Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 36
Текст из файла (страница 36)
е. комплексное линейное пространство со скалярным произведением в нем). Однако аксиомы 1) — 4), сформулированные в начале этого параграфа, не могут быть в комплексном пространстве выполнены одновременно. Действительно, из 1) и 3)' следует (сох, дх) = й,о (х, х), откуда при Х = — с имеем (сх, 1х) = — (х, х), т.
е. скалярные квадраты векторов х и сх ие могут быть одновременно положительны. Иными словами, аксиомы 1) и 3) несовместимы с аксиомой 4). Поэтому аксиомы, с помощью которых определяется скалярное произведение, в комплексном случае должны быть несколько изменены по сравнению с действктельным. В комплексном пространстве скалярное произве- ЕВКЛНДОВЫ ПРОСТРАНСТВА ление мы определим как числовую (комплекснозначную) функ- цию двух векторов, удовлетворяюшую следую!цим условиям: 1) (х,у)=(у,х), 2) (Лх, у) = Л(х, у), 3) (Х! + Х2 у) = (Х! у) + (Х2 у)1 4) (х,х) ) О, причем (х,х) ) О, если х ныл. (Таким образом, мы внесли поправку в первую аксиому, сохранив три остальные без изменений.) Из условий 1) и 2) следует, что (х, Лу)= = Л (х, у). Действительно, (х, Лу)=(Лу, х)=Л(у, х) = Л(х, у). Хорошо известный пример комплексного евклидова пространства и измерений — это линейное пространство С" ($1, пример 2), в котором скалярное произведение элементов х=(х„х„..., х„) и у=(у„у2, ..., у„) Определяется формулой (х, у)= ~ хьуь.
Как известно, всякое комплексное евклидово пространство размерности п изоморфно этому пространству. Примерами бесконечномерных комплексных евклндовых пространств могут служить: !) комплексное пространство 12, в котором элементы — это последовательности комплексных чисел х=(хп х2, ..., х„, ...), удовлетворяюшие условию 'Ю 2 (х„!2 < ВО, в ! .а скалярное произведение определяется формулой (х, у) = ~ х„у; л=! 2) пространство С2[а, Ь] комплекснозначных непрерывных функций на отрезке [а, Ь] со скалярным произведением ь ([. у)=1[(1)у(1) (й Ф В комплексном евклидовом пространстве длина (норма) вектора определяется, как и в действительном случае, формулой ((х((*= 1/(х, х).
1вв НОРИИРОВАНННЕ И ТОПОЛОГИНЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА )гл, ПГ Понятие угла между векторами в комплексном случае обычно. не вводят (поскольку величина -( — (' „—, вообще говоря, ком(х, у) плексна и может не быть косинусом какого-либо действительного угла); однако понятие ортогональности сохраняется: элементы х и у называются взаимно ортогональными, если (х, у) = = О. Если (гр ) — какая-либо ортогональная система в комплексном евклидовом пространстве В, и ( — произвольный элемент из )т, то, как и в действительном случае, числа 1 (%л |~3 называются коэффициентами Фурье, а ряд Х ам.
— рядом Фурье элемента ) по ортогональной системе (р ) Имеет место неравенство Бесселя: ~!1,р„~(~а„) -«:-((, (). В частности, если система (ф ) ортогональна и нормирована, тв коэффициенты Фурье по такой системе определяются формтлами е„=((, ф„), а неравенство Бесселя имеет вид ~' ) с„)г~(((, )). Полное комплексное евклидово пространство бесконечной размерности называется комплексным гильбертовым пространством. На комплексный случай переносится теорема об изоморфизма гильбертовых пространств: Теорем а 9.
Все сепарабельные комплексные гильбертовьа пространства изоморфны между собой. Простейшей реализацией комплексного гильбертова пространства является комплексное пространство (ь С другой, функциональной, реализацией комплексного гильбертова пространства мы познакомимся в гл.
т'П. Предоставляем читателю проверить, что все теоремы, доказанные выше для действительных евклидовых, в частности гильбертовых, пространств, справедливы (с незначительными изменениями, учитывающими комплексность скалярного произведения) и для комплексных пространств. ТОПОЛОГНЧЕСКНЕ ЛИНЕПНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 1ат 5 5. Топологические линейные пространства 1. Определение н примеры.
Задание нормы — лишь один из возможных способов введения топологии в линейном пространстве. Развитие таких областей функционального анализа, как -теория обобщенных функций (о них будет сказано в следующей главе), показало, что во многих случаях полезно рассматривать линейные пространства с топологией, задаваемой не с помощью нормы, а каким-либо иным способом. О п р е д е л е н и е ! . Множество Е называется топологическим линейньгм пространством, если !. Е представляет собой линейное пространство (с умножением элементов на действительные или комплексные числа).
П. Е является топологическим пространством. 1П. Операции сложения и умножения на числа в Е непрерывны относительно заданной в Е топологии. Подробнее последнее условие означает следующее: 1) если хо = хо+ уо, то для каждой окрестности У точки хо можно указать такие окрестности т' и ((т точек хо и у, соответственно, что х + у еи у при х ее (т, у еп )«'; 2) если а«хо = уы то для любой окрестности У точки уо существуют такая окрестность )т точки хо и такое число е» О, что ах е= у при ) а — ссо( < о и х е= р. Из связи, существующей в линейном топологическом пространстве между алгебраическими операциями и топологией, вытекает, что топология в таком пространстве полностью определяется заданием сиетемьо окрестностей нуля.
