ~(с«, фс«), ..., ф„«))с11, есть сжимающее отображение полного пространства 6'„в себя. Действительно, орссс с (х) — орссос (х) = » - ~Р,(1, ф!сс«)," фсс>«))-Г (1 фн>«)... „р< >«))1ж и, следовательно, так ( ф1'1(х) — ф1'1(х) ! = МЫ тах ~ ~рп1(х),р1з1(х) ~ к, к. ~ Отображение А — сжимающее, поскольку Мд (!.
Отсюда вытекает, что операторное уравнение ~р = Аф имеет одно и только одно решение в пространстве С„'. 4. Применение принципа сжимающих отображений к интегральным уравнениям. !. Уравнения Фред голыша. Применим теперь метод сжимающих отображений для доказательства существования и единственности решения неоднородного линейного интегрального уравнен и я Ф р ед гол ь м а второго рода, т. е.
уравнения 1(х) = Л ~ К (х, у) 1 (у) Ыу + ~р (х), к (1 1) где К (так называемое ядро) и у суть данные функции, 1 — искомая функция, а Л вЂ” произвольный параметр. Мы увидим, что наш метод применим лишь при достаточно малых значениях параметра Л. Предположим, что К(х, у) и у(х) непрерывны при а < х < Ь, а < у < Ь и, следовательно„~ К(х, у) ~ ( М. Рассмотрим отображение д = А1' полного пространства С~а, Ь) в себя, задаваемое формулой у (х) = Л ~ К (х, у) 1 (у) г(у + ~р (х). к Имеем р (д„пэ) = так ~ д, (х) — д, (х) 1 < 1 Л 1 М (Ь вЂ” а) так 11, (х) — 1з (х) 1. 1 Следовательно, при Л < „) отображение А — сжимающее. Из принципа сжимающих отображений заключаем, что для ! всякого Л с 1Л~ < „) уравнение Фредгольма имеет единственное непрерывное решение.
Последовательные приближения к этомУ Решению1о,1ь ..1„,... имеют виД 1„ (х) = Л ~ К (х, у) 1„ , (у) ду + ~р(х), а где в качестве 1Р(х) можно взять любую непрерывную функцию. '4К1 ПРИНЦИП СЖИМАЮЩИХ ОТОбРАЖЕНИЙ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ В1 МРТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ и 82 2. Нелинейные интегральные уравнения. Принцип сжимающих отображений можно применить и к нел иней.
н о м у и н т е г р а л ь н о м у у р а в н е н и ю вида ) (х) = Л ~ К (х, у; 1(у)) Ыу + [р (х), а (! 2) где К и ч~ непрерывны и, кроме того, ядро К удовлетворяет условию Липшица по своему «функциональному» аргументу; ~ К (х, у; е,) — К (х, у; е,) ) ~< М1 2, — Рз!. В этом случае для отображения д = А[ полного пространства С(а, Ь) в себя, заданного формулой ь к(х)=Л ~ К(х у[1(у)) у+[г(х) а (13) имеет место неравенство и[ а х [ д, (х) — дз (х) ~ ~( $ Л )М (Ь вЂ” а) гп ах ! 1, (х) — [ з (х) /, где д[ = А[ь дз = А[в Следовательно, при )Л) < — ото- 1 А[ (Ь - а) бражение А будет сжимающим. 3. Уравнения В оп ь те р р а.
Рассмотрим, наконец, инте- гральное уравнение т и п а В о л ь т е р р а » ~ (х) = Л ~ К (х, у) 1 (у) ду + [р (х). (14) а имеет одно и только одно решение. Здесь, в отличие от уравнений Фредгольма, верхний предел в интеграле — переменная величина х. Формально это уравнение можно рассматривать как частный случай уравнения Фредгольма, доопределив функцию К равенством: К(х, у) = 0 при у ~ х.
Однако в случае интегрального уравнения Фредгольма мы были вынуждены ограничиться малыми значениями параметра Л, а к уравнениям Вольтерра принцип сжимающих отображений (н метод последовательных приближений) применим при всех значениях Л. Точнее, речь идет о следующем обобщении принципа сжимающих отображений. Пусть А — такое непрерывное отображение полного метрического пространства Я в себя, что некоторая его степень В = А" является сжатием; тогда уравнение Ах = х топологические пРОстРАнстВА вз Действительно, пусть х — неподвижная точка отображения В, т.
