Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 11
Текст из файла (страница 11)
р 1 / 2 Таким образом, утверждение леммы доказано для и = т + 1, а следовательно, и вообще для всех и. Лемм а 2. Какова бы ни была конечная система множеств Аь ..., А„, принадлежащих полукольцу ю, в Я найдется такая конечная система попарно непересекающихся множеств Вь ... ..., Вь что каждое Ад может быть представлено в виде суммы Аь — — () В, ч мь некоторых из множеств В„.
Доказательство. При и = 1 лемма тривиальна, так как достаточно положить 1= 1, В1= Аь Допустим, что она справедлива для и = т, и рассмотрим в Я некоторую систему множеств Аь ..., А, А +и Пусть Вь Вм ..., В~ — множества из Ь, удовлетворяющие условиям леммы по отношению к Аь Аь ...
, Аы Положим В„= А ч.,()В,. В силу леммы 1 имеет место разложение ч А„+,= () в„() () в',, в', =6, ч=! р=~ а в силу самого определения полукольца имеет место разложение в,=в„()в„() ... ()В,1 в„ Легко видеть, что А,= () ЦВ, у=1,2,...,т, ю~мь ! и что множества Р веь в„ попарно не пересекаются. Таким образом, множества Всь Вр удовлетворяют условиям леммы по отношению к Аь ..., А, А ць 3. Кольцо, порожденное полукольцом.
Мы уже видели в п.1, что для каждой системы множеств Ж существует единственное минимальное кольцо, содержащее Я. Однако для произвольной системы Ж фактическое построение кольца И(Ь) по Я довольно сложно. Оно становится вполне обозримым в том важном случае, когда Ж представляет собой полукольцо.
Это построение дается следующей теоремой. $ б! системы множеств Теор ем а 3, Если Ь вЂ” полукольцо, то %(Ь) совпадает с си-. стемой Я множеств А, допускающих конечные разложения А= () А» на множества А» ~ С,. Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем, что система 3 образует кольцо. Если А н  — два произвольных множества из Я, то имеют место разложения Л= Ц А„В= Ц В!, А!енб, В;яЯ. 1=! ' г=! Так как ю — полукольцо, то множества Сц — — А! П В! тоже входят в Ж. В силу леммы 1 имеют место разложения Г! Я! А!= () С!!() Ц Р!», В! — — () С!г0 () Егь (2) »=! ! !=! где О!», Ед ен Ь.
Из равенств (2) вытекает, что множества Л П В и А т.'» В допускают разложения ЛПВ= Ц Сц, АЛВ= 0П!»() () Е!! 1,1 !» л! и, следовательно, входят в 3. Таким образом, Я действительно представляет собой кольцо; его минимальность среди всех колец, содержащих Ь, очевидна.
4. и-алгебры. В различных вопросах, в частности, в теории меры, приходится рассматривать суммы и пересечення не только конечного, но и счетного числа множеств. Поэтому целесообразно, помимо понятия кольца множеств, ввести еще следующие понятия. Определение 3. Кольцо множеств называется о-кольцом, если оно вместе с каждой последовательностью множеств А!, А»,..., А„, ... содержит сумму 5=() А„. и Определение 4. Кольцо множеств называется б-кольцом, если оно вместе с каждой последовательностью множеств А!, Ам ..., А„, ... содержит пересечение В=ПА„. !! Естественно назвать и-алгеброй о-кольцо с единицей и 6-алееброй 6-кольцо с единицей.
Легко, однако, видеть, что эти два элементы твовии множеств [гл. 1 понятия совпадают: каждая а-алгебра является в то же время б-алгеброй, а каждая 6-алгебра — а-алгеброй. Это вытекает из соотношений двойственности (см. 5 1) () А„=Е~П(В А„), ДА„=В;))(В~А„). Простейшим примером а-алгебры является совокупность всех подмножеств некоторого множества А. Если имеется некоторая система множеств Ж, тр всегда существует хотя бы одна о-алгебра, содержащая эту систему. Действительно, положим Х=() А и рассмотрим систему З всех подмножеств множества Х. Ясно, что 3 есть о-алгебра, содержащая Я.
Если Ь вЂ” произвольная а-алгебраз содержащая чэ и Х вЂ” ее единица, то каждое А гни содержится в Х и, следовательно, Х = ( ) А с: Х. Назовем а-алАг в гебру 3 нелриводимой (по отношению к системе Я), если Х= А. Иначе говоря, неприводимая а-алгебра — это а-алгебра, л~ э не содержащая точек, не входящих ни в одно из А е= Я. Есте- ственно в каждом случае рассмотрением только таких а-алгебр и ограничиваться. Для неприводимых в-алгебр имеет место теорема, аналогич- ная теореме 2, доказанной выше для колец.
Теорема 4. Для любой непустой системы множеств Я су- ществует нелриводимая (ло отношению к этой системе) а-алгеб- ра З(Ж), содержащая Ж и содержащаяся в любой а-алгебре, содержащей е. Д о к а з а т е л ь с т в о проводится в точности тем же методом, что и доказательство теоремы 2; а-алгебра 6(Сэ) называетгя минимальной о-алгеброй над системой Ь. В анализе важную роль играют так называемые борелевские множества, или В-множества — множества на числовой прямой, принадлежащие минимальной а-алгебре над совокупностью всех сегментов (а, Ь), 5. Системы множеств и отображения. Отметим следующие факзы, которые нам понадобятся при изучении измеримых функций. Пусть у = 1(к) — функция, определенная на множестве М и принимающая значения нз множества Ф, и пусть К вЂ” некоторая система подмножеств множества М.
