Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 35
Текст из файла (страница 35)
д~ Е, то а/+ ))й'еи Е для любых чисел а и р. За мкнутое линейное многообразие называется подпространством. Приведем некоторые примеры надпространств гильбертова пространства. 1. Пусть Ь вЂ” произвольный элемент из Н. Совокупность всех элементов /~ Н, ортогональных к й, образует в Н подпространство. 2. Пусть Н реализовано как 1м т.
е. его элементы суть такие последовательности (хь хм ..., х, ...) чисел, что ~х~ < со. Элементы, подчиненные условию х, = хм образуют подпространство. 3. Пусть снова Н реализовано как пространство 1ь Элементы х = (хь хм ..., х, ...), у которых х = О при и = 2, 4, 6, ... (и х„ произвольны при и = 1, 3, 5, ...), образуют подпространство. Читателю рекомендуется провеоить, что указанные в примерах 1 — 3 совокупности векторов действительно являются подпространствами.
Всякое надпространство гильбертова пространства либо является конечномерным евклидовым пространством либо само представляет собой гильбертово пространство. Действительно, справедливость аксиом 1 †1 для каждого такого подпрострапства очевидна, а справедливость аксиомы 1Ч вытекает из следующей леммы. Л ем м а. Любое подмножество Н' сепарабельного метрического пространства И само сепарабельно. Дока з а тельство. Пусть ы~ ьп '''~ ьп~ — счетное всюду плотное множество в Р и а„= !п! р(е„, П). э~а' Для любых натуральных п и т найдется такая точка т1„вил', что р ($„, т1„„) < а„+ 1/т.
Пусть е) О и 1/т ( е/3; для любого т) ы !!' найдется такое и, что рЯ„, ~1) ( е/3 и, следовательно, р ($„т(„) < а„+ 1/т < е/3 + е/3 = 2е/3; но тогда р(т(, т1, ) ( е, т. е. не более чем счетное множество (т!и, т) (п, т = 1, 2, ...) всюду плотно В К'. ВВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА 159 Подпространства гильбертова пространства обладают некоторыми специальными свойствами (не имеющими места для лодпространств произвольного нормированного пространства).
Эти свойства связаны с наличием в гильбертовом пространстве скалярного произведения и основанного на нем понятия ортогональности. Применив процесс ортогоналвзации к какой-либо счетной всюду плотной последовательности элементов произвольного надпространства гильбертова пространства, получаем следующую теорему.
Т ео р е м а б. В каждом подпространстве М пространства Н содержится ортогональная нормированная система (~ри), линейное замыкание которой совпадает с М. Пусть М вЂ” подпространство гильбертова пространства Н. Обозначим через М~ = Н~М множество элементов д ен Н, ортогональных ко всем элементам ~ ~ М, и докажем, что МА тоже есть подпространство пространства Н Линейность МА очевидна, так как из (к1,1) = (кь1) = = 0 вытекает (а~д~+ агпм () = О.
Для доказательства замкнутости допустим, что элементы д принадлежат Мс и сходятся к и. Тогда для любого ( ен М и.и и потому д тоже входит в М"-. Подпространство Мс называется ортогональным дополнением надпространства М. Из теоремы 6 легко получается следующая теорема. Т е о р е м а 7.
Если М вЂ” (замкнутое1) линейное надпространствоо пространства Н, то любой элемент 1~Н единственным об. разом представим в виде 1' = Ь + Ь', где Ь е= М и Ь' г= М~-, Док а з а тельство. Докажем сначала существование такого разложения. Для этого найдем в М полную ортогональную нормированную систему (~Р4 и положим Ь= ~ с„~р„, си=((, <р„).
Так как (по неравенству Бесселя) ряд ~ ст сходится, то элеи ! мент Ь существует и принадлежит М. Положим [на нОРмиРОВАнные и топологические пРОстРАнстВА [Гл. и! Очевидно, что для всех и (Ь', [р ) = О и, поскольку произволь- ный элемент ь из М представим в виде ь= ~, а„[р„, имеем (Ь', ь)= л а„(Ь', [р„) =О, т.
е. Ь' ~ МА. Допустим теперь, что, кроме построенного нами разложения (" = Ь+ Ь', существует другое разложение: 1= Ь! + Ь[, Ь! Еи М, Ь! е М!-. Тогда при всех и ("н гр ) = (1 [р !) = с откуда следует, что Ь! = Ь, Ь! = Ь'. Из теоремы 7 вытекают некоторые полезные следствия, С л е д с т в и е 1.
Ортогональное дополнение к ортогональному дополнению линейного подпространства М совпадает с самим М, Таким образом, можно говорить о взаимно дополнительных подпространствах пространства Н. Если М и МА — два таких дополняющих друг друга подпространства и ([р„), (!р'„) — полные (соответственио в М и МА) ортогональные системы, то соединение систем (!р„) и ([р'„) дает полную ортогональную систему во всем пространстве Н. Поэтому имеет место следствие: Следствие 2. Каждая ортогональная нормированная система может быть расширена до системы, полной в Н. Если система ([р4 конечна, то число входящих в нее элементов равно размерности подпространства М, порожденного ([р ), и коразмерности подпростракства МА. Таким образом, получаем еше одно следствие: Следствие 3.
Ортогональное дополнение к пространству конечной размерности и имеет коразмерность и, и наоборот. Если каждый вектор ( е= Н представйм в виде р = Ь + Ь', Ь еи М, Ь'ВЕМА (МА — ортогональное дополнение М), то говорят, что Н есть прямая сумма взаимно ортогональных надпространств М и МА и пишут Н = М[[дМА. Ясно, что понятие прямой суммы может быть непосредственно обобщена на любое конечное или даже счетное число подпро- ввклндовы пвостя»нств» л «1 странств; именно, говорят, что Н есть прямая сумма своих подпространств Мь М2, ..., М„, ... Н=М,ВМ,Е ... ЕМ„(В..., если 1) подпространства М«попарно ортогональны, т.
