Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 42

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 42)

примеры ниже). 2. Слабая сходнмость в нормированных пространствах. Рассмотрим подробнее понятие слабой сходимости применительно к нормированным пространствам. Теорема !. Если (х„) — слабо сходящаяся последовательность в нормированном пространстве, то существует такое постоянное число С, что 1! х„)! ~ С.

Иначе говоря, всякая слабо сходящаяся последовательность в нормированном пространстве ограничена. Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим в Е' множества А»л=((:!У,хл)!~й), й, п=1, 2, ... Эти множества замкнуты в силу непрерывности (),х ) как функции от 1 при фиксированном х .

Следовательно, замкнуты (как пересечения замкнутых) и множества А» — — П А»„. В силу и ! слабой сходимости (хи) последовательность (1, х ) огРаничена для каждого )'~ Е', поэтому Е'= () А. » 1 Так как пространство Е' полно, то по теореме Бара (Э 3 гл. 11) хоть одно из множеств А», скажем А»„должно быть плотно в некотором шаре В()е, в), а так как А», замкнуто, то это означает, что В(1» в! ~А»,. Но это значит, что последовательность (х ) ограничена на шаре В()о, е), а следовательно, и на любом шаре в Е', в частности иа единичном шаре этого пространства. Таким образом, последовательность (хи) ограничена как последовательность элементов из Е'*.

Но в силу изометричности естественного вложения Е в Е" это означает ограниченность (хч) и в Е. 3 а м е ч а н и е. При доказательстве ограниченности последовательности (х ) по норме мы воспользовались лишь тем, что числовая последовательность (й х,) ограничена прн наждом 1 ежЕ'. Таким образом, если последователыюсть (х„) в Е такова, что числовая последовательность (), х ] ограничена прн каждом )ш Е', то существует такая постоянная С, нто 1!хгА < С. Это утверждение можно обобщить: всякое слабо ограниченное (т, е, ограниченное в слабой топологии) подмножество Я нормированного нроггранггаа Е сильно ограничено (т.

е. содержится а некотором шаре). Действительно, допустим, найдетсн такая последовательность (х„) ~ Я, что 11х„11 — ь еа при и — са. Так как Я слабо ограничено, то н множество (х„) слабо ограничено, т. е. поглощается любой слабой окрестностью нуля; в частности, для любого 1 емЕь найдется такое й1, что (х„)~=1ч'(х:1(),х)1(1), откуда 1(йх )( <йг для $31 СЛАБАЯ ТОПОЛОГИЯ Н СЛАБАЯ СХОДИМОСТЬ 195 Но, по условию, гра(х )-> гра(х) при и -ь.оо. Следовательно, гр(х„) — >р(х)-ьО при и -ь оо для всякого грев Е'.

П р и м е р ы. Посмотрим, какой смысл имеет понятие слабой сходимости в некоторых конкретных пространствах. 1, В конечномгрном евклидовом пространстве йп слабая сходимость совпадает с сильной. Действительно, пусть е>, ...,г„— какой-либо ортогональный нормированный базис в йн и (ха)— последовательность в 1(н, слабо сходящаяся к элементу х. Пусть ха — — х'„'>е, + ... +х'„">е„ х=хн>в, + ... + х>н>е„. ХП>=(ХА, Е,)-ь(Х, Е>)=Х>П, х"'>=(х, е„)-ь(х, е„)=хз'>, Тогда всех и. Но зто в силу сделанного выше замечания противоречит предположеиию !>л 1 — ьо.

Если учесть, что слабая ограниченность множества О означает, что иа ием ограничен любой иепрерывиый линейный функционал, то мы приходим и следующему важиому результату: для того чтобы подмножество >2 нормированного пространства было ограничено, необходимо и досгогочно, чтобы нп С> был ограничен любой функционал 1 щ Е', Следующая теорема часто бывает полезна для фактической проверки слабой сходимости той нли иной последовательности. Теорема 2, 1)оследовательность (хн) элементов нормированного пространства Е слабо сходится к х ее Е, если: 1) !!х„!! ограничены в совокупности некоторой константой М; 2) 1(х,)-ьу(х) для всякого уев Л, где Л вЂ” некоторое множество, линейная оболочка которого всюду плотна в Е', Доказательство. Из условия 2) и определения действий над линейными функционалами следует, что если ф — линейная комбинация элементов из Л, то ф (х„) — ь>р (х).

