Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики (2-е изд., 2004) (1095467), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Примером полной ортонормальной системы в Еи(0, 2я) служит тригонометрическая система. Из этого определения и из результатов п.б вытекает Ткоккмя 1. Для того чтобы ортонормальн я система (сои) была полной в Би(С)., необходимо и достаточно, чтобы для любой функции 1 из ьи(С) было вьсполнено ривенспшо Пирсюваля — Стеклова. Справедлива также Ткоккмд 2. Для того чтобы ортонормальная система (рь) была полной в Ее(С), необходимо и достаточно, чтобы каждую функцию д' из множества М, плотного в ьи(С), можно было сколь угодно точно приблизить в Бз(С) линейными комбинациями функций этой системы. Слкдствик.
Если С ограниченная область, то в ьг(С) существует счетн я полная ортонормильная система полиномов. Действительно, множество полиномов с рациональными коэффициентами плотно в Ег(С) (см. п.5), счетно и его можно сделать ортонормальным, используя процесс ортогонализации Шмидта (см.
п.б). Нам понадобится еше Лкмиы. Пусть области С с Ьп и Р с Кп ограничены, система функций иц(у), 1 = 1,2,..., ортонормальна и полна в Бг(Р), и прн каждо,и 1 = 1, 2,... система функций рьс(х), й = 1, 2,..., ортонормильна и полни в ьи(С). Тогда система функций усь,(х,у) = рис(х)цц(у), Й,с = 1,2,..., 26 Гл. д Постановка кравоьт задач матвматичвоков физики ортонормальна и полна в ьз(С х .сз). Все сказанное о пространстве Пз(С) переносится и на пространства Пз(С; р) или ьОэ) со скалярными произведениями У:д), = ) р(*У( )д(*) д*, Лд ~ П (С;р), (У,д) = / 1(и)д(и) (Б з,д к ~з(Я, где р й С(С), р(т) > О, х б С, а Я ---. кусочно гладкая поверхность.
8. Линейные операторы и функционалы. Пусть М и Лов линейные множества. Оператор ь', преобразующий элементы множества М в элементы множества Л', называелся линейным, если для любых элементов г' и д из М и комплексных чисел Л и р справедливо равенство Ь(Л1 + дд) = ЛКу+ „г, При этом множество М = Мь называется областью определения оператора П. Если ьу = Л при всех ф Е М, то оператор ь называется толсдественным (единичным) оператором. Единичный оператор будем обозначать через Х.
Пусть на линейных множествах М и Л определены сходимости элементов с непрерывными линейными комбинациями, например, если уь -о у и дь -о д, к — з оо в М, то и Луь + рдь -о Лу + рд, к — о -о оо в М. Линейный оператор ь, переводящий М в Л, называется непрерывным из М в Л, если из сходимости 2ь -о ), к -о оо в М следует сходимость 1,)ь — о ьг, Й вЂ” о оо в Л.
Из определения вытекает: для того чтобы линейный оператор П был непрерывным из М в Л', необходимо и достаточно, чтобы Ьуь -о О,. й -о оо в Л', коль скоро фь -о О, к -о со в М. Пусть М и Лà — линейные нормированные пространства с нормами О )) к, и ((. 4, соответственно (например, Л = С(Т), М = ьз(С)). Линейный оператор ь, переводящий М в Л, называется ограниченным из М в ЛГ, если существует такое число С > О, что для любого ) е М справедливо неравенство ~~ЕЛ < С ~~Л, Из этих определений вытекает: если линейный оператор ь ограничен из М в Л, то он непрерывен из М в Л. Множество В линейного нормированного пространства Л4 называется ограниченным в М, если существует такое число А, что ~~Д < А при всех ф Е В.
Е" 1.1. Некоторые понятия и предложения 27 Пусть линейный оператор Л переводит М в Л» и линейный оператор К переводит Л» в Л . Линейный оператор КЛ, переводящий М в Л' по правилу-. Кьу = К(А~), 1 Е М, называется произведением операторов Л и Л; в частности, К" 1 = К(К" ~1) = Л" »(Л 7), Л» = К Ко Частным случаем линейных операторов являются линейные функционалы. Если линейный оператор 1 преобразует множество элементов М в множество комплексных чисел Л» С С то 1 называется линейным у»ункиионалоя» на множестве М. Значение функционала 1 на элементе »е (коъщлексное число 1Д будем обозначать через (1, »е). Таким образом, непрерывность линейного функционала 1 означает следующее: если 1ь — > О, й — » оо в М, то последовательность комплексных чисел (1, (ь), й — » оо, стремится к О. Будел» говорить, что последовательность 1», (я,...
линейных функционалов на М слабо сходится к (линейному) функционалу 1 на М, если она сходится к 1 на каждом злемснте 1 из М, т. е. (1ю») — ~ — ~ (1, 1), к — > со, для всякого 1 Н М. Линейный функционал 1 на множестве М З М называется нродолжениея» линейного функционала 1, заданного на М, если (1, 1') = = (1, Д для всех ( Е М. ПРимеРы линейных ОЦВРятОРОВ и ФункционялОВ.
а) Линейный оператор вида К1(х) = »С(х,у)1(у)ду, х Е С, .»а называется интезральнь»я» операторои, а функция К(х, у) —.-. его яд- роя». Если ядро К принадлежит ьз(С х С) и Уах,у)~здхду =» Я < Охи то оператор Л ограничен (и, следовательно, непрерывен) из Ея(С) = = М в Ез(а) = Ле. Аналогично, линейный оператор А, действующий из 1з в 1з (см. п.б) по правилу: (Аа)ь = ~~ Аыа„й = 1, 2,..., »=» ограничен (и, стало быть, непрерывен), .причем !)Аа)( < С()а)), а = (ая) Е 12. 28 Гл. б Постановка краевых задач математической физики б) Линейный оператор вида АДх) = ~ а„')х)д'"))х), ~ ~а„(х)~ ф О, гп > О, )ь)йт )ь)=т называется дифференциальным оператором порядки т, а функции аь(х) — его коэффициентами.
