Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Т е о р е м а 6'. Для того чтобы отображение 1' топологического пространства Х в топологическое пространство У было непрерывно, необходимо и достаточно, чтобы прообраз всякого замкнутого множества из У был замкнут (в Х). Легко убедиться, что образ открытого (замкнутого) множества при непрерывном отображении не обязательно открыт (замкнут). Рассмотрим, например, отображение полуинтервала ТОПОЛОГИЧЕСКНЕ ПРОСТРАНСТВА Х = [О, 1) на окружность. Множество ['/м 1), замкнутое в [О, 1), переходит при этом в незамкнутое множество на окружности (рис.
11). Отображение называется открытым, если оно переводит каждое открытое множество снова в открытое. Отображение, переводяшее каждое замкнутое мнозкество в замкнутое, называется ~® замкнутым. з ""Рр * бр й гр й "~ брч р аналогичная хорошо известной из анализа теореме о непрерывности ФЭ сложной функции. Теорема 7. Пусть Х, У иХ вЂ” то- Рпс.
) Н пологические пространства и пусть / и йр — непрерывные отображения Х е У и У е Я соответственно. Тогда отображение х йр(/(х) ) пространства Х в Я непрерывно. Доказательство этой теоремы сразу получается из теоремы 6. На топологические пространства распространяется понятие гомеоморфизма, введенное нами в э 1 для метрических пространств, а именно, отображение / топологического пространства Х на топологическое пространство У называется гомеоморфизмом, если оно взаимно однозначно и взаимно непрерывно; пространства Х и У при этом называют гомеоморфными.
Гомеоморфные пространства обладают одними и теми же топологическими свойствами, и с топологической точки зрения их можно рассматривать просто как два экземпляра одного и того же пространства. Топологии в двух гомеоморфных пространствах служат образами и прообразами друг друга. Отношение гомеоморфности рефлексивно, симметрично и транзитивно; поэтому любая совокупность топологических пространств распадается на непересекающиеся классы гомеоморфных между собой пространств. 3 а меч ание.
Следует иметь в виду, что метрические свойства двух гомеоморфных между собой метрических пространств могут быть различны '). Так, одно из них может быть полно, а другое — нет. Например, интервал ( — и/2, и/2) гомеоморфен числовой прямой (соответствующий гомеоморфизм можно задать функцией х — ь1й х), но при этом прямая — полное пространство, а интервал — нет. ') Метрика простразстза )с однозначно определяет его топологзкч ко зе ваоборот: одну и ту же топологярз з к = (Х,р) можно получвть, задавая в Х различные метрики.
94 АтетРнческне н топологические пРостРАнствА [Гл.п 6. Аксиомы отделимости. Хотя многие из основных понятий теории метрических пространств легко переносятся на произвольные топологические пространства, все же такие пространства представляют собой объект, слишком общий с точки зрения задач анализа. Здесь возникают ситуации, существенно отличающиеся от того, что может иметь место в метрических пространствах. Так, мы видели, что конечное множество точек в топологическом пространстве может быть не замкнутым (пример 4, стр. 85) и т.
п. Среди топологнческих пространств можно выделить пространства, более близкие по своим свойствам к пространствам метрическим, Для этого следует к аксиомам 1' и 2' топологического пространства (стр. 84) присоединить еше те или иные дополнительные условия. Такими условиями служат, например, аксиомы счетности; они позволяют изучать топологию пространства на основе понятия сходимости.
Другой важный тип дополнительных условий составляют требования иной природы — так называемые аксиомы отделимости. Мы перечислим эту серию аксиом в порядке их постепенного усиления. Аксиома Т1 (первая аксиома отделимости): для любых двух различных точек х и у пространства Т существуют окрестность О„точки х, не содержащая точку у, и окрестность ОР точки у, не содержащая точки х. Пространства, удовлетворяющие этой аксиоме, называются Т,-пространствами. Примером топологического пространства, не являющегося Т,-пространством, может служить связное двоеточие. В Т,-пространстве любая точка есть замкнутое множество.