Пусть теперь >р — п ро из вол ьн ый элемент из Е' и (фа) — сходящаяся к гр последовательность линейных комбинаций элементов из Л. Покажем, что гр(хн)-игр(х). Пусть М таково, что !!х„!!(М(п= 1, 2, ...) и !!х!!(М. Оценим разность !>р(х„) — >р(х) !. Так как >ра-ьф, то для любого е О существует такое К, что !!ф — >рь!!( е для всех й ) К. Поэтому ! >р(х„) — ш(х) !(! >р(х„) — >ра(х„) 3+ ! >ра(х„) — фа(х) !+ +! >ра(х) — >р(х) !(~еМ+ еМ+! >ра(х„) — >ра(х) !. 1йб линнпныв оинкционллы н линаиныи операторы 1гл ш т. е.

последовательность (х,) покоординатно сходится к х. Но тогда / л ху1 р (х, х) = ( ~ (х~> — хи 1)е)1 -» О, г=~ т. е. (хи) сильно сходится к х. Поскольку из сильной сходимости всегда вытекает слабая, равносильность этих сходимостей в )сл доказана, 2. Слабая сходижость а 1х. Для слабой сходимости о гр а н ич еи ной последовательности (хь) к х достаточно, чтобы выполнялись условия (х„, ег) =х~и-»х1П =(х, е,), 1=-1, 2, ..., где е, = (1, О, О, ...), ет = (О, 1, О, ...), ...

Действительно, линейные комбинации элементов ег всюду плотны в пространстве 1з (совпадающем, кан мы видели, со своим сопряженным). Поэтому наше утверждение вытекает из теоремы 2. Таким образом, слабая сходимость ограниченной последовательности (хд) в 1т означает, что числовая последовательность х" координат этих векторов сходится для каждого г = 1, 2, ... Иначе говоря, слабая сходимость совпадает с покоординатной (при условии ограниченности).

Нетрудно видеть, что в 1т слабая сходимость не совпадает с сильной. Действительно, покажем, что последовательность еь е,, ..., е„, ... слабо сходится в 1т к О. Всякий линейный функционал 1 в 1т записывается как скалярное произведение 1(х) = (х, а) вектора х нн !з на некоторый фиксированный вектор а = (аь аь ...). Поэтому 1(е„) = а„, и поскольку а„ -»О при и -ь оо для всякого а ~ 1ж получаем !пп)(е„)=0 л + л для каждого линейного функционала в 1,. В то же время в сильном смысле последовательность (е„) ни к какому пределу не сходится, У п р а ж н е н и я. 1. Пусть последовательность (х„) элементов гильбертова пространства Н слабо сходится к элементу х, причем ))х„))-»(х)) при л -» со.

Доказать, что в этом случае последовательность (х„) сильно сходится к х, т. е, 1 х„— х ) -» О. 2. Доказать, что утверждение упражнения 1 сохранится, если условие (хл(-»(х( заменить условиелг )х„)((х( для вссл л или условием н~ (х 1(1 л+ 3. Пусть Н вЂ” (сепарабельное) гильбертово пространство и Я вЂ” его огра. ниченное подмножество: Тогда топология в Я, индупируемая слабой топологией пространства Н, может быть задана некоторой метрикой.

4. Докажите, что всякое замкнутое в ы и у к л ое подмножество гильбертова пространства замкнуто в слабой топологии (в частности, всякое замкну- слАБАя топология н слАБАя сходимость 197 тое линейное полпространство гильбертова пространства слабо замкнуто).

Приведите пример замкнутого множества в гильбертовом пространстве, не являющегося слабо замкнутым. 3. Слабая сходимосто в пространстве С[а, Ь] непрерывных функций. Пусть (х„(Е)) — последовательность функций нз С[а, Ь], слабо сходящаяся к функции х(Е). Последовательность (х„(Е)» ограничена по норме С[а, Ь]. Среди функционалов, определенных на С[а, Ь], имеются, в частности, фуннционалы бео каждый из которых есть значение функции в некоторой фиксированной точке Ео (см.

пример 4 п. 2 $ 1). Для каждого такого функционала бг, условие бг,(х )- Ьг,(х) Означает, что х„(Ео)- «(Е,). Таким образом, если последовательность (хн(Е)» слабо сходится, то она: 1) равномерно ограничена, т. е. ]х„(Е) ] ~ С при всех и = =1,2, ... иа(Е(Ь; 2) сходится в каждой точке. Можно показать, что совокупность этих двух условий не только необходима, но и достаточна для слабой сходимости последовательности (х (Е)» в С[а, Ь].

Характеристики

Список файлов книги