Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Система (7) полна. Действительно, согласно теореме Вейерштрасса, всякая непрерывная иа отрезке [а, Ь] функция у, принимающая в точках а и Ь одна а А ~ паковые значения, может быть Ряс. !Т. представлена как предел равно- мерно сходящейся последовательности тригонометрических многочленов, т. е. линейных комбинаций элементов системы (7). Такая последовательность и подавно сходится к гр по норме пространства С,[а, Ь]. Если же ) — произвольна я функция из СА[а, Ь], то ее можно предста.вить как предел (по норме пространства СЕ[а, Ь]) последовательности функций р, каждая из которых совпадает с 1 на отрезке [а, Ь вЂ” 1/и], линейна на [Ь вЂ” 1/и, Ь] и в точке Ь принимает то же значение, что и в точке а (рис. 17).
Следовательно, каждый эле- !47 ЕВКЛНДОВЫ ПРОСТРАНСТВА $41 мент из Сг(а, Ь) можно приблизить сколь угодно точно (в метрике этого пространства) линейными комбинациями элементов системы (7), а это и означает ее полноту. 3. Существование ортогоиальных базисов, ортогонализацня. Яа протяжении оставшейся части этого параграфа мы ограничимся сепарабельными евклидовыми пространствами (т.
е. содержащими счетное всюду плотное множество). Каждое из пространств, указанных в предыдущем пункте, сепарабельно (докажите это!). Пример несепарабельного евклидова пространства можно построить так. Рассмотрим на прямой всевозможные функции х, для каждой из которых множество точек !ь !ь ..., в которых она отлична от нуля, не более чем счетно, а сумма ~ х'(!), взятая по всем таким точкам, конечна.
Операции сложения и умножения на числа определим в этом пространстве как обычные сложение и умножение функций, а скалярное произведение определим формулой (х, у) = ~~~ х (!) у (!), где сумма берется по множеству тех точек (, в которых х(!)у(() ~ О. Доказательство того, что в этом пространстве нет счетного всюду плотного подмножества, мы предоставляем читателю. Отметим, что это пространство — полное.
Итак, пусть )т — сепарабельное евклидова пространство. Покажем, что в таком пространстве всякая ортогональная система не более чем счетно. Действительно, без ограничения общности можно считать рассматриваемую систему (~р ) не только ортогональной, но и нормированной (иначе мы заменили бы ее системой ) — (). ч'а ) 1! Фа!! При этом )) фа — <ра )1= ~/2, если а т-(). Рассмотрим совокупность шаров В(гр, !/2). Эти шары не пе- РЕСЕКаЮтСЯ. ЕСЛИ СЧЕТНОЕ МНОжЕСтВО (4)а) ВСЮДУ ПЛОтиО В Р, тО в каждом таком шаре есть по крайней мере один элемент из (4Р ).
следовательно, число таких шаров (а значит, н элементов р„) не более чем счетно. В каждом из приведенных выше примеров евклидовых пространств мы указали по ортогональному базису. Докажем теперь следующую общую теорему, аналогичную теореме о существовании ортогонального базиса в и-мерном евклидовом пространстве. Теорем а 1 (об ортогонал из а ци н). Пусть 1П 1, °,)а "° (8) 143 нОРмиРОВАнные и топологические пРОстРАнстВА [гл. и! — линейно независимая система элементов в евклидовом про- странстве рг.
Тогда в )т существует система элементов (9) !р! !р2 - ° ° (р удовлетворяющая следующим условиям: 1) система (9) ортогональная и нормированная; 2) каждый элемент тр„есть линейная комбинация элементов 1!, 1ь "., 1». !Рл = ал!1! + ° ° ° + а 1» причем а Ф 0; 3) каждый элемент )„представляется в виде 1„= Ь„!гр!+ ... + Ьлл!рл, причем Ь„„ФО. Каждый элемент системы (9) определяется условиями 1) — 3) однозначно с точностью до множителя -1-1. Доказательство. Элемент !р! ищется в виде !р! = он(!; при этом ап определяется из условия (<р,, <р,)=аз! (1!, 1!)=1, откуда 1 е»1 Ясно, что !р! определяется этим однозначно (с точностью до знака). Пусть элементы !рк(«( и), удовлетворяющие условиям 1) — 3), уже построены. Тогда !' Можно представить в виде )»=Ь.!!р!+ ° ° ° + Ь .л-Гр -!+" где (йл, !рь)=0 при й(п.