е. любой вектор из М«ортогонален любому вектору из М» при «''чь Ь; 2) каждый элемент 1'еи Н может быть представлен в виде «Ь!+Ь2+ '' +Ьл+ '' Ьле=Мл причем если число подпространств М бесконечно, то Х ай, Р— л сходящийся ряд. Легко проверить, что если такое представление элемента )' существует, то оно единственно и что ~~~ ~~= 1~~ Ь.)~'. л Наряду с прямой суммой подпространств можно говорить о прямой сумме конечного или счетного числа произвольных гнльбертовых пространств. Именно, если Н, и Н2 — два гильбертовых пространства, то их прямая сумма Н определяется следующим образом: элементы пространства Н вЂ” зто всевозможные пары (Ьь Ь,), где Ь, я Н„Ь2 еи Н,, а скалярное произведение двух таких пар равно ((Ьь Ь2), (Ь(, Ь2)) = (Ьп Ь() + (Ь2, Ь2).
В пространстве Н содержатся, очевидно, взаимно ортогональные подпространства, состоящие из пар вида (Ьь О) и (О, Ь,) соответственно; первое из них можно естественным образом отождествить с пространством Нь а второе — с пространством Н2. Аналогично определяется сумма любого конечного числа пространств, Сумма Н= ~~' ЯН„счетного числа пространств Нь Нм ..., Н„, ... определяется так: элементы пространства Н вЂ” это всевозможные последовательности вида Ь=(Ьь Ьм ..., Ьл, ...) (Ьл еннл), таКИЕ, ЧтО Х!~ Ь„1Г ( «»2. СКаЛярНОЕ ПрОИЗВЕдЕНИЕ (Ь, д) ЭЛЕ- л ментов Ь и д из Н равно Е(Ь., а.). 8.
Характеристическое свойство евклндовых пространств. Рассмотрим следующий вопрос. Пусть 1т' — нормированное пространство. Каким дополнительным условиям должна удовлетворять норма, определенная в «г, чтобы пространство «х было евклидовым, т. е. чтобы норма в нем определялась некоторым нОРмиРОВАнные и тОпологические пРОстРАнстВА 1гл. И1 162 скалярным произведением? Иначе говоря, как охарактеризовать евклидовы пространства в классе всех нормированных пространству Такую характеристику дает следующая теорема. Те о р е м а 8. Для того чтобы нормированное пространство тс было евклидовым, необходимо и достаточно, чтобы для любых двух элементов, 1 и д, выполнялось равенство 11(+ а|Р+11 ~ — а|Р = 2(1! 1 |Р+11 й!Р).
(25) Поскольку 1+ д и 1 — д — это диагонали параллелограмма, построенного па сторонах ! и д, равенство (25) выражает известное свойство параллелограмма в евклидовом пространстве: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон. Таким образом, необходимость условия очевидна. Докажем его достаточность. Положим 4 (11 ~ + й 11 (26) и покажем, что если равенство (25) выполнено, то функция (26) удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения. Поскольку при 1' = д имеем (~ 0= — (112Г|Р— !11 — 1|Р) =1111Р (27) это н будет то скалярное произведение, которое порождает в пространстве тт заданную там норму.
Прежде всего, нз (26) сразу видно, что (1, а)=(а, 1"), т. е. свойство !) скалярного произведения выполнено. Кроме того, в силу (27) имеет место и свойство 4). Для установления свойства 2) рассмотрим функцию трех векторов бз(1, а, й) = 4 И+ й, й) — ((. й) — (й, й)), т. е. Ф (( й Ь) = 11 ) + й + Ь !!à — 1! ) + й — й !Р— !1 ( + й !!г + !! 7 й 11г !1 и + й 1Р + !! и й !!х (28) и покажем, что она тождественно равна нулю.
В силу (25) имеем 11 1 ! и-ьй11г 2!1 т ч- й!Р+2!1~!!г !! гл-й ~!1т Подставив соответствующие выражения в (28), получим рц, д, й) =-!!(+ и — д!!э+1! 7 — й — д!!'+ + 11 1 + й 11' — 11 ) — й |Р— 11 й + й !!'+ 11 а — й !Р. (29) 1В4 НОРМИРОВАННЫЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА СГЛ ССС имеем !+а=(2,0,0, ..., 0), с — д=(0, 2, О, ..., О), Откуда !116,=1!а)1,=2'", !Г+а!1,=!1Р— аЬ=2, так что тождество параллелограмма (25) прн р Ф 2 не выполняется.
2. Рассмотрим пространство непрерывных функций на отрезке [О, и/2]. Положим )(1)=соз1, д(1)=з1НГ. Имеем !1 ! !1=|! а!=1 с)~+д1~= птах 1соз(+зйп(~=~2, О<С<ВСО )с! — у|1= гпах ! соз1 — з!п(1=1. О~С~ВСТ Отсюда видно, что 1! ) + а 1Р + )! ) — а !Р Ф 2 (!! ) !Р + !! д! Р). Таким образом, норму пространства С!0, и/2) нельзя задать с помощью какого бы то ни было скалярного произведения. Легко видеть, что и пространство непрерывных функций С(а, Ь) на любом отрезке (а, Ь) не есть евклидово пространство. 9. Комплексные евклидовы пространства. Наряду с действительным может быть введено и комплексное евклидово пространство (т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
