Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 7
Текст из файла (страница 7)
ф»! эквивхлвнтность множеств понятия мощности 29 Весьма глубокий вопрос о существовании мощностей, промежуточных между Х» и с, будет затронут ниже в $4. Как правило, бесконечные множества, встречающиеся в анализе, илн счетны, или имеют мощность континуума. Для мощностей конечных множеств, т. е. для натуральных чисел кроме понятия равенства имеются также понятия «больше» и «меньше». Попытаемся распространить эти последние на бесконечные мощности.
Пусть А н  — два произвольных множества, а гп(А) н и!(В) — нх мощности. Тогда логически возможны следующие случаи: 1. А эквивалентно некоторой части множества В, а В эквивалентно некоторой части множества А. 2. А содержит некоторую часть, эквивалентную В, но в В нет части, эквивалентной А.
3. В содержит некоторую часть, эквивалентную А, но в А нет части, эквивалентной В. 4. Ни в одном из этих двух множеств нет части, эквивалентной другому. В первом случае множества А и В в силу теоремы Кантора— Бернштейна эквивалентны между собой, т.
е. гп(А) = пг(В). Во втором случае естественно считать, что пг(А) ) гп(В), а в третьем, что гп(А) ( гп(В). Наконец, в четвертом случае нам пришлось бы считать, что мощности множеств А и В несравнимы между собой. Но на самом деле этот случай невозможен! Это следует из теоремы Церыело, о которой речь будет идти в ф 1. Итак, любые два множества А и В либо эквивалентны между собой (и тогда т(А) = т(В)), либо удовлетворяют одному из двух соотношений: гп(А) ( тп(В) или т(А) ) т(В).
Мы отметили выше, что счетные множества — это «самые маленькие» из бесконечных множеств, а затем показали, что существуют и бесконечные множества, бесконечность которых имеет более «высокий порядок»,— это множества мощности континуума. А существуют ли бесконечные мощности, превосходящие мощность континуума? Вообще, существует ли какая-то «наивысшая» мощность или нет? Оказывается, верна следующая теорема. Теорем а 3. Пусть М вЂ” некоторое множество и пусть в))— множество, элементами которого являются всевозможные подмножества множества М. Тогда % имеет мощность ббльшую, чем мощность исходного множества М.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Легко видеть, что мощность ж множества 3)) не может быть меньше мощности гп исходного множества М; действительно, «одноэлементные» подмножества из М образуют в ь)) часть, эквивалентную множеству М. Остается доказать, что мощности яг и т не совпадают. Пусть между элементами а, 6, ... множества М и какими-то элементами А, В, ... множе- ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ !Гл. [ зо ства 9)) (т. е.
какими-то подмножествами из М) установлено взаимно однозначное соответствие а А, о В. Покажем, что оно наверняка не исчерпывает всего в)). Именно, сконструируем такое множество Х с:. М, которому не соответствует никакой элемент из М. Пусть Х вЂ” совокупность элементов из М, не входящих в те подмножества, которые им соответствуют.
Подробнее: если а А и а ее А, то элемент а мы не включаем в Х, а если а А и а ~ А, то мы включаем элемент а в Х. Ясно, что Х есть подмножество множества М, т. е. некоторый элемент из %. Покажем, что подмножеству Х не может соответствовать никакой элемент из М. Допустим, что такой элемент х Х существует; посмотрим, будет ли он содержаться в Х или нету Пусть х~ Х; но ведь по определению в Х входит в с я к и й элемент, не содержащийся в подмножестве, которое ему соответствует, следовательно, элемент х должен быть включен в Х. Обратно, предположив, что х содержится в Х„мы получим, что х не м о ж ет содержаться в Х, так как в Х включеньг только те элементы, которые не входят в соответствующие им подмножества. Итак, элемент х, отвечающий подмножеству Х, должен одновременно и содержаться и не содержаться в Х. Отсюда следует, что такого элемента вообще не существует, т.
е. что взаимно однозначного соответствия между элементами множества М и всеми его подмножествами установить нельзя. Теорема доказана. Итак, для любой мощности мы действительно можем построить множество большей мощности, затем еще большей н т. д., получая, таким образом, не ограниченную сверху шкалу мощностей. 3 а меча н и е. Мощность множества 9)) обозначают символом 2, где т — мощность М.
(Читатель легко поймет смысл этого обозначения, рассмотрев случай конечного М.) Таким образом, предыдущую теорему можно выразить неравенством гп ( 2 . В частности, при гп = Ьэ получаем неравенство Иэ ( ( 2 '. Покажем, что 2 '= И, т. е. покажем, что мощность мноаь йь жества всех подмножеств натурального ряда равна мощности континуума. Разобьем подмножества натурального ряда на два класса, 9 и Ф, — на те (класс ф), у которых дополнение бесконечно„и на те (класс Ф), у которых оно конечно.
