Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Иначе говоря, слабая сходимость в С[а, Ь] совпадает с поточечной (при условии ограниченности). Ясно, что эта сходимость не совпадает со сходимостью по норме С[а,Ь], т. е. равномерной сходимостью непрерывных функций. (Приведите соответствующий пример.) 3. Слабая топология и слабая сходнмость в сопряженном пространстве. В п. 2 предыдущего параграфа мы ввели в сопряженном пространстве Е" топологию, названную нами сильной, приняв за систему окрестностей нуля совокупность множеств вида См л = ([: ][(х) ] ( а, х ~ А), где А — произвольное ограниченное множество в Е, а в — произвольное положительное число.
Если мы здесь вместо всех ограниченных множеств будем рассматривать все к о н е ч н ы е подмножества А с: Е, то мы получим так называемую слабую топологию в сопряженном пространстве Е*. Поскольку всякое конечное множество А с: Е ограничено (обратное, вообще говоря, не верно), ясно, что слабая топология пространства Е* слабее, чем сильная топология этого пространства. Вообще говоря, эти две топологии не совпадают.
Слабая топология, введенная в Е', определяет в этом пространстве некоторую сходимость, называемую слабой сходи- 1да линввнын ьункционллы и линвииыв опавлторы 1гл, пг мастью функционалов. Слабая сходимость линейных функционалов представляет собой важное понятие, играющее существенную роль во многих вопросах функционального анализа, в частности, в теории так называемых обобщенных функций, э которых будет идти речь в следующем параграфе. Слабая сходимость последовательности (ф„) линейных функционалов есть, очевидно, сходимость этой последовательности на каждом ф и кси рова ином элементе из Е. Иными словами, последовательность (ф,) называется слабо сходящейся к ф ~ Е' если для каждого х ~ Е выполнено соотношение ф„(х) ф (х). Ясно, что и в сопряженном пространстве последовательность.
сходящаяся в сильной топологии, сходится и слабо (но не наоборот). Пусть Е (а следовательно, и Е") — банахово пространство.. Имеет место следующая теорема, аналогичная теореме 1. Теорем а !'. Если ((„) — слабо сходящаяся последовательность линейных функционалов на банаховом пространстве, то существует такое постоянное число С, что 11(л11~(С, п=1, 2, ...
Иначе говоря, всякая слабо сходящаяся последовательность эле-- ментов пространства, сопряженного банахову пространству, ограничена по норме. Доказательство не отличается от доказательства теоремы 1 Следующая теорема вполне аналогична теореме 2. Теорема 2'. Последовательность линейных функционалож (ф ) из Е* слабо сходится к ф еп Е*, если: 1) эта последовательность ограничена, т. е, !1ф„(~(С, я=1, 2, ...; 2) соотношение (ф„,х)-ь(ф,х) выполнено для всех х, при- надлежащих некоторому множеству, линейные комбинации эле- ментов которого всюду плотны в Е. Доказательство то же, что в теореме 2. Рассмотрим п ри мер. Пусть Е есть пространство С(а, Ь) не- прерывных функций ') и ф(х) =х(0), т.
е. ф есть 6-функция (см. $1, п. 2, пример 4). Пусть, далее„ ( фн(1)) — последовательность непрерывных функций, удовлетво- ') Мы счнтаем, что Оы(а,б). Можно было бы, конечно, вместо точки т О внять любую другую. СЛАБАЯ ТОПОЛОГИЯ И СЛАБАЯ СХОДИМОСТЬ' 199 ря!Ощих следующим условиям: 1) ф„(1)«0 при )1!) 1/и, ф„(1) «О; ь 2) 1 ф„(1)й(= 1. « 'Тогда для любой непрерывной на (а, о] функции х(1) с помощью теоремы о среднем получаем ь !/и $ ф„(1) х(1) йг = 5 ф„(1) х(1) а1 (О) п 0 -!м Выражение ь $ ф„(1) х(1) сМ а т!редставляет собой линейный функционал на С(а, о). Таким образом, 6-функцию можно представить как предел в смысле слабой сходимости линейных функционалов на С(а, о) последовательности «обычных» функций. Замечание.
