Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Из определения точки прикосновенна непосредственно получаем, что р(х,М) О в том и только том случае, когда х — точка прикосновенна множества М. Таким образом, операцию замыкания можно определить как присоединение к множеству всех тех точек, расстояние которых до множества равно нулю.
(2) Аналогично определяется расстояние между двумя множествами. Если А,  — два множества в метрическом просгранстве )1, то р(А, В) = 1п1 р(а, Ь). ам я ьыв Если А ОВ чь ЕГ та р(А,В) = О; обратное, вообще говоря, неверно. (3) Пусть Мк; — множество всех функций [ из С[а, Ь), удовлетворяющих условию липшицат' для всех гь г, св [а, ь) ! Г (1з) — [ ((з) ! < К ! (з — (з [, где К вЂ” некоторое фиксированное числа, Множество Мк замкнуто. Оно совпадает с замыканием множества всех дифференцируемых на [а, Ь) функций таких, что [['(1) ! < К (4) множество м = ~ мк всех функций, каждая нз которых удовлетворяет условию Липшица ари каком-либо К, не замкнуто. Его замыкание есть все С[а, Ь[.
(5) Открытое множество С в л-мерном евклндовом пространстве называется связным, если любые две тачки х,у ш С могут быть соединены ломаноа, целиком лежащей в С. Например, внутренность круга х'+у'<1— связное множество. Наоборот, сумма двух кругов х'+ у' < 1 и (» — 2)'+ у' < 1 — ие связное множество (хотя у этих кругов есть общая точка прикосновения!).
Открытое подмножества Н открытого множества С называется компонентой множества С, если оно связано и не содержится нн в каком большем связном открытом подмножестве С. Введем в С отношение эквивалентности: вв метрические и топологичиские ппостпаиствх (гл. и к — у, если существует открытое связное подмножество Н нэ С, накрываю. щее к и у: к, успНс=С. Как н в случае прямой, легко проверяется транзнтивность н поэтому С рас. падается на непересекающиеся классы: С 01. Эти классы — открытые компоненты С.
Число их не более чем счетно. В случае л = 1, т. е. на прямой, всякое связное открытое множество есть интервал (в число интервалов включаются и бесконечные интервалы ( — со, а), (Ь, оо) и ( — сч, сч)). Таким образом, теорема 5 о строении открытых множеств на прямой состоит нз двух утверждений): а) всяное отнрытое множество на прямой есть сумма конечного или счетного числа компонент и б) связное открытое множество на прямой есть интервал.
Первое из этих утверждений верно н для множеств в н-мерных евклндовых пространствах (н допускает дальнейшие обобщения), а второе относится именно к прямой. $ 3. Полные метрические пространства 1. Определение и примеры полных метрических пространств. С первых шагов изучения математического анализа мы видим, сколь важную роль играет в анализе свойство полноты числовой прямой, т. е.
тот факт, что всякая фундаментальная последовательность действительных чисел сходится к некоторому пределу. Числовая прямая служит простейшим примером так называемых полных метрических пространств, основные свойства которых мы рассмотрим в этом параграфе. Последовательность (х4 точек метрического пространства 1т мы будем называть фундаментальной, если она удовлетворяет критерию Коши, т.
е. если для любого е > О существует такое число Лг„что р(х„, х„.) < е для всех п') М„пн > 1с(а, Из аксиомы треугольника непосредственно следует, что всякая сходящаяся последовательность фундаментальна. Действительно, если (х4 сходится к х, то для данного е > О можно найти такое число Ж„что р(х„, х) <е12 для всех п) Ж,. Тогда Р (х„, х„.) .. Р (х„, х) + Р (х„-, х) < и длЯ любых п' > Уа и п" > йга. Определен не 1. Если в пространстве )с любая фундаментальная последовательность сходится, то это пространство называется полным.
П р и м е р ы. Все пространства, рассмотренные в $1, за исключением указанного в примере 8, полные. Действительно: 1. В пространстве изолированных точек (прнмер 1 $ !) фундаментальны только стационарные последовательности, т. е. такие, в которых, начиная с некоторого номера, повторяется все время одна и та же точка.
Всякая такая последовательность, конечно, сходится, т, е, это пространство полно. 2. Полнота евклидова пространства 1(с — совокупности действительных чисел — известна из анализа. 3. Полнота евклидова пространства (са непосредственно вытекает из полноты 1('. В самом деле, пусть (хсг1) — фундамен- е з> ПОЛНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА тальная последовательность точек из 11"; зто означает, что для каждого е О найдется такое У = У„ что Й °вЂ” (х>АР> — х>ы)з < ее при всех р, 7 ббльших, чем У. Здесь х>Р> =(х>Р>, ..., х>Р>). Тогда для каждого й = 1, 2„..., и получаем соответствующее неравенство для координаты х>АР>: ~х>АР> — х>АР>~ < е для всех р, » ) У, т.
