Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики (2-е изд., 2004) (1095467), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Я, такие Рис. 6 интегралы существуют в, возможно, меныпей окрестности. Поскольку при этом Л, б Сз, то б, у Е Сз, и в силу (29) и (25) (~,0Л, д~ дд д~ дп дб дп ъЯд~ дп 1,х, у) дх ду дд дх ду дд а ду ду Таким образом, семейства характеристик (28) образуют семейства координатных линий (рис.б), и функции б(х, у) и 0(х, у) у 1.а. Классификация квазилинейных дифференциальных уравнений 51 можно принять за новые переменные.
При этом в уравнении (21) бу- дет а=с=о, и в силу (22) и (29) д( дп 2д д~ дп Ь вЂ” [аЛсЛ2 Ь(Л1 + Лг) + с) — ь О дуду а дуду Разделив уравнение (21) на коэффициент 2Ь ф О, получим уравнение в канонической форме (26). П. Плрлполичгский тип. Пусть д = 0 в некоторой окрестности. Тогда уравнение (19) приводится к каноническому виду дги — + Ф = О. дуг (32) В этом случае в силу (25) Л1 — — Лг — — Ь/а е С', так что дифференциальные уравнения (24) совпадают и сводятся к одному уравнению дс Ь дс — + — — = О. дх аду (33) С=С(х,у), О=х, Р~ — ') =- — ~0, /~ОЛ д( х,у ду дает в силу. (22) и (23) дс дс ь= — +ь — =о, дх ду а=о, Разделив уравнение (21) на коэффициент с = о.
~ О, получим уравнение в канонической форме (32). П1. Эллиптичнский тип, д < О. Пусть коэффнциентсч а, Ь и с уравнен я (19) — аналитические функции переменных х, у в окрестности некоторой точки (см. у 1.1, п. 1). Тогда эепо уравнение праводипюя к каноническому виду дг дг — '+ — ",, +Ф=О. дьег д,12 (34) Поэтому имеется одно семейство Д(х,у) = Сс характеристик уравнения (19), определяемое в силу леммы обпеиы интегралом уравнения ду/дх = Ь/а таким, что дс/ду ф 0; при этом с е Сг. В качестве второго семейства координатных линий выберем прямыс х = Сг. В результате замена переменных 52 Гл.й Постаноока краевых задач ыатемаспическои физики В этом случае в силу (25) коэффициенты Ле и Лз уравнений (24) есть аналитические функции, причем Л1(х,у) = Лз(х, у) при вещественных х, у.
Из теоремы Коши — Ковалевской вытекает (см. '2 1.4, п.8 далее), что в достаточно малой окрестности существует аналитическое решение оз(х, у) уравнения дщ дщ — + Л1(х,у) — = О, дх ду (24') удовлетворяющее упаовию доо/ду у. -О. Положим 2 ш(х, у) + и(х, р) со(х., р) — ш(х, у) П = (35) 21 дш дш — +Л (х,р) — =О. дх ду Функции с, О принадлежат С'к, и в силу (35) и (31) ик якобиан отличен от нуля: ,Г 2,Гдд д-,Г:д д Поэтому функции е и у можно взять за новые переменные. Посмот- рим, какой вид примет уравнение (19) в этих переменных. По по- строению функция оо удовлетворяет уравнению а — +26 — — +с — =О.
Отделяя здесь вещественную и мнимую части и пользуясь (35), полу- чим д~ ду (дс ду д5 дх1'~ дс дп а — — +Ь~ — — + — — ~+с — — =О. дх дх 1,дх ду ду дх( ду ду Принимая во внимание формулу (22), заключаем отсюда, что 5 = с и 5 = О в переменных 5, и.
Далее, так как с1 ( О и дЦду ф О, то а = с ф О. Разделив уравнение (21) на а = с ф О, приведем его к каноническому виду (34). где со = 5 — гп — функция, комплексно сопряженная с ш = 5+ 1у; она удовлетворяет второму из уравнений (24): 71.3. Классифинаиил неазилинейных ди4ференииальных ураенении 53 5. Пример. Уравнение Трикоми. Как отмечалось в п.1, уравнение Трикоми дзи дзц "д .з + дуз 112) Рис. 7 ние Трикоми представляет интерес для газовой динамики, причем в области гиперболичности оно соответствует сверхзвуковому движению, а в области эллиптнчности дозвуковому движению.