Действительно, если х ~ у, то существует окрестность О„точки у, не содержащая х, т. е. уФ [х[. Поэтому [х[ =х. Следовательно, в Тппространстве замкнуто и любое конечное множество точек. Более того, как легко проверить, аксиома Т, в точности равносильна требованию замкнутости всех таких множеств. Выше (см. стр. 85) мы определили предельную точку х множества М в топологическом пространстве Т как такую точку, для которой пересечение У [) М' (х) непусто.
Здесь У вЂ” произвольная окрестность точки х. В пространствах, не удовлетворяющих аксиоме Ть предельные точки могут иметь даже множества М, состоящие только из конечного числа точек. Пусть Т вЂ” связное двоеточие с топологией, состоящей из [В, (Ь) и (а, Ь), Тогда точка а является предельной для множества М = (Ь). В Т,-пространствах такое явление уже не может иметь места. Именно, верно следующее утверждение. Л е м м а. Для того чтобы точка х была предельной для мноеквства М в Т;-пространстве, необходимо и достаточно, чтобы топологические пгостганствА 95 любая окрестность сГ этой точки содержала бесконечно много точек иэ М. Достаточность этого условия очевидна.
Установим его необходимость. Пусть х — предельная точка для М; допустим, что Оушествует такая окрестность с' точки х, которая содержит только конечное число точек из М. Пусть хь хз, ..., х„— все этн точки, кроме самой х (если таковая принадлежит М). Тогда У = 0 — (хь ..., х„) — окрестность х и Р П М ', (х) = Ы. Всякое метрическое пространство заведомо является Тппространством. Поэтому за определение предельной точки множества в метрическом пространстве и было принято свойство, укаэанное в лемме. Усилением первой аксиомы отделимости является аксиома Т,.
Аксиома Тз (вторая, или хаусдорфова, аксиома отделимости): любые две различные точки х и у топологического пространства Т имеют непересекающиеся окрестности О„и О„. Пространства, удовлетворяющие этой аксиоме, называются Т;пространствами, или хаусдорфовыми пространствами, Всякое 6 ' аусдорфово пространство есть Ткпространство, но не наоборот. римером не хаусдорфова Ткпространства может служить отрезок [О, 1[, в котором открытыми считаются пустое множество и все множества, получающиеся из отрезка выбрасыванием не более чем счетного числа точек, Аксиома Т, (трегья аксиома отделимости): любая точка н не содержащее ее замкнутое множество имеют непересекающиеся окрестности.
При этом окрестностью множества М в топологическом пространстве Т называется всякое открытое множество сГ, содержащее М. Этой аксиоме можно дать следующую эквивалентную формулировку: Любая окрестность 0 произвольной точки х содержит меньшую окрестность той же точки, входящую в 0 вместе со своим замыканием. Читатель может доказать это в качестве упражнения. Поскольку в произвольном топологическом пространстве точка может не быть замкнутым множеством, третья аксиома отделимости интересна только для пространств, удовлетворяющих аксиоме Ть Пространства, удовлетворяющие обеим аксиомам Т1 и Тм называются регулярными. Всякое регулярное пространство, разумеется, хаусдорфово.
Примером хаусдорфова пространства, не являющегося регулярным, может служить отрезок [О, 1[, в котором окрестности всех точек, кроме точки О, определяются обычным способом, а окрестностями нуля считаются всевозможные полуннтервалы [О, а), нз которых выкинуты точки вида 1/л (а = 1, 2, ...). Это — хаусдорфово пространство, но в нем точка 0 и не содержащее ее вв мвтрнчнскив и тонологичвскнв пространства ~гл и аамкнутое множество [1(п) не отделимы друг от друга непере секающнмися окрестностями, т. е. аксиома Т, не выполнена. Обычно в анализе не приходится встречаться с простран ствами более общими, чем регулярные.
