Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 44
Текст из файла (страница 44)
по атому поводу, например, [421. $41 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ й 4. Обобщенные функции 1. Расширение понятия функции. В различных вопросах анализа термин «функция» приходится понимать с разной степенью общности. Иногда рассматриваются непрерывные функции, в других вопросах приходится предполагать, что речь идет о функциях, дифференцируемых один или несколько раз, и т.
д. Однако в ряде случаев классическое понятие функции, даже трактуемое в самом широком смысле, т. е. как произвольное правило, относящее каждому значению х из области определения этой функции некоторое число у = )(х), Оказывается недостаточным. Вот два важных примера. 1) Распределение масс вдоль прямой удобно задавать плотностью этого распределения. Однако, если на прямой существуют точки, несущие положительную массу, то плотность та.кого распределения заведомо не может быть описана никакой «обычной» функцией.
2) Применяя аппарат математического анализа к тем или иным задачам, мы сталкиваемся с невыполнимостью некоторых операций; например, функцию, не имеющую производной (в не:которых точках или даже всюду), нельзя дифференцировать, если производную понимать как «обычную» функцию. Конечно, .затруднений такого типа можно было бы избежать, ограничившись, скажем, рассмотрением одних только аналитических функ.ций.
Однако такое сужение запаса допустимых функций во многих случаях весьма нежелательно. Оказывается, однако, что подобные затруднения можно преодолеть путем не сужения, а существенного расширения понятия функции, вводя так называемые обобщенные функ.ции. Основой для введения соответствующих определений пам послужит понятие сопряженного пространства, рассмотренное .выше. Подчеркнем еще раз, что введение обобщенных функций было вызвано вовсе не стремлением к возможно большему расширению понятий анализа, а совершенно конкретными .задачами.
По существу, в физике обобщенные функции использовались уже довольно давно, во всяком случае раньше, чем была построена строгая математическая теория обобщенных функций. Прежде чем переходить к точным определениям, изложим основную идею построения. Пусть | — фиксированная функция на прямой, интегрируемая на каждом конечном интервале, и пусть ф — непрерывная функция, обращающаяся в нуль вне некоторого конечного интервала 1(такие функции мы в дальнейшем будем называть финигными).
204 ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ И ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ~ГЛ ПГ Каждой такой функции ср можно с помощью фиксированной функции 1 сопоставить число (1, гр) = ~ 1(х) ф(х)сгх (1У (фактически, в силу финитности гр(х) интеграл берется по некоторому конечному интервалу). Иначе говоря, функцию ) можно рассматривать как функционал (линейный, в силу основных свойств интеграла) на некотором пространстве финитных функций.
Однако функционалами вида (1) не исчерпываются все функционалы, которые можно ввести на таком пространстве; сопоставляя, например, каждой функции гр ее значение в точке х = О, мы получим линейный функционал, не представимый в виде (1). Таким образом, функции 1(х) естественным образом включаются в некоторое более широкое множество — совокупность всех линейных функционалов на финитных функциях.
Запас функций ф можно выбирать различным образом; например, можно было бы взять все непрерывные финнтные функции. Однако, как будет ясно из дальнейшего, разумно подчинить допустимые функции гр, помимо непрерывности и финитности, еще и достаточно жестким условиям гладкости. 2. Пространство основных функций.
Перейдем теперь к точным определениям. Рассмотрим на прямой совокупность К всех финитных фуниций ср, имеющих непрерывные производные всех порядков '). Функции, принадлежащие К, образуют лияейное пространство (с обычными операциями сложения функций и умножения их на числа). В этом пространстве нельзя ввести норму, которая отвечала бы излагаемой ниже теории, однако в нем естественным способом вводится понятие сходимости. Последовательность (~р„) элементов из К называется сходящейся к функции ф ~ К; если: 1) существует интервал, вне которого все ср„равны нулю'); 2) последовательность производных') (~р~"') порядка й (й = О, 1, 2, ...) сходится на этом интервале равномерно к фьй (Равномерность сходимости по различным й не предполагается.) Линейное пространство К с той сходимостью, которую мы в нем определили, мы будем называть основным пространством, а его элементы — основными функциями.