Обозначим через 1" (м)) си- стему всех образов )(А) множеств, принадлежащих И. Пусть, кроме того, Й вЂ” некоторая система множеств, содержащихся системы мнОжестВ 47 Фм в В1, и 1 '(%) — система всех прообразов 1'-'(А) множеств, входящих в %. Справедливы следующие утверждения, проверка которых предоставляется читателю: 1) Если Я есть кольцо, то и ~ (й) есть кольцо. 2) Если В) есть алгебра, то и ~ '(й) есть алгебра. 3) Если й есть о-алгебра, то и 1 (й) есть о-алгебра. 4) 9)(1 (Я))=1 (Я(Р))).
5) 3(1 '(Я))=7 '(3(Я)). Останутся ли эти утверждения справедливыми, если ~ заменить на 1, а Я вЂ” на ЯР ГЛАВА И МЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА й 1. Понятие метрического пространства 1. Определение и основные примеры. Одной из важнейших операций анализа является предельный переход. В основе этой операции лежит тот факт, что на числовой прямой определено расстояние от одной точки до другой. Многие фундаментальные факты анализа не связаны с алгебраической природой действительных чисел (т.
е. с тем, что они образуют поле), а опираются лишь на понятие расстояния. Обобщая представление о действительных числах как о множестве, в котором введено расстояние между элементами, мы приходим к понятию метрического п р о с т р а н с т в а — одному нз важнейших понятий современной математики. Ниже мы изложим основные факты теории метрических пространств и их обобщения — топологических пространств.
Результаты этой главы существенны для всего дальнейшего изложения. О п р е дел е н и е. Метрическим пространством называется пара (Х, р), состоящая из некоторого множества (пространства) Х элементов (точек) и расстояния, т. е, однозначной, неотрицательной, действительной функции р(х, д), определенной для любых х и у из Х и подчиненной следующим трем аксиомам: 1) р(х, д) = О тогда и только тогда, когда х = у, 2) р(х, д) = р(у, х) (аксиома симметрии), 3) р(х, г) ( р(х, д)+ р(у, г) (аксиома треугольника). Само метрическое пространство, т.
е. пару (Х, р), мы будем обозначать, как правило, одной буквой: Л=(Х, р), В случаях, когда недоразумения исключены, мы будем зачастую обозначать метрическое пространство тем же символом, что и сам кзапас точек» Х. Приведем примеры метрических пространств. Некоторые из этих пространств играют в анализе весьма важную роль.
!. Положив для элементов произвольного множества 1 О, если х=у, 1~ 1, если хну, ПОНЯТИЕ МЕТРИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА 49 Ьп мы получим, очевидно, метрическое пространство. Его можно назвать пространством изолированных точек. 2. Множество действительных чисел с расстоянием р(х, у)=! х — у! образует метрическое пространство Ь(!. 3.
Множество упорядоченных групп из и действительных чисел х = (х„хъ ., х„) с расстоянием р(х,у)=1 ~:(уд-хд)а д=! называется и-мерным арифметическим евклидовым пространством )сл. Справедливость аксиом !) и 2) для (хи очевидна. Покажем, что в Й выполнена и аксиома треугольника. Пусть х =(хп ..., х„), у =(уь, ..., у„) и г =(г„..., г„); тогда аксиома треугольника записывается в виде л / л / л Е (гд — хд)' ( '~/ Х (уд — хд)' + '~/! Х (гд — уд)' (2) д=! д=! д=! Полагая уд — хд = ад, гд — уд = Ьд, получаем гд — х, = ад+ Ьд, а неравенство (2) принимает при этом вид л ( Х ,ь,) л Е Ч Й ь!. (4) Действительно, в силу этого неравенства имеем л и и л Х (а„+Ь )а=д~ а',+ 2 2 а Ьд+ ~ Ь'д~( лх ,'.ь-2 т/е , '° е ь!ь г ь!=(и/г ,'-!- ьугь!) тем самым неравенство (3), а следовательно и (2), доказано.
') Неравенство Коши — Буняковского вытекает нз тождества л 2 л л л и ~ адье) = ~~ь ад~~ Ьд — — ~~ь ~~' (а Ь вЂ” Ььа )', д=! д=! д-! ь-ьг=! которое проверяется непосредственно, Но это неравенство сразу следует из известного неравенства Коши — Буняковского ') бО МЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ.И (7) 4. Рассмотрим то же самое множество упорядоченных групп из и действительных чисел х =(х!..., х„), но расстояние опре- делим в нем формулой а р,(х, у) = ~ ! х» — у» !. (5). » ! Справедливость аксиом !) — 3) здесь очевидна. Обозначим это метрическое пространство символом Й!. 5. Возьмем снова то же самое множество, что и в приме- рах 3 и 4, и определим расстояние между его элементами фор- мулой р (х, у) = гпах ! у» — х» !.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