е. (х>АР>) — фундаментальная числовая по- следовательность. Положим х = 1пп х'Р' и х=(х„х,, ..., х„). Р + Тогда, очевидно, !!Тп х'Р> = х. Р .+ 4 — 5. Полнота пространств )с" и Й>' доказывается совершенно аналогично. 6. Докажем полноту пространства С[а, Ь). Пусть (х„(1))— некоторая фундаментальная последовательность в С!а, Ь).
Это означает, что для каждого е ~ О существует такое У, что !х„(1) — х (1)!<е при и, т ) У для всех 1, а < 1< Ь. Отсюда вытекает, что последовательность (х~(1)) равномерно сходится. Как известно, в атом случае ее предел х(1) будет непрерывной функцией. Устремляя в предыдущем неравенстве т к бесконечности, получим ! х„(1) — х(1) !~<в для всех 1 и для всех и ) У, а зто и означает, что (х~(1)) сходится к х(1) в смысле метрики пространства С !и, Ь), 7. Пространство 1в Пусть (хо'>) — фундаментальная последовательность в 1в Это означает, что для любого е ) О найдется такое У, что р'(хы>, хаю) = 7.
(хьа — ха">)е < е при и, т > У. (1) А > Здесь х! >=(х',">, хьв, ..., ххье, ...) Из (1) следует, что при любом й (х~'> — хАР">)е<е, т. е. при каждом е последовательность действительных чисел (х") фундаментальна и потому сходится. 68 МЕТРИЧРСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА !ГЛ. и (2) Положим хй=!Нп х~'!.
Обозначим через х последовательность а~ (хи хь ...хй, ...). Нужно показать, что; а) )'„х~ < Во, т. е. х я-!, й-! б) 1пп р(х!"!, х)=0. а~ Сделаем это. Из неравенства (1) следует, что для любого фикси- рованного М м ~ (х1"! — х~"'!)й ( е. й ! В этой сумме теперь только конечное число слагаемых, и мы мо- жем, зафиксировав а, перейти к пределу при ай-~. Во. Получим Х (хоп! — хй)й(е. й-! Это равенство верно при любом М. Восстановим бесконечный ряд, переходя к пределу при М -ьРР; получаем ~ (х<"! — х )'~(е. Из сходимости рядов ~ (х1'!)' и ~ (х1" — хй)' следует сходи- ~! й-! масть ряда Е хай (в силуэлементарного неравенства (а+ Ь)й< й-! < 2(ай+ Ьй)), т.
е. утверждение а) доказано. Далее, так как е произвольно малб, то неравенство (2) означает, что !нп р (х!"', х) = Вгп Х (хм! — х )' = (), и-й,ю л~ й ! т. е. х!">-Р х в метрике!ь Утверждение б) доказано. 8. Легко убедиться в том, что пространство Сй(а, Ь] не полно. Рассмотрим, например, последовательность непрерывных функ- ций — 1 при — 1(~!< — 1/а, Ч!„(Г) = аг при — 1/а ( г < 1/п, 1 при 1/л(Г(1. Она фундаментальна в Сй( — 1, !), так как ! $(р„(г)- р (!))й!(1< ! 69 полные метрические простилнствл 9в! Однако она не сходится ни к какой функции из Св( — 1, !).
Действительно, пусть ! — некоторая функция из Св( — 1, 1] и ф— разрывная функция, равная — 1 при 1(0 и +1 при 1) О. В силу интегрального неравенства Минковского (справедливого, очевидно, и для кусочно-непрерывных функций) имеем В силу непрерывности функции 1 интеграл в левой части отличен рт нуля. Далее, ясно, что ! ! пп ~ (ф„(1) — ф (1))в г(1 = О. в 'Ф Оь -! Поэтому ~(1(!) — ф„(1))вЖ не может стремиться к нулю при — ! и-ь оа, Упри ж не н не. Дахвввть, чта прастрвнство всех ограниченных послеаоввтельностей (пример 9 9 !) полна.
2. Теорема о вложенных шарах. В анализе широко используется так называемая лемма о вложенных отрезках. В теории метрических пространств аналогичную роль играет следующая теорема, называемая теоремой о вложен н ы х шарах, Теорем а 1. Для того чтобы метрическое пространство !с было полным, необходимо и достаточно, чтобы в нем всякая последовательность вложенных друг в друга замкнутых шаров, радиусы которых стремятся к нулю, имела непустое пересечение. Доказательство. Н ео бход им о с т ь. Пусть пространство Я полно и пусть В„ Вв„ Вв, ... — последовательность вложенных друг в друга замкнутых шаров. Пусть гв — радиус, а х„— центр шара В„. Последовательность центров (х„) фундаментальна, поскольку р(х„,х,„) - т„при гп) и, а т„-ьО при и-ь . Так как Л полно, то !пп х, существует.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
