Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики (2-е изд., 2004) (1095467), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Подсчитаем баланс тепла в произвольном объеме 1' за промежуток времени (с,1+ йс). Обозначим через 5 границу с", и пусть п внешняя нормаль к ней. Согласно закону Фурье через поверхность 5 в объем 1с поступает количество тепла 1К2. Основные уравнения математической физики 37 равное в силу формулы Гаусса--Остроградского 1)1 = / с(ге(йрас)и) дхЫ. За счет тепловых источников в объеме 1~ возникает количество тепла Ц = / й(х,1)с1хЫ. /а Так как температура в объеме 1' за промежуток времени (1, Х -Ь с1е) выросла на величину ди и(х,1+ Ы) — и(х,1) — зле, д1 то для этого необходимо затратить количество тепла ди е )з = / ср — с)х ~.'и. г О дРУгой стороны, 1„зз = 01 + Яа, и цотому. ди) пп (й Кгас1 и) + Š— ср — ~ с1х д1 = о, д1) откуда в силу произвольности объема Ъ' пояучаем уравнение рас- пространения тепла ди ср — = Йн(й уас1и) + г'(х,1).
д1 (12) Если среда однородна, т. е. с, р и й постоянные, то уравнение (12) принимает вид й Е а ср' ср ди — =а Ли+1, д1 (13) Уравнение (13) называется уравнением тепаопроводности. Число п пространственных переменных хы ха, ..,, х„в этом уравнении может быть любым. Как и в случае уравнения колебаний, для полного описания процесса распространения тепла необходимо задать начальное распределение температуры и в среде (начальное условие) и режим на границе этой среды (граничное условие).
38 Гл. 1. Поетаноока красота задал математачеекоа физики Примгры граничных уоловий, а) Если на границе Я поддерживается заданное распределение температуры ио, то злая = зло (14) б) Если на Я поддерживается заданный поток тепла им то лЭлл — Й вЂ” = ил. дп (16) в) Если на 5 происходит теплообмсн согласно закону Ньютона, то ди й — + А(и — ио) ~. = 0 дп я (16) Йт(рдгас1 и) + уи = Г(х). (17) При р = сопз1 и у = 0 уравнение (17) называется уравнением Пуассона: Г л.'ли = — Л, (18) р' при 7" = 0 уравнение (18) называется уравнением Лаллласа: (19) лаи = О. Для полного описания стационарного процесса необходимо еще задать режим на границе -- одно из граничных условий (14) -(16).
Пусть в волновом уравнении (10) внешнее возмущение 1(х,1) периодическое с частотой ш и амплитудой а~у(х): 7" (т 1) = а'Я(х)елке где 6 коэффициент теплообмена, ио температура окружающей среды. Аналогично выводится и уравнение диффузии частиц. При этом вместо закона Фурье нужно пользоваться законом Нэрнста для потока частиц через элемент поверхности ЬЯ за единицу времени: лле„л = = — Р ди)дел, где Р(х) — — коэффициент диффузии и и(х,у) — плотность частиц в точке х в момент времени 1. Уравнение для плотности и будет иметь вид (11), где р обозначает коэффициент пористости, р = Р и 4 характеризует поглощение среды. 3.
Стационарное уравнение. Для стационарных процессов Г(х, 1) = Г(х), и(х, 1) = и(х) уравнения колебания (2) и диффузии (11) принимают вид Х К2. Основные уравнения математической физики 39 если искать периодические возлеущения и(х, е) с той же частотой и неизвестной амплитудой и(х), и(х,с) = и(х)е'н", то для функции и(х) получим стационарное уравнение г охи+ Й и = — Дх), Й а (20) называемое уравнением Гельмгольца.
К краевым задачам для уравнения Гельмгольца приводят задачи на рассеяние (дифракцию). Например, пусть задана приходящая (из бесконечности) плоская волна е'ь(~' г, ~а~ = 1, Й ) О, которая подвергается изьиенснию из-за наличия некоторого препятствия на грани- 5 це Я ограниченной области С (рис.4). и Препятствие можно задавать, например с помощью условия и( = О или Рнс. 4 — = О. Это препятствие порождадп,= ет рассеянную волну и(х). Эта волна вдали от рассеивающих центров будет близка к расходящейся сферической волне и(х)~ с х ~ е'"~*~ о(х) = ф ~ — ) + о()х! ').
Ы ~( (21) Позтому при !х/ — > оо волна и(х) должна удовлетворять условиям вида и(х) = 0((х!' ~), — (Йи(х) = о(!х/ ~), (22) д/х/ называемым услов~ ями излучения Зоммерфельда. Суммарное же воз- мущение и(х) вне области С складывается из плоской и рассеянной волн; и(х) = е' (вьб + и(х). (23) Отметим попутно, что функция Дв), в = х/~х~, фигурирующая в (21),. называется ам литудой рассеяния; она зависит, кроме того, от па- дающего импульса Йа. 40 Гл.й Постановка краевых задач математической физики 4. Уравнения газо-гидродннамнки. Рассмотрим движение идеальной жидкости (газа), т.
е, жидкости, в которой отсутствуют силы вязкости. Пусть Ъ (х, 1) = (ос, оз, оз) вектор скорости движения жидкости, р(х,1) — — ее плотность, р(х,т) давление, Д(х,1) —— интенсивность источников и вектор Р(х, у) = (Ем Еа, Ез) - - интенсивность массовых сил. Тогда эти величины удовлетворяют следующей (нелинейной) сис~еме уравнений, называемых уравнениями еидродинамики (газовой динамики): — + дВ(рчс) = 1, др д1 аъ. — + (сс',8гас1)Ъ'+ — 8гадр = Р. д1 ' р (24) (25) Уравнения (24) и (25) называются соответственно уравнением неразрывности и уравнением движения Эйлера. Чтобы замкнуть эту систему уравнений, необходимо ещо задать связь между давлением и плотностью: ф(р,р) =о, (26) так называемое уравнение состояния.