Пространство Е' линейных функционалов на тгекотором пространстве Е мы можем рассматривать двояко: или как пространство, сопряженное к исходному пространству Е, или же считать само Е' основным пространством и связывать с ним сопряженное к нему пространство Е". В соответствии с этим мы можем в Е" вводить слабую топологию двумя способами: либо как в пространстве функционалов, определяя окрестности в Е* с помощью всевозможных конечных наборов элементов из Е, либо как в основном пространстве, с помощью пространства Е".
В случае рефлексивного пространства это, разумеется, одно и то же. Если же Е не рефлексивно, то это †д различные топологии в Е". Чтобы избежать возможной здесь путаницы, будем слабую топологию, определяемую в основном пространстве (т. е, топологию в Е', определяемую с помощью .Е'") называть просто слабой топологией, а слабую топологию в пространстве функционалов (т.
е. топологию в Е', определяемую с помощью Е) называть -слабой топологией. Очевидно, что -слабая топология в Е" слабее, чем слабая топология пространства Е (т. е. в слабой топологии не меньше открытых мно.жеств, чем в -слабой топологии). 4. Ограниченные множества в сопряженном пространстве. В различных применениях понятия слабой сходимости линейных функционалов важную роль играет следующая теорема. Т е о р е м а 3, Если Š— сепарабельное линейное нормированггое пространство„то в любой ограниченной последовательности 2ОО линейные ФуНкциОнАлы и линенные ОпеРАТОРы (гл. Рг непрерывных линейных функционалов на Е содержится слабо сходящаяся подпоследовательность. До к а з а т е л ь с т в о. Выберем в Е счетное всюду плотное множество (хихг, ..., х„, ...). если (ф„) — ограниченная (по норме) последовательность линейных функционалов на Е, то числовая последовательность ф, (х,), (р2(х,), ..., (р„(х,), ...
ограничена. Поэтому из (ф») можно так выбрать подпоследовзтельность а! и! (и ф( ф2»ф« чтобы числовая последовательность ф((! (х(), (р( ! (х(),..., ф((! (х(),... сходилась. Далее, из (ф((!) можно так выбрать подпоследовательность ф(2! ф(2! ф(2! чтобы сходилась последовательность ф('! (х2), ф(2'! (хг), ..., ф('! (х2), ... Продолжая этот процесс, получим такую систему последовательностей фщ ф>н в! (р(2! (ра! (р(2! (каждая из которых содержится в предыдущей), что (ф(А!) сходится в точках х(, х2, ..., хь.
Тогда, взяв «диагональ» (ра! ф(2! фв>! мы получим такую подпоследовательность линейных функционалов, что ф((и(х„), (р("(х„), ... сходится для всех и. Но тогда (в силу теоремы 2') последовательность ф(((((х), ф)2((х), ... сходится и для любого х~Е. Эта теорема вместе с теоремой !' означает, что в пространстве Е', сопряженном сепарабельному банахову пространству, ограниченные подмножества, и только они, являются счетнопредкомпактными в -слабой топологии. Покажем, что на самом деле здесь имеет место предкомпактность, а нс тольно счетная предкомпактность. Докажем прежде всего следующую теорему.
Т е о р е и а 4. Луста Б' — замкнутый единичный шар пространства Е', сопряженного к сепарабельному нормированному пространству Е. Топологию, индуцированную в 5* -слабой топологией пространства Е', можно задать при помощи метрики р(~> д)=~ 2 "~(1 й> х«) (> (2) СЛАБАЯ ТОПОЛОГИЯ И СЛАБАЯ СХОДИМОСТЬ' во! ч з! еде (х„) — некоторое фиксированное счетное всюду плотное мноакество в единичном шаре 5 пространства Е.
Доказательство. Ясно, что функция р(/,д') обладает всеми свойствами расстояния; кроме того, она инвариантна относительно сдвигов: р(/+ й, й+ й) р(/. й). Поэтому достаточно проверить, что система окрестностей нуля, определяемая в 5' слабой топологией пространства Е', эквивалентна системе окрестностей нуля, определяемой в 5' расстоянием (2), т.