е. Вх = х. Имеем: Ах= АВьх= ВААх = В "х,— х (й-»оо), ибо отображение  — сжимающее, а потому последовательность Вха, В'хъ Взхо, ... для любого ха Вне сходится к неподвижной точке х отображения В. Следовательно, Ах=х. Эта неподвижная точка единственна, поскольку всякая точка, неподвижная относительно А, неподвижна и относительно сжимаюшего отображения А", для которого неподвижная точка может быть только одна. Покажем теперь, что некоторая степень отображения х А)у (х) = Л ~ К (х, у) ~ (у) Ну + ф (х) является сжатием. Пусть 11 и (з — две непрерывные функции иа отрезке (а, Ь) Тогда х 4АК () — АА()3 3у3!(Ка,у)а(уУ вЂ” ! Ууу Уу Л «(1Л! М (х — а) шах1 ~, (х) — (з (х) (.
Здесь М=шах1К(х, у) (. Отсюда (х — а)у ) Аз(', (х) — Ах(х (х) 1 ='1 Л 1з Мз " гпах 1 ~, (х) — ~з (х) ~ и, вообще, !А"~~(х) — А"~х(х)1-') Л1лМл, тл '!Л(лМ"т —, где т = шах1~, (х) — )з(х) 1. При любом значении Л число п можно выбрать настолько большим, что 1А )л А(л (Ь а)л (1, Тогда отображение А" будет сжатием. Итак, уравнение Воль- терра (14) при любом Л имеет решение, и притом единственное. й 5. Топологические пространства 1. Определение и примеры топологическик пространств.
Основные понятия теории метрических пространств (предельная точка, точка прикосновения, замыкание множества и т. д.) мы вводили, опираясь на понятие окрестности или, что, по сушеству, ве МЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА !ГЛ.!г то же самое, на понятие открытого множества. Эти последние понятия (окрестность, открытое множество) в свою очередь определялись с помощью метрики, заданной в рассматриваемом пространстве. Можно, однако, стать на другой путь и, не вводя в данном множестве )т метрику, непосредственно определить в )с систему открытых множеств посредством аксиом. Этот путь, обеспечивая значительно ббльшую свободу действий, приводит нас к гопологическим пространствам, по отношению к которым метрические пространства представляют собой хотя и весьма важный, но несколько специальный случай. Оп р е дел е н и е.
Пусть Х вЂ” некоторое множество — пространство-носитель. Топологией в Х называется любая система т его подмножеств 6, удовлетворяющая двум требованиям: 1'. Само множество Х и пустое множество 8 принадлежат т. 2'. Сумма () 6 любого (конечного или бесконечного) и а л пересечение П 6А любого конечного числа множеств из т при»=! надлежат т. Множество Х с заданной в нем топологией т, т. е. пара (Х, т), называется топологическим пространством. Множества, принадлежащие системе т, называются открытыми. Так же как метрическое пространство есть совокупность множества точек — «носителя» и введенной в этом множестве метрики, топологическое пространство есть совокупность множества точек и введенной в ием топологии.
Таким образом, задать топо- логическое пространство — это значит задать некоторое множество Х и задать в нем топологию т, т. е. указать те подмножества, которые считаются в Х открытыми. Ясно„что в о д н о м и то м ж е множестве Х можно вводить разные топологии, превращая его тем самым в различные топо- логические пространства. И все же топологическое пространство, т. е. пару (Х, т), мы будем обозначать о д н о й буквой, скажем, Т.
Элементы топологического пространства мы будем называть точкпми. Множества Т", 6, дополнительные к открытым, называются замкнутыми множествами топологического пространства Т. Из аксиом 1' и 2' в силу соотношений двойственности ($ ! гл. 1)' вытекает, что: 1. Пустое множество 8 и все Т замкнуты. 2. Пересечение любого (конечного или бесконечного) числа и сумма конечного числа замкнутых множеств замкнуты.
На основе этих определений естественно вводятся во всяком топологическом пространстве понятия окрестности, точки прикосновения, замыкания множества и т. д. Именно: ТОПОЛОГИЧВСКИЬ ПРОСТРАНСТВА Окрестностью точки х ~ Т называется всякое открытое множество 6 с: Т, содержащее точку х; точка х ы Т называется точкой прикосновения множества М ~ Т, если каждая окрестность точки х содержит хотя бы одну точку из М; х называется предельной точкой множества М„ если каждая окрестность точки х содержит хотя бы одну точку из М, отличную от х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