Например, для несжимаемой жидкости уравноние состояния имеет вид р = сопвс, а для адиабати- ческого движения газа с с„ рр"' = сопвС, 61н(еБ) = 4яр, дВ (ссН) = О, (27) где ср и с„удельные теплоемкости газа при постоянном давлении и постоянном объема соответственно.
В частности, если жидкость несжимаема (р = сопв1) и ее движение потенциально ( чс = — 8гад и), то из у равнения неразрывности (24) следует,что потенциал и удовлетворяет уравнении> Пуассона (18). 5. Уравнение Максвелла. Пусть в некоторой среде имеется переменное электромагнитное поле. Обозначим: Е(х, 1) = (Е„Еа, Ез) — — напрлженность электрического поля; Н(х, с) = (Нс, Нз, Нз) -- напряженность магнитного поля; р(х) плотность зарядов; е диэлектрическая постоянная среды; р коэффициент магнитной проницаемости среды; 1(х,1) = (11, 72, зз) ток проводимости.
Тогда эти величины удовлетворлют следующей (линейной) системе дифференциальных уравнений, называемых уравнениями Максвелла; в Н2. Оеновньсе уравнения математической физики 41 1д(рн) Ж вЂ” — — дг (28) 1 д(еЕ) 4а гогН =— + — 1, с дй с (29) 4кЛ ди с П,и+ — — =О, а= —.
(30) е д1,/ер б) 1 = О, е = сопвс, р = сопвк Вводя четырехкогспонентный электромагнитный потенциал (Ао, А), А = (Аы А, Аз), представим решение у.равнений Максвеяла в виде 1дА 1 Е = 8гас1 Ао — —, Н = — гос А. (31) с де р При этом компоненты электромагнитного потенциала должны удов- летворять волновым уравнениям 4ксз сзаАо = а р: е р (32) ГУаА = 0 и условию Лоренца — суй А =О. ре дАо с д1 в) Если процесс стационарный, то уравнения Максвелла превращаются в уравнения злектростатики йч(еЕ) = 4яр, госЕ = 0 и в уравнения мознитостатики 4я с1Ь (НН) = О, го1 Н = — 1.
с При е = сопвс электростатический потенциал Ао удовлетворяет (в си- лу (32)) уравнению Пуассона (18) с г" = — (4фссе) р. где с = 3 . 10'о см/с -- скорость света в пустоте. Уравнение (28) выражает закон Фарадея, а уравнение (29) закон Ампера. сГЛСТНЪ|Е СдуЧЛИ уРЛВНЕНИН МЛКСВЕЛЯЛ. а) р = О, е = соггвс, р = согсвс и 1 = ЛЕ (закон Ома), Л = сопок Применяя к уравнениям (28) и (29) оператор гог и пользуясь уравнениями (27), для компонент векторов Е и Н получилс так называемое телеграфное уравнение 42 Гл. 1. Поетаноека краевых задач математической физики При преобразовании уравнений 171аксвелла мы пользовались следующими формулами векторного анализа: с)1ч ягас1 = 71, гоо гоС = ягас) йя — слз, гос дгас1 = О, Шз гос = О.
д717 й И вЂ” = — 7'.гф + Г'ф7 дс 2псо (33) где 77 = 1, 054 10 27эрг с --. постоянная Планка. Если энергия Е частицы имеет определенное значение, то такое состояние ее называется стассионариым. В этолс случае волновая функция у712,1) имеет вид 7, ф(х,с) = ехр — — Ег ф(я), 6 где волновая волна функция ф1х) в силу 133) удовлетворяет стацио- нарному уравнению Шредингера 02 — — саф + 12717 = Е47 2то (34) При 1' = 0 (свободная частица) у.равнение Шредингера (34) превращается в однородное уравнение Гельмгольца (20).
Как и для уравнения Гельмгольца, в задачах на рассеяние на потенциале г' необходимо требовать выполнения условий излучения ЗоммеРфельда 122) на бесконечности (где й = зг2тоЕД7 ', Е ) 0). 3 1.3. Классификация квазилинейных дифференциальных уравнений второго порядка Прежде чем формулировать математические постановки краевых задач для линейных дифференциальных уравнений второго порядка, необходимо классифицировать эти уравнения. 6.
у'равнение Шредингера. Пусть квантовая частица массы то движется во внешнем силовом поле с потенциалом 171я). Обозначим через со(хчс) волновую функцию этой частицы, так что фоя,1) ~2Лх есть вероятность того, что частица будет находиться в окрестности сот) точки х в момент времени 1; здесь Ь -- объем и(т). Тогда функция ф удовлетворяет уравнению Шредингера ус.у. Клаееифинаиил неазилинейных дифференииаленелх ураанений 43 1. Классификация уравнений в точке. Рассмотрим квази- линейное (линсйное относительно всех старших производных) дифференциальное уравнение второго порядка дги ао(х) +Ф(х,сл,ягас)сл) =О дхсдх с непрерывными коэффициентами а, (х). Выясним прежде всего, по какому закону преобразуются коэффициенты аб при произвольной неособенной замене переменных у = у(х), Ул = У~(хс,хг, ° ° »гн), с = 1,2,...,п С Р вЂ” с1 ф ди ~ дй дус дус дх* с=с дги д ( ди ') ~1 дгй дус дуь дх,дх, дхл (,дхс / л-' дусдуь дхл дх, е,с=с д- дг дус дх,дх Подставляя выражения (3) в уравнение (1), получим + Ф'(у,й,рас4й) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