Действительно, пусть х — точка линейного топологического пространства Е, и 0 — некоторая окрестность нуля в Е. Тогда У+х — «сдвиг» этой окрестности на х — есть окрестность точки х; очевидно, что любая окрестность любой точки х е= Е может быть получена таким способом. Из непрерывности операций сложения и умножения на числа в топологическом линейном пространстве Е непосредственно вытекают следующие утверждения. 1. Если У, (т — открытые множества в Е, то и множество Ет+ )т (т.
е. совокупность всех элементов вида к+у, х я У, у ее ве У) открыто. 2, Если У открыто, то и множество ХУ (т. е. совокупность всех элементов вида Ах, х~ У) при любом Х Ф 0 открыто, 3. Если г" замкнутое множество в Е, то и Аг" замкнуто при любом Л. Пример ы. 1. К топологическим линейным пространствам относятся прежде всего все нормированные пространства. Действительно, из свойств нормы сразу следует, что операции сложения векторов и умножения их на числа в нормированном 153 нормиРОВАнные и топологические пРОстРАнстВА 1гл.
Нт пространстве непрерывны в той топологии, которая определяется нормой. 2. Зададим определяющую систему окрестностей нуля в пространстве Р( всевозможных числовых последовательностей х= =(хь хг, ..., х„, ...) так. Каждая окрестность У(йь .... й„; в) определяется целыми числами Ьь ..., Ь, и числом е ) О и состоит из всех тех х ен К, которые удовлетворяют условиям: (хе,~<е, 1=1, 2, ..., г. Легко проверить, что задание этой системы окрестностей превращает 11" в линейное топологическое пространство.
(Наряду с 11- можно рассматривать пространство С' всех комплексн ы х последовательностей.) 3. Пусть К1а, Ь) — пространство бесконечно дифференцируемых ') функций на отрезке 1а, Ь]. Топологию в К(а, Ь) определим с помощью следующей системы Окрестностей нуля. Каждая такая окрестность О,, определяется номером т и числом е ) О и состоит из всех функций ср, удовлетворяющих неравенствам ~грсе>(х)(<е, й=О, 1, 2, ..., т, где фА~ — производная Ь-го порядка от функции ср. Тот факт, что в топологическом линейном пространстве топология связана с линейными операциями, определенными в нем, накладывает на его топологию довольно жесткие ограничения. Именно, в топологическом линейном пространстве Е точка х и не содержащее ее замкнутое множество имеют непересекающиеся окрестности.
При доказательстве этого утверждения достаточно рассмотреть точку х = О и любое не содержащее ее замкнутое множество Е. Положим У = Е', Е. В силу непрерывности операции вычитания в Е найдется такая окрестность нуля Ф, что )Рг — %'» К В качестве йу можно взять пересечение окрестностей нуля Ж'1 и Ц таких, что х — у ен У, если х ен 1Р1 и у ен игг. Проверим, что замыкание окрестности %' содержится в 1Т. Пусть у ~1Щ Тогда каждая окрестность точки у, в частности, у+ В', содержит какую-либо точку г из 1(г. Следовательно, г — у ен 1Р', т.
е. у ~ 1Р' — 1Р" с О, что и утверждалось. При этом ТР' и Е, (1(т) — искомые окрестности точки О и множества Е соответственно. Топологическое пространство называется Типространством, если оно удовлетворяет аксиоме отделимости Ть т. е. если любое его одноточечное подмножество замкнуто; очевидно, что линейное топологическое пространство есть Т,-пространство тогда ') Т, е. ииеюших производные всех порядков. $ з1 ТОПОЛОГИЧССКИЕ ЛННЕИНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 169 и только тогда, когда пересечение всех окрестностей нуля ие содержит ненулевых элементов.
Топологические пространства, удовлетворяющие аксиомам отделимости Т1 и Тз, мы назвали в гл. П регулярными; нз доказанного в предыдущем абзапе следует, что топологичегкое линейное Тннространство регулярно. В нормированных пространствах важную роль играет понятие ограниченного множества. Хотя там это понятие вводится при помощи нормы, оно может быть естественно сформулировано и для любых линейных топологических пространств. Множество М, лежащее в топологнческом линейном пространстве Е, назовем ограниченным, если для каждой окрестности нуля () существует такое и» О, что А():з М при всех ~)с~ » ~ и.
Ясно, что для нормированных пространств это понятие ограниченности совпадает с ограниченностью по норме (т. е. с возможностью поместить данное множество внутрь некоторого шара ~~х11 ( )с). Пространство Е называется локально ограниченным, если в нем существует хотя бы одно непустое открытое ограниченное множество. Всякое нормированное пространство локально ограничено. Примером пространства, пе являющегося локально ограниченным, может служить пространство Й=, указанное в примере 2 (докажите это!).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
