Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 32
Текст из файла (страница 32)
е. 5 есть нулевой элемент в Р. Итак, 11 $11)О и 11511=0 лишь тогда, когда $— нуль пространства Р. ') В силу теоремы Вейерштрасса, гласящей, что всякая непрерываая функция на отрезке есть предел равиоиерно сходящейся последовательности ыногочленов, замыкание подпространства иногочгенов в С(а, Ь) есть все С(и, Ь), 14Я НОРМИРОВАННЫЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА ~ГЛ, и! Далее, для всякого х ~)т и всякого а имеем 1! ах !! =1 а! ° 1! х !1.
Беря в обеих частях этого равенства нижнюю грань по хаем, получаем !!а$!1= 1а1 ° !!$!1. Наконец, пусть С, т! я Р и х е С, у я т!. Тогда !! $ + и !! ~ (!1 х + у !1 Я! х 1! + !! у !! Беря в правой части этого неравенства нижнюю грань по всем хе с, увить получаем, что 11 е + т! 1! ( 11 е 11 + 11 т! 11. Итак, все аксиомы нормированного пространства для Р выполнены. Покажем теперь, что если )т полно, то и Р = Р/М полно.
Действительно, согласно (6) для каждого $ ее Р/М найдется такой элемент х ее $, что !1111) з !!х!!. Пусть (~ ) — фундаментальная последовательность в Р. Переходя, если нужно, к подпоследовательности, можно считать, что ряд Е !! ь.„— м сходится. Добавив к 5 ) еще ео — нулевой элемент пространства Р,— выберем х„вне„+1 — $„(п = О, (, 2, ...) так, что 11е. ~ — В.11)ф1~.!1.
Тогда ряд ~ !1х„11 сходится, а значит, в силу полноты про- Р В Ю странства )т сходится и ряд ~', х„. Положив х= ~ х„и обо- и=О значив через $ класс, содержащий х, получим (поскольку а Х хь~ Е„при каждом и) =о Р и — ~Л~~* — ~*,)-О .Р --. т. е. $=!Нп $„. Итак: а+ Фактор-пространство банахова пространства по любому его (замкнутому) надпространству есть банахово пространство. 143 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА У ар аж пенна. 1. Пусть  — банахово пространство, В1~ Вх ~ щ В ~...
— последовательность вложенных замкнутых шаров в нем. докзжнте, что она имеет непустое пересечение (не предполагается, что радиусы зтнх шаров стремятся к О; ср, с упражнением 3 на стр. 70). Прнведнте прнмер последовательности вложенных непустых ограннченных замкнутых выпуклых множеств в некотором В-пространстве, имеющих пустое пересечение. 2 Пусть й — бесконечномерное В-пространство; тогда его алгебраическая размерность (см.
упражненне 3 на стр. 123) несчетна. 3. Пусть й — линейное нормнрованное пространство; доказать справедливость следующих утверждений: 1) всякое конечномерное линейное многообразие в й замкнуто; 2) если М вЂ” подпространство, а Аг — конечномерное подпространстао в й, то нх сумма М + Ф = (х: х = у + г, у ги М, г чи Аг) замкнута; прнвестн пример двух (замннутых) линейных подпрострзнств в 1г, сумма которых не замкнута; 3) пусть Я вЂ” открытое выпуклое множество в й, н пусть хеФ Я; тогда существует гнперплоскость, проходящая через точку «е н не пересекающая О. 4. Две нормы, !1 !1, н !1 "11ь в линейном пространстве В называются аквиаиленгными, еслн существуют такие постоянные и, Ь ) О, что и(1х!1, ( 1,х!1, ~ е- Ь)х)~ для всех х щ В. доказать, что если пространство й конечномерйо, то любые две нормы в нем эхвнвалентны.
$ 4. Евклидовы пространства 1. Определение евклидовых пространств. Один из хорошо известных способов введения нормы в линейном пространстве— вто задание в нем скалярного произведения. Напомним, что скалярным произведением в действительном линейном простран- стве )хг называется действительная функция (х, у), определенная для каждой пары элементов х, у ~)с и удовлетворяющая сле- дующим условиям: 1) (х,у)=(у,х), 2) (х~ + хг, у) = (хь у)+ (хщ у).
3) (Ах, у) = ). (х, у), 4) (х„х) ) О, причем (х, х) = О только при х = О. Линейное пространство с фиксированным в нем скалярным произведением называется евклидовым пространством. В евкли- довом пространстве Й вводится норма с помощью формулы ((х ((= ~/(х, х) . Из свойств 1) — 4) скалярного произведения следует, что все аксиомы нормы при этом выполнены. Действительно, выполнение аксиом 1) и 3) нормы (п. 1 5 3) очевидно, а выполнение аксиомы 2) (неравенство треугольника) Вытекает из неравенства Коши — Буняковского 1(х, у) ((((х(! ° (! у((, (1) которое мы сейчас докажем.