Нетрудно описать топологию в К, которой подчиняется заданная в К сходимость. Такая топология порождается системой окрестностей нуля, каждая нз которых задается нонечным набором тз, ..., у~ непрерывных положитель- ') Интервал, вне которого функция ф равна О, может быть различным для различных ~р ы К. з) Под производной нулевого порядна понимается, как обычно, сама функция, 205 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ ных функций и состоит из тех принадлежашнх К функций, которые прн всех х удовлетворяют неравенствам 1 Ф (х) 1 < у, (х), ..., 1 Ф'си (х) 1 < у,„ (х). Проверке того, что этой топологии действительно подчиняется описанная вы. ше сходимость в К, предоставляется читателю. У п р а ж н е н н е. Обозначим через К подпространство пространства К, состоящее из всех функций гр ы К, равных О вне отрезка 1 — т,ш1.
В прострастве К можно ввести струхтуру счетно.нормированного пространства, полаган ~)Ф)~а= знр )ф (х)), и=О, 1, 2, ... а<в<а (х!<м Проверьте, что топология (соответственно сходимость последовательностей) в пространстве К , порождаемая этой системой норм, совпадает с топологией (соответственно сходнмостью), нндуцнрованной в К описанной выше топологией (сходимостью) в пространстве К.
Ясно, что К~с Кз с ...с К с ..., причем К ( ) Киь Покажите, что множество й с К тогда н только тогда я=1 ограничено относительно введенной в К топологии, когда существует такое лз, что () является ограниченным подмножеством счетно.нормированного про. странства К . Пусть Т вЂ” лннейный функционал на пространстве К; докажите, что следующие четыре условия равносильны: (а) функционал Т непрерывен относительно топологии пространства К; (б) функционал Т ограничен на каждом ограниченном множестве гс' с К; (в) если Ф„ш К и Ф вЂ” ь О (в смысле введенной в К сходнмости последовательностей), то Т(фа) — ь О; (г) для каждого т сужение Т„функционала Т на надпространство Кы ~ К есть непрерывный функционал на К 3.
Обобщенные функции. О п р еде л е н и е. 1. Обобщенной функцией (заданной на пря. мой — сю < х < сю) называется всякий непрерывный функционал Т(ф) на основном пространстве К При этом непрерывность функционала понимается в том смысле, что Т(срп)-»Т(~), если последовательность фн сходится к ср в основном пространстве К. Заметим, прежде всего, что всякая интегрируемая на любом конечном интервале функция ((х) порождает некоторую обобщенную функцию. Действительно, выражение Т((гр) = ~ Т(х)ср(х)с(х (2) Т(р) = р(О). есть непрерывный линейный функционал на К.
Такие обобщенные функции мы в дальнейшем будем называть регулярными, а все остальные,:. е. не представимые в виде (2),— сингулярными. Приведем некоторые примеры сингулярных обобщенных функций. 1. «б-функция»: Это — непрерывный линейный функционал иа К, т. е., по вве- денной выше терминологии, обобщенная функция. Этот функ- ционал обычно записывают в виде ~ Ь (х) ~Р (х) с(х,, (3) понимая по 6(х) «функцию», равную нулю при всех хчьО и обращающуюся в точке х = 0 в бесконечность так, что ~ 6(х)дх=!. Мы рассматривали уже 6-функцию в $1 как функционал на пространстве всех непрерывных функций, определенных на некотором отрезке. Однако рассмотрение 6-функции как функционала на К имеет определенные преимущества, например, позволяет ввести для нее понятие производной.
2. «Смещенная 6-функция». Пусть Т (гр) = ф (а). Этот функционал естественно записать по аналогии с обозна- чением (3) в виде ~ 6(х — а)<р(х)дх. О (4) 3. «Производная 6-функции». Каждой у~ К ставится в соответствие число — ~р'(0). Несколько ниже мы выясним, почему этот функционал естественно считать производной функционала, указанного в первом примере. 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