Действительно, соответствующие коэффициенты Ь»А, а значит, и элемент й„, однозначно определяются из условий (Ил, р )=(1» — Ьл р —...— Ьл,„!!р„-!, р )=Ул, р ) — Ьл (р, р )=О.. Очевидно, что (й„, йл) ) 0 (предположение (й„, й„) = 0 про- тиворечило бы линейной независимости системы (8)). Положим «л !й«„, «»1 ' Из индуктивного построения ясно, что йа, а значит, и !р, ВЫражаЮТСя Ч~раэ )!, ..., ~л, Т. Е.
!ра — — аа4!+ .+а»а~а, ГДЕ 1 ал,= чьО, Кроме того, ~(«л «л ) (<р„!рл) = 1, (!рл, грл)=0 (й < и) и )»=Ь !гр!+ ... + Ь„„!р„(Ь„»= 1Т'(Н„, й„)~О), т. е. !р» удовлетворяет условиям теоремы. нвклидовы пгоствлнствд 149 Переход от системы (8) к системе (9), удовлетворяющей условиям 1) — 3), называется процессом ортогонализации, Ясно, что подпространства, порожденные системами (8) и (9), совладают между собой.
Следовательно, эти системы полны или не полны одновременно. Следствие. В сепарабелоном евклидовом пространстве )с существует ортогоналоный нормированный базис, Действительно, пусть фь фь ..., зр„, ... — счетное всюду плотное множество в )с. Выберем из него полную систему линейно независимых элементов ((е). Для этого достаточно пз последовательности (ф ) исключить все те элементы фь, каждый из которых может быть представлен как линейная комбинация фз с (( й. Применив к полученной таким образом полной системе линейно независимых элементов процесс ортогонализацин, мы и построим ортогональный нормированный базис. У п р а ж и е н и я. 1.
Привести пример (иесепарабельиого) евклидова пространства, в котором иет ни одного ортогонального базиса. Доказать, что и я олпом евклидовом пространстве (не обязательно сепарабельиом) существует ортогональиый нормированный базис. 2. Доказать, что в полном евклидовом пространстве (не обязательно сепарабельном) всякая последовательность иепустых вложенных выпуклых зам.
ииутых ограниченных множеств имеет непустое пересечение (ср. с упражнениями иа стр. 70 и 143). 4. Неравенство Бесселя. Замкнутые ортогональные системы. Выбрав в и-мерном евклидовом пространстве ортогональный нормированный базис еь е,, ..., в„, можно каждый вектор к ~ Ки записать в виде х= ~ саге, я 1 (10) где сц — — (х, ее). (1! ) Выясним, как обобщить ра(зложение (10) на случай евклидова бесконечномерного пространства.
Пусть ф1 фз ° ° ° ф (12) — ортогональная нормированная система в евклидовом пространстве ег и ) — произвольный элемент из гс. Сопоставим элементу 1 еи г( последовательности чисел са=((, фе), у=1, 2, ..., (13) которые мы будем называть координатами, или коэффициентами Фурье элемента ( по системе (фа), и ряд (пока формальный) ~~' сафа, (14» который мы назовем рядом Фурье элемента 1 по системе (ф„). 1ЗЕ иогмиговАнныв и топологичвскив пгостгАиствх !гл, и! Естественно возникает вопрос: сходится ли ряд (14), т. е. стремится ли последовательность его частичных сумм (в смысле метрики пространства Р) к какому-либо пределу, н если он сходится, то совпадает ли его сумма с исходным элементом 1? Чтобы ответить на эти вопросы, рассмотрим предварительно следующую задачу: при заданном и подобрать коэффициенты аь (А = 1, 2, ..., и) так, чтобы расстояние между 1 и суммой о =~' щи (15) ь-! было минимальным.
