Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 3
Текст из файла (страница 3)
При решении этой задачи мы в планировке книги отдаем предпочтение абстрактной линии построения курса. От общей теории множеств (глава 1) можно перейти к метрическим и топологическим пространствам и их непрерывным отображениям (глава П) либо непосредственно к пространствам с мерой (без топологии) и интегрированию в них (глава У). В главах П1 и 1Ч изучаются линейные пространства и линейные функционалы и операторы в них. От этих глав возможен прямой переход к главе Х (нелинейные дифференцируемые операторы и функционалы). В главе ЧП изучаются линейные пространства суммируемых функций. Лишь в главах У! и УП1 внимание, по существу, сосредоточено на функциях действительного переменного. нз ппвдисловия ко втогомз издхнию Хотя в первую очередь в нашей книге излагаются общие помятия теории функций и функционального анализа, внимание к примыкающей сюда классической проблематике читатель может проследить почти во всех главах.
Включение в книгу глав Н! (теория дифференцирования), 111П (тригонометрические ряды и интеграл Фурье) и 1Х (линейные интегральные уравнения) приводит к тому, что сейчас наша книга охватывает всю программу принятого в МГУ курса «Анализ 111>, кроме вариационного исчисления.Мы не включили этот раздел в нашу книгу, ограничившись лишь изложением в главе Х самых первых представлений а нелинейном функциональном анализе.
В новом издании, как и в первоначальном, значительное место занимает общая теория меры. В последнее время появилось довольно много изложений теории интегрирования, основанной на схеме Даниеля, не использующей аппарата теории меры. Мы полагаем, однако, что теория меры достаточно важна и сама по себе, независимо от введения понятия интеграла, и заслуживает включения в университетский курс. Включение новых глав заметно увеличило объем книги.
Ста. рые главы тоже существенно переработаны и в них включены новые параграфы (например, о порядковых типах и трансфинитных числах, топологических пространствах, обобщенных функциях и др.). Перерабатывая нашу книгу и включая в нее новые разделы, мы старались, однако, сохранить в ней тот сравнительно элементарный стиль изложения, который был выдержан, как нам кажется, в первом издании.
Мы надеемся, что она найдет свое естественное место в университетском преподавании наряду с другими руководствами, в частности, с книгой Г. Е. Шилова «Математический анализ, специальный курс», в которой более подчеркнута аналитическая сторона дела, а интерес к метрическим и топологическим пространствам, мерам и т. д. как самостоятельным объектам культивируется в меньшей степени. А. Колмогоров С.
Фомин ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ При подготовке нового издания мы сохранили общий план книги и постарались не увеличивать ее объем. Вместе с тем весь текст книги был заново просмотрен и отредактирован. Большук> помощь в этой работе нам оказал Ф. В. Широков. В главах ! и 1Ъ' сделаны некоторые перестановки и изменения„облегчающие„ на наш взгляд, переход от более простых понятий к более сложным (например, от банаховых пространств к более общим в гл.
1У). Довольно существенно переработано изложение теории меры (гл. Ч). В последние годы в курс «Анализ П1» часто включаются элементы теории банаховых алгебр и спектрального анализа. Поэтому мы сочли целесообразным включить в нашу книгу написанное В. М. Тихомировым дополнение, посвященное этим вопросам. А. Колмогоров С. Фомин ГЛЛВЛ 1 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ 2 1. Понятие множества. Операции над множествамн 1. Основные определения. В математике встречаются самые разнообразные множества.
Можно говорить о множестве граней многогранника, точек на прямой, множестве натуральных чисел и т. д. Понятие множества настолько общее, что трудно дать ему какое-либо определение, которое не сводилось бы просто к замене слова «множество» его синонимами: совокупность, собрание элементов и т. п. Роль, которую понятие множества играет в современной математике, определяется не только тем, что сама теория множеств стала в настоящее время весьма обширной и содержательной дисциплиной, но главным образом тем влиянием, которое теория множеств, возникшая в конце прошлого столетия, оказывала н оказывает на всю математику в целом. Не ставя своей задачей сколько-нибудь полное изложение этой теории, мы здесь лишь введем основные обозначения и приведем первоначальные теоретико-множественные понятия, используемые в дальнейшем.
Множества мы будем обозначать прописными буквами А, В, ..., а их элементы — малыми а, (>, ... Утверждение «элемент а принадлежит множеству А» символически записывается так: а ~ А (или А =э а); запись а ~ А (илн А НЭ а) означает, что элемент а не принадлежит А. Если все элементы, из которых состоит А, входят и в В (причем случай А = В не исключается), то мы называем А подмножеством множества В н пишем А с: В, Например, целые числа образуют подмножество в множестве всех действительных чисел.
Иногда мы не знаем заранее, содержит ли некое множество (например, множество корней данного уравнения) хотя бы один элемент. Поэтому целесообразно ввести понятие пустоео множества, т. е. множества, не содержащего ни одного элемента. Мы будем обозначать его символом >с>. Любое множество содержит И в качестве подмножества.
