Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Говорят, что определенный на 1. линейный функционал 1 разделяет эти множества, если существует такое число С, что 1(х)»>С прн х я М и 1(х) <С при х ее М, т. е. если 1п1 )(х))» Вцр 1(х). квм ксан Функционал 1 называется строго разделяющим множества М и гу', если выполнено строгое неравенство )п1 1(х) > зпр 1(х). квм к вм Следующие два утверждения непосредственно вытекают из определения разделимости.
1) Линейный функционал 1 разделяет множества М и )у' в том и только том случае, когда он разделяет множества М вЂ” 1т' и (О) (т. е. множества всех элементов вида х — у, где х я М, у ее М, и точку О). 2) Линейный функционал 1 разделяет множества М и М в том и только том случае, когда при каждом хниЕ он разделяет множества М вЂ” х и )ч' — х, 1зз НОРМНРОВАННЪ|Е И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. ПГ Из теоремы Хана — Банаха легко получается следующая теорема об отделимости выпуклых множеств в линейном пространстве, имеющая многочисленные применения.
Теорема 5, Пусть М и !т' — выпуклые множества в действительном линейном пространстве Е, причем ядро хотя бьг одного из них, скажем М, не пусто и не пересекается с другим. множеством. Тогда существует ненулевой линейный функционал на Е, разделяющий М и !У. Д о к а з а т е л ь с т в о. Без ограничения общности можно счио тать, что точка 0 принадлежит ядру М множества М. (Иначе. о мы рассмотрели бы множества М вЂ” х, и У вЂ” хо, где хо ~ М.) Пусть уо~ й(, тогда точка — уо принадлежит ядру множества; М вЂ” 'Ж, а 0 принадлежит ядру тАВ множества К = М вЂ” !т'+ уо..
О о Так как М П й1 = 8, то 0 не принадлежит ядру М вЂ” Ф и уо Ф К;. о Пусть р — функционал Минковского для К Тогда р(уо) ) 1, поо скольку уо Ф К. Введем линейный функционал !о(ауо) = од(уо). Он определен на одномерном пространстве, состоящем из элементов вида ау,, и удовлетворяет условию Ь (ауо) ~ р (ауо), поскольку р(ауо)=ар(уо) при а ) О, и 1о(ауо) = а(о(уо) О ( ( р(ауо) при а ( О. По теореме Хана — Банаха функционал )о. можно продолжить до линейного функционала ), определенного на всем Е и удовлетворяющего на Е условию ((у) ( р(у).
Отсюда следует, что )(у) ~ 1 при у еп К и в то же время )(уо) > ! Таким образом, ! разделяет множества К и (уо), а следовательно, ! разделяет М вЂ” Ж и (0); но тогда ) разделяет множества М и М. Теорема доказана. й 3. Нормированные пространства В главе П мы занимались топологическими и, в частности метрическими пространствами, т. е. множествами, в которых введено, тем или иным способом, понятие близости элементов. а в предыдущих параграфах данной главы мы имели дело с линейными пространствами. До сих пор каждое из этих понятий стояло особняком.
Однако в анализе приходится иметь дело с пространствами, в которых введены как операции сложения элементов и умножения их на числа, так и некоторая топология,. т. е. рассматривать так называемые топал ог ические л и-. н е й н ы е п рост р а нет в а. Среди последних важный класс об-. разуют норм и рованные пространства, Теорвя этих НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 139 А З! хгространств была развита в работах С. Банаха и ряда других авторов.
1. Определение и примеры нормированных пространств. Определен не 1. Пусть Ь вЂ” линейное пространство. Одно- родно-выпуклый функционал р, определенный на Ь, называется нормой, если он удовлетворяет следующим дополнительным ус- ловиям (помимо выпуклости): 1) р(х) = О только при х = О, 2) р(их) = ~ а(р(х) для всех а.
Таким образом, вспоминая определения из и. 2 $ 2, мы мо- зкем сказать, что нормой в Ь называется функционал, удовлетво- ряющий следующим трем условиям: 1) р(х) ) О, причем р(х) = О только при х = О, 2) р(х + у) < р (х) + р(у), х, у е= Ь, 3) р(ах) = ~а(р(х), каково бы ни было число а. Оп р е де лен и е 2.
Линейное пространство Ь, в котором за- дана некоторая норма, мы назовем нормированным простран- ,ством. Норму элемента х ~ Ь мы будем обозначать симво.лом зх1!. Всякое нормированное пространство становится метрическим ячространством, если ввести в нем расстояние р(х, у) =((х — у!(. Справедливость аксиом метрического пространства тотчас же жытекает из свойств !) — 3) нормы. На нормированные пространства переносятся, таким образом, все те понятия и факты, исоторые были изложены в гл. П для метрических пространств.