е. что а) любой «шар» АЕ, = (/: р (/, О) < в) содержит пересечение 5' с некоторой слабой окрестностью нуля в Е* и что б) всякая слабая окрестность нуля в Е' содержит пересечение 5' с некоторым ес,. Выберем !!/ так, что 2 н < е/2 и рассмотрим слабую окрестность нуля !' = !' е, ... е; юг = (/: ! (/, ХА) ! < а/2~ й = ! е 2~ ° в А/). Тогда, если / ен 5' П )т, то р(/,0)=~~~ 2 "((/, хе)(+ ~~', 2 "!(/„хе)(~ е ! е н+! У ее — 2 "+ ~ 2 "<в, е ! е АЧ.! т. е. 5'П)тс е/,.
Тем самым утверждение а) доказано. Дока- жем утверждение б). Пусть (/ = (/~г ..., ~ : е = (/: ((/, у ) ! < б, й = ), 2. .. „ и!) — некоторая»-слабая окрестность нуля в Е'. Можно считать, что !!уе !! < (, й = 1,2, ..., Лг; так как множество (х„) всюду плотно в 5, то найдутся такие номера и!, ..., и, что 1!у» — х„е((<6/2, /Г =!, 2, ..., т. Пусть й/= тах(п!,, и ) и а=2 !н+ Ъ.
Тогда при /ен 5'ПЯ, из неравенств Ю2 линенныв оннкционллы и линниныв операторы [гл. ю- получаем, что [(/, х„)~ ( 2"е; в частности, ~ (/, х„„) ~ < 2"ав «< 2"в = Ь/2. Следовательно, для всех й = 1, 2, ..., пз получаем ~ (/, у„) ~ ~ ( (/, хаа) ( + ~ (/, у — хаа) ~ < Ь/2 + [[ / Ц ° ~ у — х„~ < Ь.
Таким образом, 5" П ь), с: К Теорема доказана. Ясно, что этот результат автоматически распространяется иа любой шар, а значит, и иа любое ограниченное подмножество Л'! с: Е'. Мы показали (теорема 3), что из каждой ограниченной последовательности в Е' можно выбрать»-слабо сходящуюся подпоследовательность. Иначе говоря, в пространстве Е", сопряженном сепарабельному линейному нормированному и снабженном »-слабой топологией, каждое ограниченное подмножество М счетно-предкомпактно.
Но в силу последней теоремы каждое такое множество есть метризуемое топологическое пространство,. а для метрических пространств компактность и счетная компактность совпадают. Таким образом, мы получаем следующий результат. Т е о р е м а 3'. Всякое ограниченное множество М в простран-- стве Е', сопряженном сепарабельному нормированному пространству, предкомпактно в смысле»-слабой топологии пространства Е*. Покажем теперь, что если Š— сепарабельное линейное нормированное пространство, то всякий замкнутый шар в пространстве (Е', Ь) замкнут в -слабой топологии пространства Е'. Так как сдвиг в пространстве Е' переводит класс замкнутых (в»-слабой топологии) множеств в себя, то достаточно доказать, что в а-слабой топологии замкнут всякий шар вида 5; = =(/: [[/[[ < с). Пусть /оФ 5,'.
По определению нормы функционала найдется такой вектор хам Е, что [[х[[= 1, /о(х) = а ~ с а+с'г Тогда множество У= (/: /(х) ) — ) будет»-слабой окрестностью функционала /з, не содержащей ни одного элемента нз шара 5;; следовательно, шар 5, замкнут в -слабой топологии Из доказанного утверждения и теоремы 3' вытекает следующая теорема. Теорема 5. Всякий замкнутый итар в пространстве, сопряженном сепарабельному нормированному пространству, компактен в -слабой топологии. Изложенные выше результаты об ограниченных множествах в сопряженных пространствах могут быть перенесены с нормированных пространств нж произвольные лоиально выпуклые. См.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