При у < О уравнения характеристик (29) принимают вид ф 1 — =* с1х х7 — у Поэтому кривые (рис. 7) 3 — х+ Х( — уз = Сс 2 3 / „з 2 являются характеристиками уравнения Трикомн. Преобразование 3 ~=-.+ (-у': 2 3 77=, х ~l У 2 приводит уравнение Трикоми к каноническому виду д'й 1 (дй дй'1 дс,д71 6(~ — 77) )хд~ д77/' Если же у > О, то в соответствии с рассуждениями из п. 4 3 ю = — х — лисеу, ' з 2 принадлежит к смешанному типу".
при д < О оно гиперболического типа, а при у > О - — эллиптического типа, поскольку а = — у. Уравне- 54 Гл. б Постонооко красова задач математическая физика и подстановка типа [35) д — — ГР приводит уравнение Трикоми к каноническому виду дзй дзй 1 дй — + —,+ — —, г1<0. дбз дцз зц до' 3 1.4. Постановка основных краевых задач для линейных дифференциальных уравнений второго порядка В этом параграфе мы сформулируем математические модели для ряда характерных физических процессов., которые сводятся к различным краевым задачам для линейных дифференциальных уравнений второго порядка. 1. Классификация краевых задач. Как было показано в ~ 1.2, линейное диффорснциальное уравненио второго порядка дзи р — = ЙЬ[р8гаг1 и) — аи+ Г[х,1) дгз описывает процессы колебаний, уравнение ди р — = йт(рбгаг1и) — сги+ г'(х,1) (2) описывает процессы диффузии и, наконец, уравнение (3) — с)гч(р ягас) и') + с1и = Е(х) описывает соответствующие стационарные процессы.
Пусть С С Н" область, где происходит процесс, и Я ее граница, котору.ю считаем кусочно гладкой поверхностью. Таким образом, С есть область изменения аргументов х в уравнении [3) -- . область задания уравнения (3). Областью задания уравнений [1) и (2) будем считать цилиндр Цт = С х (О, Т) высоты Т с основанием С. Бго граница состоит из боковой поверхности 5 х [О, Т~ и двух основании: нижнего С х (0) и верхнего С х (Т) (рис. 8). Будем предполагать, что коэффициенты р, р и с1 уравнений (1)- [3) не зависят от времени 1: далее в соответствии с их физическим смыслом будем считать, что р(х) > О, р(х) > О, г1(х) > 0 при т Е С. На- 8 14.
Постановка основньы нраевыя задач конец., в соответствии с математическим смыслом уравнений (1Н3) необходимо считать, что р Е С(б), р Е С 10) и о е С(ь'). При этих предположениях согласно классификации 8 1.3 уравнение колебаний (1) — уравнение гиперболического типа, у.равнение диффузии (2) параболического типа и стационарное уравнение (3) Т эллиптического типа. Таким образолц различие в типах рассматриваемых уравпений тесно связано с различием физических процессов, описываемых этими уравнениями.
Пт Т Как отмечалось в 81.2, чтобы полностью описать тот или иной физический процесс, необходимо, кроме самого уравнения, описывающего этот процесс, задать начальное состояние этого процесса П (начальные условия) и режим на границе той области,в которой происходит этот Рис. 8 процесс (граничные условия). Математически это связанно с неединственностью решения дифференциальных уравнений.
Действительно, даже для обыкновенных дифференциаяьных уравнений п-го порядка общее решение зависит от т произвольных постоянных. Для у.равнений же в частных производных решение, вообще говоря, зависит от произвольных функций; например, общее решение уравнения ди,1дт = 0 в классе функций, зависящих от двух переменных я, у, имеет вид и(т, р) = т(р), где 1 произвольная функция класса Сз. Поэтому чтобы выделить решение, описывающее реальный физический процесс, необходимо задавать дополнительные условия. Такими дополнительными условиями и являются краевые условия: начальные и граничные условия.
Соответствующая задача называется краевой задачей. Различают, таким образом, следующие три основных типа краевых задач для дифференциальных у.равнений. а) Задача Коши для уравнений гиперболического и параболического типов; задаются начальные услови, область С совпадает со всем пространством 2", граничные условия отсутствуют. б) Краевая задача для уравнений эллиптического типа: задаются граничные условия на границе Я, начальные условия, естественно, отсутствуют.