Вычислим это расстояние. Так как система (12) ортогональна и нормирована, то Л л 3! — ~.!!*-(! — ь' ж., ! — х.ю)- й=! ь ! л / л и =!!, !! 2(!, ь „„)-!-(ь ~Ф.. х .у,)- э=! ь=! 1-! и В л а = 11 !' 112 — 2 ~', а сь + ~' аз~ = 11 1 1г — ~ сэа + ~ (а — сь)~, ь=! д=! ь ! ь-! Ясно, что минимум этого выражения достигается тогда, когда последнее слагаемое равно О, т.
е. при аэ — — сь (й= 1, 2, ..., и). (16) В этом случае л 111 — Я. 11'=11 !'11' — Х, с,'. (17) ь=! Мы показали, что среди всех сумм вида (15) при данном л наименее уклоняется от ! частичная сумма ряда Фурье элемента 1. Геометрически этот результат можно пояснить следуютиим образом, Элемент п ортогонален всем линейным комбинациям вида в Е ~.р, т. е. ортогонален подпространству, порожденному элементами !р!, Ч!ь .', Чь, в том и только том случае, когда выполняется условие (16) (проверьте это!). Таким образом, полученный нами результат представляет собой обобщение известной теоремы элементарной геометрии: длина перпендикуляра, опущенного из ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА й 4! данной точки иа прямую или плоскость, меньше, чем длина любой иаклоииой, проведенной из той же точки.
Так как всегда !!7 — Б„!!» ) О, то из равенства (17) следует, что в Е с2 (!! 7 !Г. ~! Здесь и произвольно, а правая часть ие зависит от и; следова- Ю тельно, ряд ~ с' сходится и й=! Ю сйй Я! 7 !(й. (18) Это иераве«ство называется неравенством Бесселя. Геометрически оио означает, что сумма квадратов проекций вектора ) иа взаимно ортогоиальиые направления ие превосходит квадрата длины самого вектора 7.
Введем следуюшее важное понятие. Определение 1, Ортогональная нормированная система (12) называется замкнутой, если для любого ! Вц Я справедливо равенство (19) называемое равенством Парсеваля. Из тождества (17) следует, что замкнутость системы (12) равносильна тому, что для каждого ( ~ тс частичные суммы ряда Фурье ~~' с„ф„сходятся к (, и ! Понятие замкнутости ортогональной нормированной системы тесно связано с введенным выше понятием полиоты системы. Теорем а 2. В сепарабельном евклидовом пространстве й' всякая полная ортогональная нормированная система является замкнутой, и обратно. Дока з а тельство. Пусть система (фь) замкиута; тогда, каков бы ии был элемент 1ец 1т, последовательиость частичных сумм его ряда Фурье сходится к !.
Это означает, что линейные комбинации элементов системы (ф„) всюду плотны в Й, т. е. си- стема (ф ) полна. Обратно, пусть система (ф ) полна, т. е. любой элемент ! Вц Й можно сколь угодно точно аппроксимировать лип иейиой комбинацией ~ айф» элементов системы (ф ); частичй ! ная сумма ~ сйфй ряда Фурье для 7 дает ие менее точную й-! 153 нОРмиРОВАнные и топологические пРОстРАнстВА ~гл, н[ Ю Слфл=~ <рл = ~ алел, л ! л ! л ! где лл 0 тл) л 1 1 1 Р (20) Коэффициенты а, определяемые формулой (20), мы назовем коэффициентами Фурье элемента 1 по ортогональной (ненормированной) системе (~рл). Подставив в неравенство (18) вместо с„ их выражения с„= ал!!грлй из (20), получаем (21) — неравенство Бесселя для произвольной ортогональной системы.
5. Полные евклидовы пространства. Теорема Рисса — Фишера. Начиная с и. 3 мы рассматривали сепарабельные евклидовы пространства; с этого момента мы будем, кроме того, предполагать, что рассматриваемые пространства полны, Итак, пусть )т — полное сепарабельное евклидово пространство и (м,) — некоторая ортогональная нормированная система в нем (не обязательно полная). Из неравенства Бесселя следует, что для того чтобы числа с„см ..., с„, ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