Если коэффициенты а (х) — непрерывныс функции на области С с К", то оператор А переводит С"')С) = М в С(С) =,з). Однако,. оператор Б нс является непрерывным из С(С) в С(С). В самом деле, уд,.(х) = — е'ь)") — > О в С(С), й -+ оо, ь й в то время как последовательность 'ь)я)х) = ~ а (х)д~я(х) = ~ ~аз)хНза)~Ы~~ е' )л~) ))й<т, )а)ят не имеет предела в С(С).
Отметим попутно, что оператор Ь определен не на всем пространстве С(С), а лишь на его части на множестве функций С'"(С). в) Линейный оператор называется иншегро-дифференциальнь)м оператором. г) Пример линейного непрерывного функционала 1 на Ез(С) дает скалярное произведение: (1, Д) = (),д), где д --- фиксированная функция из ьз(С). Линейность этого функционала следует из линейности скалярного произведения по первому аргументу (см. п. 5), а в силу неравенства Коши — Буняковского он ограничен: и, следовательно, непрерывен. 9. Линейные уравнения.
Пусть А линейный оператор с областью определения ) ')ь. Уравнение (8) называется линейным неоднородным уравнением. В уравнении (8) заданный элемент г называется свободным членом (или правой В 1.1. Некоторые понятия и предложения 29 честью), а неизвестный элемент и из Мь -- решением этого уравнения. Если в уравнении (8) свободный член Р положить равным нулю, то полученное уравнение (9) Ти= О называется линейным однородным уравнением, соответствующим уравнению (8). В силу линейности оператора Ь совокупность решений однородного уравнения (9) образует линейное множество; в частности, и = 0 всегда является решением этого уравнения.
Всякое решение и линейного неоднородного уравнения (8) (если оно существует) представляется в виде суммы частного решения ио этого уравнения и общего решения й соответству.ющего линейного однородного уравнения (9) и = ио+й. Отсюда непосредственно выводим: для того чтобы решение уравнения (8) было единственным в Мь, необходимо и достаточно, чтобы соответствующее однородное уравнение (9) имело только нулевое решение в оМь.
Пусть однородное уравнение (9) имеет только нулевое решение в Мь. Обозначим через Яь область значений оператора 1,, т. е. (линейное) множество элементов вида 1Ь1), где 1" пробегает Мь. Тогда для любого Н Е Еь уравнение (8) имеет единственное решение и Е Е Мш и, таким образом, возникает некоторый оператор, сопоставляющий каждому элементу Г из Яь соответствующее решение уравнения (8). Этот оператор называется обратным опервепором к оператору 1 и обозначается через 1 ', так что (10) и=1 Н. Оператор 1, ~, очевидно, является линейным и отображает Хь на Мь. Непосредственно из определения оператора А ', а также из соотношений (8) и (10) вытекает ЛЬ 'Е=Г, Н с '1сш, Ь Ьи = и, и Е Мь, т.
е. АЬ '=1, 30 Гл. 1. Поетаноека краееыа задач математическая физики Если линейный оператор Т имеет обратный Ь ', то системы функпий (>рв) и 11з»ь) одновременно линейно независимы. (При этом, естественно, предполагается, что все рв принадлежат Мш) Рассмотрим линейное однородное уравнение (11) Ти=Ли, ие = с> и> + еэиэ + ... + с,и, также являетсл собственным элементом, соответствующим этому собственному значению, и приведенная формула дает общее решение уравнения (11). Отсюда вытекает: если решение уравнения (12) существует.
то его общее решение представляется формулой и = и'+ ~ ~еьи>ч ь=> (13) где и* . частное решение (12) и сн, й = 1,2,...,ш . произвольные постоянные. 10. Эрмитовы операторы. еуинейныи оператор Т,, переводящий Мв С Пз(С) в Пя(С), называется зрмиишеым, если его область опредаяения Мв плотна в ьз(С) и для любых 1' и д из Мь справедливо равенство где Л комплексный параметр.
Это уравнение имеет нулевое решение при всех Л. Может случиться, что при некоторых Л оно имеет ненулевые решения из Мш Те комплексные значения Л, при которых уравнение (11) имеет ненулевые решения из Мш называются собственными значеннями оператора П., а соответствуя>щие решения еобетееннь>ми элемента и (функциями), соответствующими этому собственному значению. Полное число г, 1 < г ( со, линейно независимых собственных элементов, соответствующих данному собственному значению Л, называется кратностью этого собственного значения; если кратность г = 1, то Л называется иуос>пым собственным значением.
Ес.чи кратность г собственного значения Л оператора Ь конечна и и>,..., и„— соответствующие линейно независимые собственные элементы, то любая их линейная комбинация з».». Некоторые понятая и предложения Выражения (ь»,д) и (Ь», ») называются соответственно билинейной и квадратичной формами, порожденными оператором Е. Для того чтобы линейный оператор Ь был эрмитовым, необходимо и достаточно, чтобы порожденная им квадратичная форма (Те»,»)» и М»„где М», плотна в ья(С), принимала только вещественные значения. ,Линейный оператор А, переводящий М» С ьз(С) в ьз(С), называется положительным, если М», плотна в Ез(С) и (Е»', »') > О, »' й Мь. В частности, всякий положительный оператор эрмитов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