)44 нОРмиРОВАнные и тОпОЛОГические пРОстРАнстВА )гл Н1 Рассмотрим квадратный трехчлен от действительной переменной Л, неотрицательный при всех значениях Л; ф(Л) =(Лх+ у, Лх+ у) =Лт(х, х)+ 2Л(х, у)+(у, у) =- =!)х)РЛТ+ 2(х, у) Л+!!у !Р. Так как это выражение представляет собой скалярный квадрат некоторого вектора, то всегда ф(Л)'= О. Следовательно, дискриминант этого трехчлена меньше или равен нулю. Неравенство Коши — Буняковского (!) как раз и выражает не что иное, как неположительность дискриминанта этого квадратного трехчлена ф(Л). Отметим, что я евклидовом пространстве сумма, произведение на число и скалярное произведение непрерывны, т. е.
если хл-»х, уа-»у (в смысле сходимости по норме), Л -»Л (как числовая последовательность), то х„+ у„— »х+ у, Л„х„ — Лх, (х„, у„) -» (х, у), (х, у) созф= !!, ', (2) При этом из неравенства Коши — Буняковского (!) вытекает, что выражение, стоящее в (2) справа, по модулю ие превосходит ! и, следовательно, формула (2) действительно для любых ненулевых х и у определяет некоторый угол ф, О < ф < и. Если (х, у) = О, то из (2) получаем, что ф = п/2; в этом случае векторы х и у называются ортогональными. Система ненулевых векторов (х ) из тг' называется ортогональной, если (х, х )=О при ачьр. Если векторы (х ) ортогональиы, то оии линейно независимы. Б самом деле, пусть а~ха + паха + + алха = О; ААоказательство этих фактов основано на использовании неравенства Коши — Буняковского (!) и предоставляется читателю в качестве упражнения.
Наличие в )т скалярного произведения позволяет ввести в этом пространстве не только норму (т. е. длину) вектора, но и угол между векторами; именно, угол ф между векторами х и у определяется формулой 145 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА поскольку (х ) — ортогональная система, имеем (Хан а!Ха, + ... + а„Х, ) =а!(Хаа Х,) = О, но (хап х .) Ф 0 и, значит, а!= 0 для всех 1= 1, 2, ..., л. Если ортогональная система (х„) полна (т. е.
наименьшее содержащее ее замкнутое подпространство есть все Й), то она называется ортогональным базисом. Если при этом норма каждого элемента равна 1, то система (х,) называется ортогональным нормированным базисом. Вообще, если система (х„) (полная илн нет) такова, что ~ 0 при ачьр, (х„х )= 1 1 при а=р, то она называется ортогональной нормированной (короче ортонормальной) системой. Ясно, что если (х„) — ортогональная сила стема, то1 — 1 — ортогональная нормированная система. ~ 1ха1 ~ 2, Примеры, Рассмотрим некоторые примеры евклидовых пространств и ортогональных базисов в них. 1. а-мерное арифметическое пространство (сл, элементами которого служат системы действительных чисел х=(хь хь ..., х„), с обычными операциями сложения и умножения и скалярным произведением л (х, и) = ~~! хиу1, 1=! представляет собой хорошо известный пример евклидова пространства.
Ортогональный нормированный базис в нем (один нз бесконечного числа возможных) образуют векторы е,=(1,0,0,..., 0), е,=(0,1,0, ..., 0), е„=(0, О, О, ..., 1). 2. Пространство 11 с элементами х=(х„хь ..., х„, ...), где ~х!'<Ва, 1=1 н скалярным произведением л (х, У)= ~' х12! (4) есть евклидова пространство.
Действительно, сходимость ряда. стоящего в (4) справа, следует из неравенства (4) гл. П, $ 1, НОРМИРОВАННЫЕ И ТОПОЛОГНЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА !ГЛ !Ц Свойства 1) — 4) скалярного произведения проверяются непосредственно. Простейший ортогональный нормированный базис в 1А образуют векторы е, = (1, О, О, ...), е, = (О, 1, О, ...), е, = (О, О, 1, ...), (5) Ортогональность и нормированность этой системы ясны; вместе с тем система (5) полна: пусть х=(хь х,, ..., х„, ...) — любой вектор нз !А и х<"> =(хь х„..., х„, О, О, ...).
Тогда х~"> есть линейная комбинация векторов еь ..., е„и !]хин — х]!-+О при и-ь ос, 3. Пространство СА[а, Ь], состоящее нз непрерывных на [а, Ь], действительных функций, со скалярным произведением ь (1,а)=~1(1)а«) (1 О также является евклидовым. Среди различных ортогональных базисов, которые можно указать в нем, важнейшим является тригонометрическая система, состоящая из функций — оз ь, з!пп ь (п=1, 2, ...). (7) 1 2ИГ . 2ИГ Ортогональность этой системы проверяется непосредственно. Если рассматриваются непрерывные функции на отрезке длины 2П, скажем, на [ — и, и], то соответствующая тригонометрическая система есть: 1!2, созп1„ з!Пл! (л = 1, 2, ...).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