Полное нормированное пространство называется банаховым лроетранетвом или, короче, В-пространством. Примеры нормированных п рост р аист в. Многие мз пространств, рассматривавшихся в гл. П в качестве примеров метрических (а в $ 1 данной главы — линейных) пространств, в действительности могут быть наделены естественной структурой нормированного пространства. 1. Прямая линия К' становится нормированным пространством, если для всякого числа х ~ Й' положить ~(х!)= )х(.
2. Если в действительном и-мерном пространстве К" с элементами х =(хь хь ..., х ) положить л ЦхД= ~„хф, то все аксиомы нормы будут выполнены. Формула л р(х, у) =1(х — у)1= ~ (хь — уь)з А ! 14О ПОРМИРОВАИНЫЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА ~ГЛ. П! определяет в Кл ту самую метрику, которую мы в этом пространстве уже рассматривали. В этом же линейном пространстве можно ввести норму или норму (3) [[х[[ = гпах [хь [. !<А~л Эти нормы определяют в Йл метрики, которые мы рассматривали в примерах 4 и 5 п. 1 в 1 гл.
П. Проверка того, что в каждом из этих случаев аксиомы нормы действительно выполнены, не составляет труда. В комплексном и-мерном пространстве С" можно ввести норму л [[х[[= ~[ха'г', или любую из норм (2) или (3). 3. В пространстве С[а, 6[ непрерывных функций на отрезке [а, 6[ определим норму формулой [[)'[[= гпах [1(1) [.
(4) а~с~ь Соответствующее расстояние уже рассматривалось в примере 6 п. 1 3 1 гл. П. 4. Пусть т — пространство ограниченных числовых последовательностей х = (хь хм, х„, ...). Положим [[х[[=зпр[хл [. л (5) Условия 1) — 3) определения нормы здесь, очевидно, выполнены. Метрика, которая индуцируется в лт этой нормой, совпадает с той, которую мы уже рассматривали (гл. П, $1, п. 1, пример 9). 2.
Подпространства нормированного пространства. Мы определили подпространство линейного пространства Е (не снабженного какой-либо топологией) как непустое множество Ьа, обладающее тем свойством, что если х, у я Е„то ах+ йу я йа. В нормированном пространстве основной интерес представляют замкнутые линейные подпространства, т. е. подпространства, содержащие все свои предельные точки. В конечномерном нормированном пространстве всякое подпространство автоматически замкнуто (докажите это1). В бесконечномерном случае это не так., Например, в пространстве С[а, Ь[ непрерывных функций с НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 14! иормой (4) миогочлепы образуют подпространство, ио ие замкиутое '). Другой пример: в пространстве т ограниченных последовательностей последовательности, содержащие лишь конечное число отличных от нуля членов, образуют подпростраиство. Одиако оио ие замкнуто по норме (5): в его замыкании содержится, например, последовательность (1, 1/2, ..., 1/а, ...).
Как правило, ыы будем рассматривать только замкнутые подпространства, поэтому естественно изменить терминологию„ которая была установлена в $1. Подаростраистеом нормированного пространства мы будем называть теперь только замкнутое подпростраиство; в частности, подпрострапством, порождеипым данной системой элементов (х ), мы будем называть наименьшее замкнутое подпрострапство, содержащее (х,). й1ы будем говорить о ием, как о линейном замыкании системы (х ). Совокупность элементов (не обязательно замкнутую), содержащую вместе с х и у их произвольную линейную комбинацию ах+ ~у, будем называть линейным многообразием. Систему элемеитов, лежащую в нормированном пространстве Е, мы будем называть полной, если порожденное ею (замкнутое() подпростраиство есть все Е.
Например, в силу теоремы Вейерштрасса совокупность всех функций 1, 1, тт, ..., 1*', ... полна в пространстве непрерывных функций С(а, Ь). 3. Фактор-пространства иормироваииого пространства. Пусть 1т — нормированное прострапство и М вЂ” пекоторое его подпрострапство. Рассмотрим фактор-пространство Р = /с/М.
В соответствии со сказанным в п. 4 $1 этой главы Р есть линейное пространство. Определим в нем норму, положив для каждого класса смежности 5 11 41)= 1п( 1)х1). (6) хыф Покажем, что при этом выполнены сформулированные в п. 1 аксиомы нормированного пространства. Ясно, что всегда Ц11 ) О.
Если $е — пулевой элемент фактор-пространства Р (т. е. $с сов. падает с подпростраиством М), то в качестве х ~ э~ можно взять нуль пространства /с, и тогда получаем, что Цв1! = О. Обратно, если 11в 11 = О, то из определения нормы (6) следует существоваиие в классе $ последовательности, сходящейся к пулю. Но так как М замкнуто, то замкиут и каждый класс смежности, значит, Ое= $, а это озпачает, что $ = М, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