К классу Ф относится, в частности, сам натуральный ряд, ибо его дополнение пусто. Число подмножеств в классе Ф счетно (доказать). Класс Ф не влияет на мощность множества г)) = ф () Ф. Между подмножествами класса )3 и действительными числами и из полусегмента (О, 1) можно установить взаимно одио- упорядоченные множества. трлнсоинитные числя 21 лначное соответствие. Именно, сопоставим подмножеству А еи г[) число и, О ( и ( 1, с двоичным разложением = — + — э+ + — + е~ еэ е„ 2' ''' 2" где е = 1 или О в зависимости от того, принадлежит ли и множества А или нет. Проверку деталей предоставляем читателю.
У п р а ж н е н и е, Доказать, что совокупность всех числовых функций (или нообше функций, принимаюших значения в множестве, содержашем ие менее двух элементов), определенных на некотором множестве М, имеет мошность большую, чем мошность множества М. Указание. Воспользоваться тем, что множество всех индикаторов, т. е. функций на М, принимаюшнх только два значения, 0 и В эквивалентно множеству всех подмножеств из М. й 4.
Упорядоченные множества. Трансфинитиые числа В этом параграфе изложен ряд понятий, связанных с идеей упорядоченности множеств. Мы ограничимся здесь самыми пер- воначальными сведениями; более подробное изложение можно найти в литературе, указанной в конце книги. 1.
Частично упорядоченные множества. Пусть М вЂ” произ- вольное множество и ср — некоторое бинарное отношение в нем (определяемое некоторым множеством Йя с: М ХМ). Мы назо- вем это отношение частичной упорядоченностью, если оно удов- летворяет условиям: 1) рефленсивности; асра, 2) транзитивности: если асрЬ и Ьсрс, то асрс, 3) антисимметричности: если асрЬ и Ьсра, то а =- Ь. Частичную упорядоченность принято обозначать символом (. Тайим образом, запись а ( Ь означает, что пара (а, Ь) принад- лежит соответствуюшему множеству )т'и.
Про элемент а при этом говорят, что он не превосходит Ь или что он подчинен Ь. Множество, в котором задана некоторая частичная упорядочен- ность, называется частично упорядоченным. Приведем примеры частично упорядоченных множеств. 1. Всякое множество можно тривиальным образом рассмат- ривать как частично упорядоченное, если положить а ( Ь в том и только том случае, когда а = Ь. Иначе говоря, за частичную упорядоченность всегда можно принять бинарное отношение то- ждества е. Этот пример не представляет, конечно, большого ин- тереса.
2. Пусть М вЂ” множество всех непрерывных функций на от- езке [и, р). Положив ) = д в том и только том случае, когда (1)'( д(1) для всех 1, а < 1 < б, мы получим, очевидно, частич- ную упорядоченность. 32 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ [ГЛ. ! 3.
Множество всех подмножеств некоторого фиксированного множества частично упорядочено по включению: М|< Мх означает, что М1 ~ Мя. 4. Множество всех натуральных чисел частично упорядочено, если а «- Ь означает «Ь делится без остатка на а>. Пусть М вЂ” произвольное частично упорядоченное множество. В случае, когда а < Ь и а чь Ь, мы будем пользоваться символом <, т. е. писать а < Ь и говорить, что а меньше Ь или что а строго подчинено Ь. Наряду с записью а < Ь мы будем пользоваться равносильной записью Ь ~ а н говорить прн этом, что Ь не меньше а (больше а, если Ь чь а) или что Ь следует за а.
Элемент а называется максимальным, если из а < Ь следует, что Ь = а, Элемент а называется лшмимальным, если из с < а следует„что с = а. Частично упорядоченное множество, для любых двух точек а, Ь которого найдется следуюпгая за ннмн точка с (а ~» с, Ь «» с), называется направленныхс 2..Отображения, сохраняющие порядок. Пусть М и М'— два частично упорядоченных множества и пусть ) есть отображение М в М'. Мы скажем, что это отображение сохраняет порядок, если из а «Ь, где а, Ь еп М, следует, 1(а) < '((Ь) (в М'). Отображение ) называется изоморфизмом частично упорядоченных множеств М и М', если оно биективно, а соотношение )(а) =)(Ь,' выполнено в том и только том случае, когда а < Ь. Сами множества М и М' называются прн этом изоморфными между собой. Пусть, например, М есть множество натуральных чисел, частично упорядоченное по «делимости» (см.
пример 4 п. 1), а М' — то же самое множество, но упорядоченное естественным образом, т. е. так, что Ь = а, если Ь вЂ” а — положительное число. Тогда отображение М на М', ставящее в соответствие каждому числу и его само, сохраняет порядок (но не является изоморфизмом). Отношение изоморфизма между частично упорядоченными множествами представляет собой, очевидно, отношение эквивалентности (оно симметрично, транзитивно и рефлексивно).
Следовательно, если у нас имеется какой-то запас ') частично упорядоченных множеств, то все эти множества можно разбить на классы изоморфных между собой. Ясно, что если нас интересует не природа элементов множества, а только имеющаяся в нем частичная упорядоченность, то два изоморфных между собой ча- ') Мы воздерживаемся от понятий вроде «все частично упорядоченные множества», так как онн, подобно понятию «множество всех множеств», по сугцеству, внутренне противоречивы и не могут быть включены в четкие математические концепции, ««! УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