в) Сиешаннал задача для уравнений гиперболического и параболического типов: задаются и начальные, и граничные условия, ф яь 56 Гл. й Постаноока краеомз задач математическое физики Опишем подробнее постановку каждой из перечисленных краевых задач для рассматриваемых уравнений (1) — (3). 2. Задача Коши.
Для уравнения колебаний (1) (гиперболический тип) задача Коши ставится следукзщим образом: найти функцию и(л,1) класса Сз(с > 0) П С'(с > 0), удовлетворяющую уравнению (1) в полупространстве 1 > 0 и начальным условиям при 1 = +О ди и~с=-о = ио(х); — = и1Ф. (4) д~ с=-о При этом необходимо, чтобы Е Е С(1 > 0), ио Е С(сел). Приведенная постановка задачи Коши допускает следующее обобщение. Даны квазилинейное дифференциальное уравнение второго порядка гиперболического типа дзи ~' дэи ~ д и / ди ди ди''1 кз=-1 Ж кусочно гладкая поверхность Х = 1с = п(л)) и функции ио и и1 на Е (данные Коши).
Задача Коши для уравнения (6) состоит в нахождении решения и(я,с), определенного в некоторой части области С > > п(я), примыкающей к поверхности Е, и удовлетворяющего на Х краевым условиям д = им дн и(н = ио (7) где п нормаль к Е, направленная в сторону возрастающих 1 (рис. 9). В задаче Коши (6), (7) важно, что поверхность Е ни в одной точке не касается характеристической поверхности (см. ~ 1.3, п.3) уравнения (6).
В противном случае задача Коши может или вовсе не иметь решения, или иметь несдинственное решение. При этом необходимо, чтобы Г Е С(1 > 0), ио 6 С (йн), и1 6 С(~к). Для уравнения диффузии (2) (параболический тип) задача Коши ставится так: найти функцию сДл, с) класса Сз(1 > 0) О С(с > 0), удовлетворяющую уравнению (2) в полупространстве 1 > 0 и начальному условию при 1 = +О $14. Пастаиоака осиааимх красвььх задач 57 Для доказательства сказанного приведем ПРимнР. Рассхьотриьь задачу Коши для уравнения и,с = 0 с данными на характеристике 1 = 0: ис(с о = иь(х).
и~с=о = ио(х), Если решение поставленной задачи существует, то из уравнения и второго начального условия вытекает необходимое условие разре- Рис. 9 шимости и',(х) = О. Таким образом, решение задачи может существовать лишь в случае иь(х) = сопос = а. При этом если ио Е С~, то решение действительно существует и, как легко убедится, даетсл формулой и(хз 1) = ио(х) + а1 + с(1), где с(1) любая функция класса Са(1 > 0) удовлетворяющая условиям с(0) = с'(0) = О. Решение не единственно. 3. Краевая задача для уравнений эллиптического типа.
Краевая задача для уравнения (3) (эллиптический тип) состоит в нахождении функции и(х) класса Са(с7) П Сь (с7) ь удовлетворяющей в области С уравнению (3) и граничному условию на 5 вида ди ои -1- 3 — = и, дп я где оь о и и --- заданные кусочно непрерывные функции на 5, причем о > О, Д > О, о + Д > О. Выделяют следующие типы граничных условий (14): граничные условия 1 рода (о = 1, ьз = 0) (13) и~в — — ио,' 58 Гл. б Ноетаноока краеоых задач математической физики граничные условия П рода (а = О, д = 1) ди = и~', дп (10) граничные условия П1 рода (д = 1,о > 0) ди — + ои~ = иа. дп (17) Соответствующие краевые задачи называются краевыми задачами 1, П и П1 рода.
Для уравнений Лапласа и Пуассона (см. 8 1.2, п. 3) краевая задача 1 рода е1и = — 1, и)ч = ио (18) называется задачей Дирихле, а краевая задача П рода ди = и1 дп (19) и(х) = 0(1) или и(х) = о(1), ~х~ — ~ оо, (20) для уравнения Пуассона; принадлежность ф к Ез(риз) для собственных функций уравнения Шредингера (40) из 8 1.2 и другие. 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
