Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Однако мы коснемся здесь некоторых простейших вопросов, относящихся к решению (обыкновенных) дифференциальных уравнений с обобщенными функциями. Начнем с простейшего уравнения вида у'=1(х) (1(х) — обобщенная, или «обычная», функция), т. е. с задачи о восстановлении функции по ее производной. Начнем со случая у(х) = О. Теорема 1.
Только константы служат решениями (в классе обобщенных функций) уравнения у'=О, (9) ') Это утверждение можно распространить и на фуняння, существенно более общие, чем непрерывные, но для зтого нужно пользоваться понятием ннтегрируемости по Лебегу, о чем речь будет идти в следующей главе, 2!2 линвииые етикпнонллы и линеииые опегхтогы !гл ~ч Доказательство, Уравнение (9) означает, что (д', р) = (д, - ф') = 0 (!О) для любой основной функции ~реп К Рассмотрим совокупность Кп! тех основных функций, каждая из которых может быть представлена как производная какой-то основной функции. Очевидно, что Кп! есть линейное подпространство в К. Положим ~р~(х) = — ~р'(х); функция ~р, пробегает Кп>, когда ср пробе!ает К.
Равенство (10) определяет функционал у на Кп>. Заметим теперь, что основная функция у принадлежит КП> в том и только том случае, если ~ ~р(х)с(х=0, (1 1) Ю т. е. КП! есть ядро функционала ~ ф(х)Ых. Действительно, если ~р(х) = ф'(х), то ~ ф (х) Нх = ф(х) ~ = О. Ф (12) Обратно, выражение Ч()= ~ (!)Ж (!3) есть бесконечно дифференцируемая функция. Если (1!) выполнено, то ф(х) — финитная функция.
Ее производная равна !р(х). В соответствии с результатами п. 6 $ 1 гл. 1П любую основную функцию ~р ~ К можно представить в виде <р = <р, + орч (~р, ея К си), где ~рч — фиксированная основная функция, не принадлежащая Кн! и удовлетворяющая условию ~ фч (х) пх = 1. Для этого достаточно положить с= ~ <р(х)дх и у,(х)=<р(х) — с~р (х). Ю Таким образом, если задать значение функционала у на основной функции ~ра(х), то тем самым он будет однозначно ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦНН определен на всем К.
Положив (у, ф,) = а, получим Ю (у, ф) =(у, и,)+ с(у, фе) =а ~ ф(х) йх= ~ аф(х)дх, т. е. обобщенная функция у есть постоянная а, что и требовалось доказать. Отсюда следует, что если для двух обобщенных функций 1 и д выполнено равенство 1' = д', то ) — д = сопз1. Рассмотрим теперь уравнение У'=1(х), (14) где 1(х) — произвольная обобщенная функция. Теорема 2. Уравнение (14) при каждом 1'еи К' имеет решение, принадлежащее К'. Это решение естественно назвать первообразной обобщенной функции 1.
До наз а тельство. Уравнение (!4) означает, что (У', ф)=(У, -ф')=(1, ф) (15) для любой основной функции ф еи К Это равенство определяет значение функционала у на всех основных функциях ф~ из Киб ь, в) - (1. — 1 е (Б а) . Используем теперь полученное выше представление ф=ф~+сфв, элементов из К. Положив (у, фе)= О, мы доопределим тем са- мым функционал у на всем К; именно, Этот функционал, как легко проверить, линеен и непрерывен.
Кроме того, он удовлетворяет уравнению (14). Действительно, для всякого ф ен К ь'. м=ь, — в')-(Г, )в'(Ба)=е. е. 60 Итак, для каждой обобщенной функции 1(х) существует решение уравнения у'=1(х), '214 линейные ФункционАлы и линейные ОпеРАтОРы 1гл. щ т. е. каждая обобщенная функция имеет первообразную.
В силу теоремы 1 эта первообразная определяется функцией 1(х) однозначно с точностью до постоянного слагаемого. Полученные результаты легко переносятся на системы линейных уравнений. Ограничимся здесь соответствующими формулировками, опуская доказательства. Рассмотрим однородную систему и линейных дифференциальных уравнений с и неизвестными функциями ь у,'= 2, ам(х)у„, 1=1, 2, ..., и, (16) А где аех — бесконечно дифференцируемые функции. Такая система имеет некоторое количество «классических» решений (т. е. решений, представляющих собой «обычные», причем бесконечно дифференцируемые функции).
Можно показать, что никаких новых решений в классе обобщенных функций система (16) не имеет. Для неоднородной системы вида ь ,= Еа„а+)и А. ! (17) где 1,— обобщенные, а ам — «обычные» бесконечно дифференцируемые функции, решение существует в классе обобщенных функций и определяется с точностью до произвольного решения однородной системы (16). Если в системе (17) не только ам, но и 1; — «обычные» функции, то все решения этой системы, существующие в К', также оказываются обычными функциями.