Более того, как правило, интересные с точки зрения анализа пространства удовлетворяют и следуюшему более сильному требованию, так называемой н о р м а л ь н о с т и пространства. Аксиома Т, (аксиома нормальности): Тыпространство называется нормальным, если в нем всякие два непересекающихся замкнутых множества имеют непересекающиеся окрестности. К нормальным пространствам относятся, в частности, все метрические пространства. Действительно, пусть Х и У вЂ” два непересекающихся замкнутых множества в метрическом пространстве В.
Каждая точка х ~ Х имеет окрестность О„, не пересекающуюся с У и, следовательно, находится от У на некотором положительном расстоянии Р,. Аналогично расстояние каждой точки уев У от Х есть положительная величина р„. Рас. смотрим открытые множества ') () = ( ) В (х, р„/2) и У = ( ) В (у, р„/2), содержашие Х и У соответственно, и покажем, что их пересечение пусто. Допустим, что х ~ () П )г. Тогда в Х существует такаЯ точка хв, что Р(х„з) < Р„/2, а в У вЂ” такаЯ точка Ус, что р (г, у,) < р„/2. Пусть для определенности р, ~( р„, Тогда Р (хс уе) < р (хе х) + Р (г, хс) < Рл /2 + Рд,/2 < Рв, т.
е. х,епВ(уе, р„), но это противоречит определениюр . Наше утверждение доказано. Всякое подпространство метрического пространства само является метрическим пространством и поэтому всегда обладает свойством нормальности. Это, вообще говоря, неверно для произвольных нормальных пространств: подпространство нормального пространства не обязано быть нормальным.
Таким образом, нормальность пространства не есть н а с л е д с т в е и и о е свойство ') . Наследственным свойством является так называемая полная регулярность топологических пространств, представляющая собой важное усиление свойства регулярности. Топологнческое Т,-пространство называется вполне регулярным, если для каждого замкнутого множества Р с Т и каждой точки хаев Т', Е существует непрерывная на Т действительная функция /, равная ') Здесь, кан обычно, В(х, г] — открытый шар радиуса с с пентром х. е) Свойство Р называется наследственным, если нз того, что нм обладает данное тапплагнческое пространство Г, следует, чтп нм обладают н все егп ппдпространства, ТОПОЛОГНЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА вт пулю в точке хо, единице на г' и удовлетворяющая условию () <1(х) < 1. Всякое нормальное пространство вполне регуляр„о '), но не обРатно.
Любое поДпРостРанство вполне РегУлЯРного (в частности, нормального) пространства само вполне регулярно. А. Н. Тихонов, которому принадлежит и само понятие вполне регулярного пространства, показал, что класс вполне регулярных пространств совпадает с классом всех подпространстч нормальных пространств. С точки зрения анализа вполне регулярные пространства важны потому, что на всяком таком пространстве имеется «достаточно много» непрерывных функций, именно, для любых различных точек х, у вполне регулярного 'пространства Т существует определенная на Т непрерывная вещественная функция, принимающая в этих точках различные значения.
7. Различные способы задания топологии в пространстве. Метризуемость. Самый прямой способ задать топологию в некотором пространстве состоит в том, чтобы непосредственно указать те множества, которые мы считаем открытыми. Набор этих множеств должен удовлетворять требованиям 1' и 2 (см. стр. 84). Равносильный этому двойственный способ — указать набор замкнутых множеств. Такой набор должен, очевидно, удовлетворять условиям 1 и 2 (стр. 84).
Однако фактически этот способ редко может быть применен. Так, например, даже в случае плоскости вряд ли можно дать непосредственное описание в с е х открытых подмножеств (как это удается сделать для прямой (теорема 5 5 2)). Распространенный способ задания топологии состоит в выборе некоторой базы; фактически именно так и вводится топология в метрических пространствах, где мы, опираясь на метрик, задаем базу — совокупность открытых шаров.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