Подмножества некоторого мно>кества, отличные от него самого и от й>, называются собственными, 2. Операции над множествами. Пусть А и  — произвольные множества; их суммой, или объединением С = А 0 В называется ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ 1гл. 1 множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А и В (рис. ! ). Аналогично определяется сумма любого (конечного или бесконечного) числа множеств: если А — произвольные множества, то их сумма ( ) А, есть совокупность элементов, каждый а из которых принадлежит хотя бы одному из множеств Ао. Назовем пересечением С = А П В множеств Л и В множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих как А, так Д б а=дол Рис.
2 г'=Д~ о Рис. и (1) (2) Действительно, проверим, например, первое из этих равенств'). Пусть элемент х принадлежит множеству, стоящему в леной части равенства (1), т. е. хне(Л 0 В) П С Это означает, что х входит в С и, кроме того, по крайней мере в одно из множеств А илн В, Но тогда к принадлежит хотя бы одному из множеств А П С или В П С, т. е. входит в правую часть рассматриваемого равенства.
Обратно, пусть х е=(Л П С) 0 (В Й С). Тогда ') Равенство двук множеств А = В понимается как тождественное равекство, т. е, оно означает, что каждый элемент множества Д принадлежит В, и наоборот. Иначе говоря, равенство А = В равносильна тому, что выполнены оба включения: А с В и В с А. и В (рис. 2). Например, пересечение множества всех четных чи- сел и множества всех чисел, делящихся на три, состоит из всех целых чисел, делящихся без остатка на шесть. Пересечением любого (конечного или бесконечного) числа множеств Ао на- зывается совокупность Ц А, элементов, принадлежащих каа ждому из множеств А„.
Операции сложения и пересечения множеств по самому сво- ему определению коммутативны и ассоциативны, т. е. А()В=В()Л, (А()В)()С=Л()(В()С), АПВ=ВПА, (АПВ)ПС=-АП(ВПС). Кроме того, они взаимно дистрибутивны; (А() В) ПС=(А ПС)()(ВПС), (АП В) () С =(А() С) Д(В() С). хе А () С или хеи В П С.
Следовательно, хеи С и, кроме того, входит в А или В, т. е. х еи А 0 В. Таким образом, хы(А 0 В) П С. Равенство (1) доказано. Аналогично проверяется равенство (2). Определим для множеств операцию вычитания. Мы назовем разностью С = А ', В множеств А и В совокупность тех элементов из А, которые ие содержатся в В (рис. 3). При этом, вообще л В А В в=А в с=лвв Рис. 4. Рис, 3. говоря, ие предполагается, что А ~ В. Вместо А ' В иногда пишут А — В. Иногда (например, в теории меры) удобно рассматривать так называемую симметрическую разность двух множеств А и В, которая определяется как сумма разностей А ', В и В'; А (рис.
4). Симметрическую разность С множеств А и В мы будем обозначать символом А то В. Таким образом, по определению, А а'ь В = (А " В) 0 (В ' А). Упражнение. Показать, что А Ь В = (А 0 В) ', (А Д В). Часто приходится рассматривать тот или иной запас множеств, являющихся подмножествами некоторого основного миожества 5, например, различные множества точек иа числовой прямой. В этом случае разность 5', А называют дополнением множества А и обозначают СА или А'. В теории множеств и ее приложениях весьма важную роль играет так называемый принцип двойственности, который основан иа следующих двух соотношениях: 1. Дополнение суммы равно пересечению дополнений 5 () А.= Й(5 А„).
и а (3) 2. Дополнение пересечения равно сумме дополнений 5 " ( ) А = ) ) (5 'ь А„). (4) и и понятие множествА ОпеРАции нАд мнОжестВАми 15 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ [ГЛ. 1 Принцип двойственности состоит в том, что из любого равенства, относящегося к системе подмножеств фиксированного множества 5, совершенно а Етом ат и чески может быть получено другое — двойственное — равенство путем замены всех рассматриваемых множеств их дополнениями, сумм множеств— пересечениями, а пересечений — суммами.
Примером использования этого принципа может служить вывод теоремы 3' из теоремы 3 з 2 гл. П. Приведем доказательство соотношения (3). Пусть х еи 5 'ч Ц А,. Это означает, что х не входит в объедиа пение () А„т. е. не входит ни в одно из множеств А,. Следоеа. а тельно, х принадлежит каждому из дополнений 5 ч А, и потому х еи Г) (5, А,). Обратно, пусть х я ) ((5'ч А,), т. е.
х входит а а в каждое 5'ч А,; тогда х не входят ни в одно из множеств А,, т. е. не принадлежит их сумме [ ) Л, а тогда х ив 5'~, Ц Л . Рла а венство (3) доказано. Соотношение (4) доказывается аналогично. (Проведите доказательство.) Название «симметрическая разность» длн опсрэцни А хх В не совсем удачно; эта операция во многом зиэлогнчнэ оперзции взятии суммы множеств А 0 В.
Действительно, А 0 В означает, что мы свяэывзем иеисключоюи[им «или» двз утверждения: «элемент принадлежит А» и «элемент принадлежит В», з А сх В означает, что те же самые двв утверждения связываются исклгочоюи[им «илию элемент х принадлежит А сх В тогда н тольно тогда, когда он принадлежит либо только А, либо только В. [ь[ножество А сх В можно было бы нээвэть «суммой по модулю два» множеств А и В (берется объединение этих двух множеств, но элементы, которые при этом встречаются дважды, выбрасываются).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