7. Некоторые обобщения. Выше мы рассматривали обобщенные функции «одного действительного переменного», т. е. обобщенные функции на прямой. Можно, на основе тех же идей, ввести обобщенные функции на ограниченном множестве, ска.. жем, на отрезке или окружности, обобщенные функции нескольких переменных, обобщенные функции комплексною аргумента и т. д. Наконец, и для обобщенных функций на прямой то определение, которое было дано выше,— далеко не единственно возможное. Рассмотрим вкратце некоторые из указанных типов Обобщенных функций. а) Функции нескольких переменных.
Рассмотрим в л-мерном пространстве совокупность К" функций у(хь х,, ..., х ), имеющих частные производные всех порядков по всем аргументам, и таких, что каждая из этих функций равна нулю вне некоторого параллелепипеда а~" х1 ~ЬИ 1=1, 2, ..., и. Ф з! ововшвнныв ахнкции 2!5 Совокупность К" представляет собой линейное пространство (с обычными операциями сложения функций и умножения их на числа), в котором можно ввести сходимость следующим образом: у~-ь у, если существует такой параллелепипед а; ( х; ( Ьь ! = 1, 2, ..., и, вне которого каждая из функций <р„равна нулю, а в этом параллелепипеде имеет место равномерная сходимост!н д'<р„ д'~р -+ а Tа~=г „ для каждого фиксированного набора целых неотрицательных чисел ссь ..., а .
Обобщенной функцией и переменных называется любой непрерывный линейный функционал на К". Всякая еобычная> функция и переменных 1(х), интегрируемая в любой ограниченной области п-мерного пространства, есть в то же время и обобщенная функция. Значения отвечающего ей функционала определяются формулой (1, ч) = ~ 1(х) е (х) йх (х =(хо ..., х„), йх=йх, ... йх„). Как и в случае п = 1 различные непрерывные функции определяют различные функционалы (т.
е. представляют собой различные обобщенные функции). Для обобщенных функций и переменных понятия предельного перехода, производной и т. д. вводятся с помощью тех же методов, что н в случае одного переменного. Например, частные производные обобщенной функции вводятся формулой , ~~ (х) = ( — 1)' 1 (х), а вторые — условию (1, аф) = а (1, ~р).
Отсюда видно, что каждая обобщенная функция п переменных имеет частные производные всех порядков. б) Комплексные обобщенные функции, Возьмем теперь в качестве основных функций бесконечно дифференцируемые финитные функции на прямой, принимающие комплексные значения. Линейные функционалы на пространстве К таких функций естественно назвать комплексными обобщенными функциями.
Напомним, что в комплексном линейном пространстве существуют линейные и сопряженно-линейные функционалы. Первые удовлетворяют условию (а — число) (1 ае)=а(1, ц), Если )(х) — обычная комплекснозначная функция на прямой, то ей можно сопоставить линейный функционал на К двумя способами: ~Ю (1, ф) ~ = ~ 1 (х) ~р(х) йх (18,) (18») .Этой же функции 1(х) можно сопоставить два сопряженно-ли- нейных функционала, а именно: О ,(~, 4Р) = ~ 1(х)~Р(х)4(х (184) (184) Выбор одной из этих четырех возможностей означает определенный способ вложения пространства «обычных» функций в пространство обобщенных функций. Операции над комплексными обобщенными функциями определяются аналогично тому, как это было описано выше для действительных функций.
в) Обобщенные функции на окружности, Иногда полезно рассматривать обобщенные функции, заданные на некотором ограниченном множестве. В качестве простейшего примера рассмотрим функции на окружности. За пространство основных функций примем совокупность всех бесконечно дифференцируемых функций на окружности, определив для них операции сложения и умножения на числа обычным образом. Последовательность функций (гр„(х)) в этом пространстве мы назовем сходящейся, если для каждого й = О, 1, 2, ... последовательность производных ф~>(х)) сходится на всей окружности равномерно.
Поскольку здесь все множество аргументов (окружность) ограничено, условие финитности основных функций автоматически отпадает. Линейные функционалы на этом пространстве мы назовем обобщенными функциями на окружности. Всякую обычную функцию на окружности можно рассматривать как периодическую функцию, заданную на всей прямой. Перенося это соображение на обобщенные функции, можно связать обобщенные функции на окружности с периодическими Обобщенными функциями.
При этом периодической обобщенной 216 линеиные ФункциОнАлы и линейные ОпеРАТОРы 1гл. 4у 21т ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ функцией (с периодом а) естественно называть функционал 1. удовлетворяющий условию (~(х), ф(х — а)) =()(х), ф(х)) для всякой основной функции ф. Примером периодической обобщенной функции может служить функция Х совах= — — +и 1 6(х — 2йя), 1 2 которая уже упоминалась выше. г) Другие основные пространства.
Мы определили выше обобщенные функции на прямой как линейные функционалы на пространстве К бесконечно дифференцируемых финитных функций. Однако такой выбор основного пространства — не единственно возможный. Например, вместо пространства финитных функций К можно было бы взять более широкое пространство всех бесконечно дифференцируемых функций ф(х) на прямой, убывающих вместе со своими производными быстрее, чем любая степень !/1к). Точнее говоря, будем считать, что ф(х) принадлежит основному пространству, которое мы обозначим 5, если для любых фиксированных р, д = О, 1, 2, ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
